КУПИТЬ КНИГУ!
Введение

Современное развитие как естественных, так и экономических
наук тесно связано с использованием компьютерной техники. До сих пор научные и
инженерные расчеты остаются одной из важнейших, хотя, пожалуй, и не самой бросающейся
в глаза сфер приложения компьютеров. 

В настоящее время имеется целый ряд различных математических
пакетов, реализующих разнообразные численные методы, а так же способных производить
аналитические математические преобразования. Пожалуй, наиболее известными
сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research),
Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма
The MathWorks), Mathcad (фирма MathSoft Inc), а также свободно
распространяемые SciLab и R-system. 

Использование компьютерной техники позволяет перейти от простейших
расчетов и оценок различных конструкций или процессов к новой стадии работы -
детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту). Данный
процесс может не только сократить потребность в реальных экспериментах, но и
заменить их в ряде случаев.

Основой вычислительного эксперимента является решение
уравнений математической модели численными методами. Изложению численных методов
посвящено немало книг. Однако большинство из них ориентировано на студентов и
исследователей математического и естественно-научного профиля. Книги,
посвященные работе в различных математических пакетах, вообще, можно разделить
на две категории: самоучители для широкого пользователя и литературу для
профессионалов. Самоучители просты для понимания, в них детально рассмотрены
самые часто употребимые функции. Тем не менее, эти книги не имеют четкой
привязки к конкретным практическим задачам.

Поэтому в настоящее время ощущается потребность в книге,
рассчитанной на студентов экономических специальностей: "Математические методы
в экономике", "Прикладная информатика", "Статистика" и др., в которой были бы
изложены не только классические численные методы и приведены математические
задачи, но и рассмотрены способы решения задач на компьютере, а также приведены
некоторые примеры использования численных методов при решении экономических
задач. Книга рассчитана на читателя, который занимается не разработкой
численных методов, а их применением к прикладным задачам.

Большинство задач математического моделирования экономических
процессов сводится либо к решению системы линейных уравнений, либо к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому эти разделы будут рассмотрены
в учебнике подробнее остальных. 

Так, первая глава посвящена вопросам точности
вычислительного эксперимента и расчету погрешностей. Во второй главе рассматриваются
основы Работы с пакетом Matlab, с помощью которого
будут рассмотрены примеры численного решения задач в последующих главах. В
третьей главе приведены классические методы аппроксимации функций. В четвертой
главе рассматриваются прямые и итерационные методы решения трансцендентных
уравнений. А пятая и шестая главы - изучение способов решения систем линейных и
дифференциальных уравнений.

После каждой главы приведены лабораторные работы.

Этапы решения задачи на компьютере

При решении задачи на компьютере основная роль все-таки
принадлежит человеку. Машина лишь выполняет его задания по разработанной
программе. Роль человека и машины легко уяснить, если процесс решения задачи
разбить на следующие этапы.

Постановка задачи. Этот этап заключается в
содержательной (физической) постановке задачи и определении конечных целей
решения.

Построение математической модели (математическая
формулировка задачи). Модель должна правильно (адекватно) описывать основные
законы физического процесса. Построение или выбор математической модели из существующих
требует глубокого понимания проблемы и знания соответствующих разделов
математики.

Разработка численного метода. Поскольку компьютер
может выполнять лишь простейшие операции, он "не понимает" постановки задачи
даже в математической формулировке. Для ее решения должен быть найден численный
метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму.
Разработкой численных методов занимаются специалисты в области вычислительной
математики. Специалисту в области прикладной математики для решения задачи, как
правило, необходимо из имеющегося арсенала методов выбрать тот, который
наиболее пригоден в данном конкретном случае.

Разработка алгоритма. Процесс решения задачи
(вычислительный процесс) записывается в виде последовательности элементарных
арифметических и логических операций, приводящих к конечному результату и
называемой алгоритмом решения задачи Алгоритм можно наглядно изобразить
в виде блок-схемы, структурограммы и т.п. Опытный вычислитель зачастую может и
не прибегать к такому наглядному представлению алгоритма, непосредственно
переходя к следующему этапу.

Программирование. Алгоритм решения задачи
записывается на понятном машине языке в виде точно определенно
последовательности операций - программы для компьютера. Составление
программы (программирование) обычно производится с помощью некоторого
промежуточного (алгоритмического) языка, а ее трансляция (перевод на машинный
язык) осуществляется самой вычислительной системой.

Отладка программы. Составленная программа содержит
разного рода ошибки, неточности, описки. Отладка программы на машине включает
контроль программы, диагностику (поиск и определение содержания) ошибок и их
исправление. Программа испытывается на решении контрольных (тестовых) задач для
получения уверенности в достоверности результатов.

Проведение расчетов. На этом этапе готовятся исходные
данные для расчетов и проводится счет по отлаженной программе. При этом для
уменьшения ручного труда при обработке результатов желательно использовать удобные
формы выдачи результатов, особенно их графическое представление (визуализацию).

Анализ результатов. Результаты расчетов
анализируются, оформляется научно-техническая документация.

 

Если при решении конкретной задачи возможно использование
уже имеющихся программных средств, то некоторые из перечисленных этапов могут
быть опущены. Так, для решения многих классов задач созданы программные
продукты, существенно облегчающие труд вычисления. Речь может идти, например, о
том, что вычислитель сообщает программе только математическую модель и исходные
данные, а выбор метода, проведение расчетов, выдачу результатов программа берет
на себя. Но даже в этом случае нельзя забывать о том, что полученное решение
обычно является лишь приближенным, но каждая модель и каждый метод имеют свои
области применения. Следовательно, специалисту, использующему компьютер для
решения прикладных задач, необходимо иметь представление об основах
математического моделирования, численных методов, о возможностях компьютеров,
уметь анализировать полученные результаты с точки зрения их достоверности.

Следует отметить еще один важный момент в процессе решения
задачи с помощью компьютера. Это - экономичность выбранного способа
решения задачи, численного метода, модели компьютера. В частности, если задача
допускает простое аналитическое решение или измерение, то вряд ли целесообразно
делать вычисления на машине. Иногда решение задачи производят с помощью
большого вычислительного комплекса, хотя это можно было осуществить с использованием
персонального компьютера.

Математические модели

Основное требование, предъявляемое к математической модели,
- адекватность рассматриваемому явлению, т.е. она должна достаточно
точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе
с тем она должна обладать сравнительно простотой и доступностью исследования.

Известно большое число математических моделей различных
процессов или явлений. Укажем некоторые из них, широко используемые в механике.
Модель абсолютно твердого тела позволила получить уравнения движения тел в
динамике полета. Модель идеального газа привела к системе уравнений Эйлера,
описывающей невязкие потоки газов. В гидродинамике широко известна модель на
основе уравнении Навье-Стокса, в кинематической теории газов - уравнения
Больцмана. В механике деформирующего твердого тела известны математические
модели, описывающие различные среды.

Имеются математические модели и для описания задач
экономики, социологии, медицины, лингвистики и др.

Адекватность и сравнительная простота модели не исчерпывают
предъявляемых к ней требований. Обратим еще внимание на необходимость правильной
оценки области применимости математической модели. Например, модель свободно
падающего тела, в которой пренебрегают сопротивлением воздуха, весьма
эффективна для твердых тел с большой средней плотностью и формой поверхности,
близкой к сферической. Вместе с тем, в ряде случаев для решения задачи уже не
достаточно известных формул. Здесь необходимы более сложные математические
модели, учитывающие различные факторы.

Отметим, что успех решения задачи в значительно степени
определяется выбором математической модели: здесь в первую очередь нужны
глубокие знания в той области, к которой принадлежит поставленная задача.

Численные методы

С помощью математического моделирования решение прикладной
задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения
математических задач используются следующие основные группы методов:

?       
аналитические;

?       
графические;

?       
численные.

При использовании аналитических методов решение
задачи удается выразить с помощью формул. В частности, математическая задача
состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных
уравнений и т.п., то использование известных из курса математики приемов сразу
приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко.

Графические методы позволяют в ряде случаев оценить
порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение
находится путем геометрических построений. Графические методы могут применяться
для получения начального приближения к решению, которое затем уточняется с помощью
численных методов.

Основным инструментом для решения сложных математических
задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести
решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над
числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений.

Подчеркнем важные отличия численных методов от
аналитических. Во-первых, численные методы позволяют получить лишь приближенное
решение задачи. Во-вторых, они обычно позволяют получить лишь решение задачи с

конкретными значениями параметров и исходных данных.

Несмотря на эти недостатки, численные методы незаменимы в
сложных задачах, которые не допускают аналитического решения.

Многие численные методы разработаны давно, однако при
вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком
трудоемких задач. С появлением компьютеров начался период бурного развития
численных методов и их внедрения в практику.

Численный метод наряду с возможностью получения результата
за приемлемое время должен обладать и еще важным качеством - не вносить в вычислительный
процесс значительных погрешностей.

Математические программы

Как уже говорилось выше, в настоящее время существует немало
программ, позволяющих проводить аналитические преобразования. Рассмотрим самые
распространенные из них. 

Пакет Mathematica является
сегодня одним из наиболее популярных в научных кругах, особенно среди
теоретиков. Пакет предоставляет широкие возможности в проведении символических
(аналитических) преобразований, однако требует значительных ресурсов
компьютера. Система команд пакета во многом напоминает язык программирования.

Пакет Maple также весьма
популярен в научных кругах. Кроме аналитических преобразований пакет в
состоянии решать задачи численно. Характерной особенностью пакета является то,
что он позволяет конвертировать документы в формат LaTeX -
стандартный формат большинства научных издательств мирового класса. Кроме того,
ряд других программных продуктов используют интегрированный символический
процессор Maple. 

Пакет Mathcad популярен, пожалуй,
более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета
является использование привычных стандартных математических обозначений, то
есть документ на экране выглядит точно так же обычный математический расчет.
Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд. Пакет
ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет
встроенный символический процессор Maple, что позволяет
выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена
возможность создавать связки документов Mathcad с
документами Mathlab. В отличие от упомянутых выше пакетов,
Mathcad  является средой
визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора
команд. 

Подобно упомянутым выше пакетам, Matlab фактически
представляет из себя своеобразный язык программирования высокого уровня, ориентированный
на решение научных задач. Характерной особенностью пакета является то, что он позволяет
сохранять документы в формате языка программирования С.

В данном пособии предпочтение отдается программе Matlab, так как ее уникальность определяется следующими
особенностями:

?  система
ориентирована на матричные операции;

?  имеется
большое число библиотечных функций, делающих Matlab одновременно специализированной математической системой,
предназначенной для решения ряда научных и инженерных задач (анализ и синтез
систем управления, теория нечетких множеств, планирование эксперимента и пр.);

?  возможность
диалога с другими математическими системами (Maple, Mathcad, MS Excel);

?  синтаксис
Matlab схож с синтаксисом свободной программы Scilab, поэтому при отсутствии лицензионной версии Matlab можно безболезненно перейти на ее свободный аналог.

В списке литературы в конце книги приведены классические
учебники по вычислительной математике и несколько достаточно подробных
справочников по системе Matlab. Хотелось бы отметить,
что в настоящее время издается немало литературы для пользователей
математических пакетов, каждая имеет свою специфику. Поэтому читателю
рекомендуется не ограничиваться списком литературы к данному пособию.