Богатырёв Андрей: другие произведения.

Немного геометрии и тригонометрии

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Конкурс 'Мир боевых искусств.Wuxia' Переводы на Amazon
Конкурсы романов на Author.Today

Зимние Конкурсы на ПродаМан
Peклaмa
Оценка: 4.49*8  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Треугольники, описанная окружность, немножко тригонометрии.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
a2+b2=c2
 []

Опустим из вершины прямого угла C высоту CH на сторону AB. Получим, что прямоугольные треугольники BCA и CHA подобны по двум углам (один угол A у них общий - одинаков, другой - прямой). Также прямоугольные треугольники BCA и CHB подобны по двум углам (угол B общий, другой угол прямой). Следовательно, отношения сторон равны:
b/c = ca/b (из треугольников BCA ~ CHA)
a/c = cb/a (из треугольников BCA ~ CHB)
Откуда
b2 = c*ca
a2 = c*cb
Складываем оба равенства и получаем:
a2+b2 = c*(ca+cb)=c*c=c2
Доказано.

Вписанный угол

Вписанный в окружность угол - угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный угол - угол с центром в центре окружности.

Теорема 1

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.
 []

Доказательство

Вписанный угол BAC. Центр окружности O. Центральный угол BOC. Утверждается, что 2*угол(BAC)=угол(BOC).
 []

Проведём радиус OA. Мы имеем |OA|=|OB|=|OC|=R радиус окружности.
Отсюда: все треугольники AOB, AOC, BOC - равнобедренные. Значит, углы при их основаниях равны.
угол(ABO)=угол(OAB)=x
угол(ACO)=угол(OAC)=y
Заметим, что сумма углов при A есть угол(OAB)+угол(OAC)=угол(BAC), наш вписанный угол.
То есть угол(BAC)=x+y

Теперь учтём, что сумма углов в обеих треугольниках составляет 180°
угол(ABO)+угол(OAB)+угол(AOB)=2*x+угол(AOB)=180°
угол(ACO)+угол(OAC)+угол(AOC)=2*y+угол(AOC)=180°

Сложим два последние равенства:
2*(x+y) + угол(AOB)+угол(AOC)=360°
2*угол(BAC) + угол(AOB)+угол(AOC)=360°

Наконец, заметим, что сумма всех центральных углов у точки O составляет 360° - полный круг.
угол(AOB)+угол(AOC)+угол(BOC)=360°
Откуда угол(AOB)+угол(AOC)=360°-угол(BOC)

Подставим в предыдущее равенство:
2*угол(BAC) + угол(AOB)+угол(AOC)=2*угол(BAC) + 360°-угол(BOC)=360°
Сокращаем 360° и переносим угол(BOC) направо.
2*угол(BAC)=угол(BOC)
или угол(BAC)=угол(BOC)/2
что и требовалось доказать.

Случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла, рассматривается аналогично. Рассматривается не сумма, а разность углов.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду), равны между собой.
 []

Это так, поскольку все эти вписанные углы равны половине центрального угла BOC.

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр окружности - прямые.
 []

Центральный угол в этом случае равен 180° Поэтому вписанные углы равны его половине, то есть 90°

Задача


 []
Две окружности пересекаются в точках K и M. К обеим окружностям проведена общая касательная, точки касания A и B.
Доказать, что угол(AKB)+угол(AMB)=180°

Доказательство

|AP|=|PK|=|PM|=R
|BQ|=|QK|=|QM|=r
Треугольники APK, KPM, BQK, KQM - равнобедренные, значит углы при основаниях равны.
Углы PAB и ABQ - прямые.

Угол(AMK) опирается на хорду AK и потому равен половине центрального угла APK.
угол(AMK)=угол(APK)/2
Аналогично, угол(BMK)=угол(BQK)/2
Где угол(AMB)=угол(AMK)+угол(BMK)
То есть угол(AMB)=(угол(APK)+угол(BQK))/2 {формула X1}

угол(BAK)+угол(KAP)=90°
угол(ABK)+угол(KBQ)=90°
так как касательные перпендикулярны радиусам в точках касания. Сумма углов треугольника KAB=180°, значит
угол(AKB)=180°-угол(KAB)-угол(KBA)=
=180° - (90°-угол(KAP)) - (90°-угол(KBQ))=угол(KAP)+угол(KBQ)

Из равнобедренности треугольников APK и KQB получаем:
угол(KAP)=угол(AKP)=(180°-угол(APK))/2 {сумма углов треугольника=180°}
угол(KBQ)=угол(BKQ)=(180°-угол(BQK))/2
Откуда
угол(KAP)+угол(KBQ)=180°-(угол(APK)+угол(BQK))/2
Мы получили
Угол(AKB)=угол(KAP)+угол(KBQ)=180°-(угол(APK)+угол(BQK))/2= {по формуле X1}
= 180°-угол(AMB)
угол(AKB)+угол(AMB)=180°
что и требовалось доказать.

Следствие 3

Пусть хорды AD и СB пересекаются в точке M.
Тогда |AM|*|MD|=|BM|*|MC|
 []

Доказательство

угол(ABC)=угол(ADC) так как они опираются на одну и ту же хорду AC (Следствие-1).
угол(AMB)=угол(CMD) так как это вертикальные углы.
Отсюда вытекает, что треугольники AMB и CMD подобны (по двум углам).
На самом деле ещё и угол(BAD)=угол(BCD) как опирающиеся на одну и ту же хорду/дугу BD. То есть, в треугольниках равны все три угла (а как иначе, если два равны?).

Из подобия имеем равенство отношения сторон: |AM|/|MB|=|CM|/|MD|
или |AM|*|MD|=|CM|*|MB|
Что и требовалось.

Описанная окружность

Окружность, описанная вокруг треугольника - это окружность, которой принадлежат все три вершины треугольника. Через любые три точки всегда можно провести окружность, и окружность эта единственна (доказывается конструктивно: методом построения).

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника - это окружность, которой принадлежат все четыре вершины четырёхугольника. Вокруг четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Теорема 2

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180°

Доказательство

Четырёхугольник ABDC. Описанная окружность с центром O.
Утверждается, что
угол(BAC)+угол(BDC)=180°
угол(ABD)+угол(ACD)=180°

 []

Докажем первое равенство. Построим центральный угол BOC, опирающийся на хорду BC (она же - диагональ четырёхугольника).
По теореме-1
угол(BAC)=угол(BO1C)/2=угол1/2
По теореме-1
угол(BDC)=угол(BO2C)/2=угол2/2
Заметим, что мы имеем в виду два разных центральных угла BOC, угол1 опирается на дугу BDC, а угол2 - на дугу BAC.

Теперь заметим, что в сумме эти два центральных угла при точке O образуют полный круг, 360°
угол1+угол2=360°

Сложим наши равенства:
угол(BAC)+угол(BDC)=(угол(BO1C)+угол(BO2C))/2=(угол1+угол2)/2=360°/2=180°
Что и требовалось доказать. Пара других углов доказывается аналогично.

Замечание

Про пару других углов доказывать ничего не надо, если учесть, что сумма углов четырёхугольника равна 360°. Тогда, если сумма пары углов есть 180° то пара других углов в сумме даёт как раз 360°-180°=180°.

Формула для суммы углов четырёхугольника получается так: проводим диагональ, делящую четырёхугольник на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника есть 180°. Сумма углов четырёхугольника есть сумма всех углов этих двух треугольников = 180°+180° = 360°.

Теорема 3

Если суммы противоположных углов выпуклого четырёхугольника попарно равны 180°, то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство

 []

Через три точки всегда можно провести окружность. Проведём окружность через BDC.
Пусть угол(BDC)+угол(BAC)=180° и угол(ABD)+угол(ACD)=180°
Предположим, что точка A не попадает на окружность и лежит внутри круга. Продолжим сторону BA до пересечения с окружностью - точкой A1. Поскольку четырёхугольник A1BDC вписан в окружность, то по теореме-2 сумма углов угол(BDC)+угол(BA1C)=180°

Вычитая друг из друга равенства
угол(BDC)+угол(BAC)=180°
угол(BDC)+угол(BA1C)=180°
получим, что угол(BAC)=угол(BA1C)

Что невозможно, потому что угол(BAC) > угол(BA1C) как внешний угол треугольника AA1C. Значит, наше предположение что A лежит внутри окружности - неверно. Аналогично можно доказать, что A не лежит вне окружности. Следовательно, A лежит на окружности (совпадает с A1), и вокруг нашего четырёхугольника можно описать окружность.

Пояснение про внешний угол
Сумма углов треугольника AA1C есть угол(AA1C)+угол(A1CA)+угол(CAA1)=180°
Углы A1AC и CAB - смежные, то есть угол(A1AC)+угол(CAB)=180°
Тогда
угол(CAB)=180°-угол(A1AC)=180°-(180°-угол(AA1C)-угол(ACA1))=
=угол(AA1C)+угол(ACA1) > угол(AA1C)=угол(BA1C)

Теорема 4

Теорема-2 и теорема-3 дают следующий критерий: около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°

Задача

Пусть Н - основание высоты ВН остроугольного треугольника АВС, точки K и L - основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АВ и ВС соответственно. Верно ли, что около четырёхугольника AKLC можно описать окружность?

Решение

Будем пользоваться нашей теоремой-4.
 []

Нам нужно доказать, что
угол(AKL)+угол(ACL)=180°
угол(CLK)+угол(CAK)=180°
Докажем первое равенство, второе аналогично.

Заметим, что в четырёхугольнике BKHL сумма противоположных углов угол(HKB)+угол(HLB)=90°+90°=180°
Поскольку сумма всех углов прямоугольника есть 360°, то получаем, что
угол(KBL)+угол(KHL)=360°-угол(HKB)-угол(HLB)=360°-180°=180°
А значит, четырёхугольник BKHL удовлетворяет нашему критерию, и вокруг него можно описать окружность. Опишем её.
Заметим, в частности, что тогда BH - диаметр этой окружности, а AC - касательная к ней.
 []

Заметим, что вписанные в окружность углы HKL и HBL опираются на одну и ту же дугу HL, а потому равны (Следствие-1).
угол(HKL)=угол(HBL)
Из прямоугольного треугольника BHC имеем (сумма углов треугольника есть 180°)
угол(HBL)=угол(HBC)=180°-угол(BCH)-угол(BHC)=180°-угол(BCH)-90°=90°-угол(BCH)=90°-угол(LCH)
Тогда
угол(AKL)+угол(LCA)=угол(AKL)+угол(LCH)=угол(AKH)+угол(HKL) + угол(LCH)=90°+угол(HKL) + угол(LCH)=
   вспоминая, что угол(HKL)=угол(HBL)=угол(HBC) как вписанные
=90°+угол(HBC)+угол(LCH)=
   вспоминая, что угол(HBC)=90°-угол(LCH)
=90°+90°-угол(LCH)+угол(LCH)=180°
Что и требовалось.

То есть, суммы противоположных углов четырёхугольника AKLC равны 180°, и вокруг него можно описать окружность.

В качестве замечания: в прямоугольном треугольнике HLC
угол(LHC)=90°-угол(LCH)=угол(HBC)=угол(HBL)=угол(HKL)
И в прямоугольном треугольнике BHL
угол(BHL)=90°-угол(HBL)=90°-(90°-угол(LCH))=угол(LCH)
Заметим, что вписанные углы BHL и BKL опираются на одну и ту же дугу BL. А значит, углы равны.
угол(BKL)=угол(BHL), что в свою очередь равно угол(LCH)
 []

Немного тригонометрии

Теорема синусов

В любом треугольнике отношения противолежащих сторон к синусам углов равны и совпадают с диаметром описанной вокруг треугольника окружности.

Доказательство

Назовём углы при вершинах буквами, совпадающими с названиями вершин: угол(A), угол(B), угол(C). Утверждается, что в треугольнике ABC справедливо
|BC| / sin(A)=|AC| / sin(B)=|AB| / sin(C)=2*R
Где R есть радиус описанной окружности, 2*R=диаметр.
 []

Вокруг любого треугольника можно описать (единственную) окружность. Опишем её.
Теперь проведём из вершины B диаметр этой окружности: BD.
Вписанные углы CAB (угол(A)) и CDB (угол(D)) опираются на одну и ту же дугу CB, а потому равны (Следствие-1).
Но треугольник BCD - прямоугольный, потому что угол(DCB) опирается на диаметр описанной окружности, а следовательно - прямой (Следствие-2).
В прямоугольном треугольнике BCD по определению
sin(D)=|CB| / |DB| = |CB| / (2*R)
Но угол(D)=угол(A), а значит sin(D)=sin(A)=|CB| / (2*R)
или |CB| / sin(A) = 2*R

Аналогично доказывается, что |AC| / sin(B) = 2*R и |AB| / sin(C) = 2*R.
А значит, все три отношения равны между собой.

Рассмотрим также второй случай, когда центр описанной окружности лежит вне треугольника ABC.
 []

Аналогично: проводим диаметр BD из вершины B. Вписанные углы CAB и CDB опираются на одну и ту же хорду CB, но на противоположные дуги (дающие в сумме полный круг). Если вспомнить Теорему-1, то сумма центральных углов для этих дуг есть 360°, а значит сумма вписанных углов есть половина от 360°, то есть угол(CAB)+угол(CDB)=180° или угол(A)+угол(D)=180°
(Хм, не это ли условие того, что вокруг четырёхугольника ABDC описана окружность? Теорема-4).

В прямоугольном треугольнике BCD
sin(D) = |BC| / |BD| = |BC| / (2*R)
Но известно, что sin(180°-x)=sin(x), поэтому
sin(A)=sin(180°-D)=sin(D) = |BC| / (2*R)
То есть, соотношение |BC| / sin(A) = 2*R сохраняется.

Теорема синусов (другой способ)

Теперь докажем теорему синусов традиционным способом, без привлечения описанной окружности. Соответственно, мы не сможем вывести равенство отношений 2*R.
 []

Обозначим:
угол(CAB)=угол(A)
угол(ABC)=угол(B)
|AC|=b |AB|=c |CB|=a |CH|=h (высота треугольника) |AH|=ca |HB|=cb

Доказательство

В прямоугольном треугольнике AHC
sin(A)=|CH| / |AC| = h/b
В прямоугольном треугольнике CHB
sin(B)=|CH| / |CB| = h/a
Высота h в обоих треугольниках одинакова.
Откуда h=sin(A)*b = sin(B)*a
Или b / sin(B) = a / sin(A)

Аналогично для третьего угла и его противолежащей стороны.

Теорема косинусов

Тот же чертёж:
a2 = b2 + c2 - 2*b*c*cos(A).

Доказательство

Рассмотрим случай остроугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике CHB по теореме Пифагора имеем:
h2 + cb2 = a2
В прямоугольном треугольнике CHA по теореме Пифагора имеем:
h2 + ca2 = b2
В первое равенство подставим cb=c - ca
h2 + (c - ca)2 = a2
h2 + c2 + ca2 - 2*c*ca = a2
Заменим тут h2 + ca2 = b2
Получим:
b2 + c2 - 2*c*ca = a2

Наконец, в прямоугольном треугольнике AHC по определению cos(A)=ca/b
Откуда ca=cos(A)*b
Тогда:
b2 + c2 - 2*c*b*cos(A) = a2
Что и требовалось.

Случаи треугольников, когда точка H оказывается левее вершины A или правее вершины B, рассматриваются аналогичным способом.
 []

Здесь надо использовать cb=ca - c
Все формулы получатся такими же.

Формулы sin(x+y) и cos(x+y)


Сначала найдём sin(x+y). Пусть углы x и y имеют общий центр в точке O. Предположим сперва, что оба угла - острые (acute angles). Возьмём точку B на внешней стороне угла y. Опустим перпендикуляр BA на луч, который является общим для обоих углов. Нарисуем другие перпендикуляры AD, BE и AC как показано на рисунке. Вторая диаграмма показывает, как всё это выглядело бы, если б углы x и y были значительно больше.
 [] Пояснение к первой картинке: угол CAO=x, поскольку CA параллельно OE, а углы OPE и APC вертикальны. Тогда угол CBA тоже равен х - поскольку угол OAB прямой (прямоугольные треугольники с общим углом подобны).

Пояснение ко второй картинке: в прямоугольном треугольнике сумма непрямых углов есть 90°. В прямоугольном треугольнике OAD угол(OAD)=90°-x
В прямом угле CAD угол(CAO)=90°-угол(OAD)=90°-90°+x=x
В прямом угле OAB угол(CAB)=90°-угол(CAO)=90°-x
В прямоугольном треугольнике BCA угол(CBA)=90°-угол(CAB)=90°-90°+x=x

  sin(x+y) = BE/OB
           = (BC+CE)/OB
           = (BC+AD)/OB
           = AD/OB + BC/OB
           = (AD/OB)×(OA/OA) + (BC/OB)×(BA/BA)
           = (AD/OA)×(OA/OB) + (BC/BA)×(BA/OB)
  sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

Из этой формулы в частности следует, что sin(2x)=2*sin(x)*cos(x).

Вывод формулы для cos(x+y) подобен предыдущему. Используем ту же самую диаграмму:

  cos(x+y) = OE/OB
           = (OD-DE)/OB
           = (OD-AC)/OB
           = OD/OB - AC/OB
           = (OD/OB)×(OA/OA) - (AC/OB)×(BA/BA)
           = (OD/OA)×(OA/OB) - (AC/BA)×(BA/OB)
  cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

Из чего вытекает, что cos(2x)=cos2(x)-sin2(x).

Если взять y = -x и учесть cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x), получим 1=cos(0)
cos2(x)+sin2(x)=1 (теорема Пифагора).

Формула для тангенса tg(x+y) может быть выведена из вышедоказанных формул и того, что tg=sin/cos.
Это приводит к tg(x+y)=(tg(x) + tg(y))/(1-tg(x)*tg(y)).

Углы больше 90 градусов тоже подходят для этих формул. Это можно проверить разными способами, оставленными читателю для развлечения.

И снова об описанной окружности

Теорема Птолемея

Вообще-то это неравенство, но нас интересует вырожденный случай, приводящий к равенству.
Пусть ABCD - вписанный в окружность четырёхугольник. Тогда
|AC|*|BD|=|AB|*|CD| + |BC|*|AD|
 []

Доказательство

Отметим на AC точку M, такую что угол(ABM)=угол(DBC).
 []
Так как вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу.
Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны (по двум углам), а значит
|CD| / |BD|= |MA| / |BA|,
или, перемножая крест накрест, |MA|*|BD|=|AB|*|CD|
 []
По условию (как мы выбирали M) угол(ABM)=угол(DBC)
Тогда угол(ABD)+угол(DBM)=угол(ABM)=угол(DBC)=угол(DBM)+угол(MBC)
Посмотрим вот на это: угол(ABD)+угол(DBM)=угол(DBM)+угол(MBC)
и вычтем угол(DBM) из обеих частей равенства.
Мы получаем угол(ABD)=угол(MBC).

Кроме того, так как вписанные углы BDA и BCA опираются на одну и ту же хорду AB, они равны между собой.
Следовательно, треугольники ABD и MBC подобны (по двум углам).
Значит |AD| / |BD| = |MC| / |BC|
или, перемножая крест накрест, |MC|*|BD|=|AD|*|BC|

Складывая почленно равенства
|MA|*|BD|=|AB|*|CD| и
|MC|*|BD|=|AD|*|BC|, получаем
(|MA| + |MC|)*|BD| = |AB|*|CD| + |AD|*|BC|, или
|AC|*|BD| = |AB|*|CD| + |BC|*|AD|,
что и требовалось доказать.

Теорема 5

Если радиус окружности R, то длина хорды, стягивающей угол 2*x, равна 2*R*sin(x).
 []

Доказательство

Пусть задана хорда AB. Пусть центральный угол(AOB)=2*x Опустим на хорду AB перпендикуляр OP. Тогда мы имеем два равных прямоугольных треугольника с углами при вершине O, равными x. Из прямоугольного треугольника AOP
|AP|=|OA|*sin(угол(AOP))=R*sin(x) [по определению синуса]
Из прямоугольного треугольника BOP
|BP|=R*sin(x) тоже.
Тогда |AB|=|AP|+|BP|=2*R*sin(x)
Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы Птолемея. Формула для синуса суммы углов

Пусть AC является диаметром описанной вокруг ABCD окружности.
 []

Раз AC - диаметр, то треугольники ABC и ADC - прямоугольные (Следствие-2).
Обозначим x=угол(BAC), y=угол(DAC)
В прямоугольном треугольнике ABC
|AB|/|AC| = cos(x)
|BC|/|AC| = sin(x)
В прямоугольном треугольнике ADC
|AD|/|AC| = cos(y)
|CD|/|AC| = sin(y)
Поделим формулу Птолемея |AC|*|BD|=|AB|*|CD|+|BC|*|AD| на |AC|2
|BD|/|AC| = cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y) {ф1}

Теперь заметим, что вписанный в окружность угол(BAD)=угол(BAC)+угол(CAD)=x+y
опирается на хорду BD (она же - диагональ нашего четырёхугольника).
По Теореме-1 соответствующий центральный угол(BOD) вдвое больше этого вписанного угла.
угол(BOD)=2*угол(BAD)=2*(x+y)

Теперь мы привлечём Теорему-5. Она гласит, что длина хорды при центральном угле 2*a равна 2*R*sin(a),
или при угле a=2*(x+y) равна 2*R*sin(x+y).
В нашем случае хорда - это BD. И в нашем же случае AC - диаметр, равный 2*R.
Получаем: |BD|/|AC|=2*R*sin(x+y) / (2*R) = sin(x+y) {ф2}

Из {ф1} и {ф2} у нас получилась формула
sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

Следствие теоремы Птолемея. Теорема косинусов

Пусть задан треугольник ABC. Опишем вокруг него окружность и проведём AD параллельно BC.
 []

Поскольку AD || BC, то ABCD - равнобедренная трапеция. Пусть |BD|=|AC|=b, |CD|=|AB|=c, |CB|=a,
угол(DCB)=угол(ABC)=B
Проведем в трапеции высоты AN и DK, тогда
|CK|=|BN|=c*cos(B) (из треугольника ABN)
Найдём |KN|=|BC|-|CK|-|BN|=a - 2*c*cos(B)=|AD|
поскольку |KN|=|AD| в прямоугольнике KNAD
Применим формулу Птолемея к трапеции ABCD, получим:
c2 + a*(a - 2*c*cos(B)) = b2 или
b2 = a2 + c2 - 2*a*c*cos(B)
Это и есть теорема косинусов.


Оценка: 4.49*8  Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com А.Кутищев "Мультикласс "Слияние""(ЛитРПГ) В.Кретов "Легенда 2, инферно"(ЛитРПГ) А.Кочеровский "Везунчик Вако"(Уся (Wuxia)) Р.Брук "Silencio en la noche"(Антиутопия) B.Janny "Берег мёртвых "(Постапокалипсис) А.Емельянов "Последняя петля 7. Перековка"(ЛитРПГ) М.Эльденберт "Парящая для дракона"(Любовное фэнтези) А.Верт "Пекло"(Киберпанк) Д.Сугралинов "Дисгардиум 4. Призыв Нергала"(ЛитРПГ) Д.Деев "Я – другой"(ЛитРПГ)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Батлер "Бегемоты здесь не водятся" М.Николаев "Профессионалы" С.Лыжина "Принцесса Иляна"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"