Вот пример из космобиофизики. ))

Я: С точки зрения микробиолога уравнение Хаббла описывает расширение Вселенной как экспоненциальную фазу роста колонии галактик на двумерной граничной поверхности темной питательной среды. Рост колонии осуществляется размножением галактик путем бинарного деления. Удельная скорость роста колонии галактик равна постоянной Хаббла. Начальный радиус колонии равен радиусу галактики типа Млечный путь, с которой начался рост колонии. Наблюдаемое сейчас количество галактик порядка 10^11.

Дай численную оценку времени генерации (времени удвоения) галактик.

Как будет зависеть скорость движения фронта колонии от радиуса колонии?

GPT-4: Для решения задачи нам нужно численно оценить время генерации (времени удвоения) галактик и определить, как будет зависеть скорость движения фронта колонии от радиуса колонии.

Численная оценка времени генерации (времени удвоения) галактик

1_ Постоянная Хаббла H0: H0 ~ 70 км/с/Мпк

Для удобства переведем H0 в обратное время: H0 ~ 2.27 10^{-18} c^{-1}

2_ Время удвоения T определяется уравнением: 2 = e^{H0*T}

Решим уравнение для T: ln(2) = H0*T, T = ln(2)/H0

Подставим значение H0: T = ln(2)/{2.27*10^{-18} с ~ 3.05*10^17 с ~ 9.68* 10^9 лет.

Таким образом, время удвоения колонии галактик составляет приблизительно 9.68*10^9 лет.

Зависимость скорости движения фронта колонии от радиуса колонии

1_ Экспоненциальный рост на двумерной поверхности:

- Начальная галактика начинает процесс размножения путем бинарного деления.

- Площадь, занимаемая колонией галактик, будет увеличиваться как A(t) = e^{2*H0* t}, поскольку площадь растет экспоненциально с временем, удвоение плотности галактик на двумерной поверхности.

2_ Радиус колонии R(t):

- Площадь A на двумерной поверхности связана с радиусом R как A = pi*R^2.

- Если площадь увеличивается экспоненциально, то: R(t) = e^{H0*t}

3_ Скорость движения фронта v(t):

- Скорость фронта колонии v(t) - это производная радиуса по времени: v(t) = dR(t)/dt

Подставим R(t) = e^{H0*t}: R(t) = R0*e^{H0*t}

Тогда скорость движения фронта: v(t) = d(R0*e^{H0*t}/dt

Или, если выразить через текущий радиус R(t): v(t) = H0*R(t)

Заключение

1_ Время удвоения колонии галактик составляет приблизительно 9.68*10^9 лет.

2_ Скорость движения фронта колонии галактик пропорциональна текущему радиусу колонии и выражается как v(t) = H0*R(t). Таким образом, скорость увеличивается линейно с увеличением радиуса колонии.