Богатырёв Андрей: другие произведения.

Задача про касательную к двум окружностям 2 - теорема о касательной и секущей

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь] [Ridero]
Реклама:
Новинки на КНИГОМАН!


Оценка: 4.61*92  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Дополнение к предыдущей одноименной статье. Всё многократно короче, если знать соответствующую теорему. Теорема приводится тут.

Теорема о касательной и секущей

Теорема 1

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
 []
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.

Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Теорема 2 (о касательной и секущей)

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство

На рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая,
 []
эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.

По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС

Задача

Пусть Е и F - общие точки двух неравных пересекающихся окружностей, АD и BC - общие внешние касательные этих окружностей (А, В, С и D - точки касания, первые две - на одной окружности, остальные - на второй).
 []
Пусть T - пересечение прямых AD и EF, а S - пересечение BC и EF. Доказать, что TS - средняя линия трапеции ABCD.

Доказательство

Для точки S: SB - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SB2=SE*SF.
Опять же для точки S, но другой окружности: SC - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SC2=SE*SF.
Тогда SB2=SC2, откуда SB=SC.
По тем же причинам TA=TD.

Тогда T - средняя точка отрезка AD, а S - средняя точка отрезка BC. По определению, TS - медиана (средняя линия) трапеции ABCD. Средняя линия трапеции имеет следущие свойства: она делит высоту трапеции пополам, она параллельна двум основаниям (AB и CD), и её длина - половина суммы длин оснований: TS=(AB+CD)/2


Оценка: 4.61*92  Ваша оценка:

РЕКЛАМА: популярное на Lit-Era.com  
  Н.Соболевская "Ненавижу, потому что люблю " (Современный любовный роман) | | Е.Болотонь "Кольцо на счастье, или Академия Тёмной Магии" (Приключенческое фэнтези) | | Р.Оганезова "Дюймовочка на шпильках" (Современный любовный роман) | | М.Савич ""1" часть вторая" (ЛитРПГ) | | Л.Ангель "Серая мышка и стриптизер" (Современный любовный роман) | | М.Санди "Последняя дочь черной друзы." (Любовное фэнтези) | | М.Боталова "Академия Равновесия 3. Сплетая свет и тьму" (Любовное фэнтези) | | Д.Сугралинов "Level Up" (Развитие личности) | | Д.Че "Меняю на нового ... или обмен по-русски" (Попаданцы в другие миры) | | Ю.Танюшина "Если ты - не совсем эльф ("Хаос в моей крови" - книга 1)" (Любовное фэнтези) | |
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
И.Котова "Королевская кровь.Связанные судьбы" В.Чернованова "Пепел погасшей звезды" А.Крут, В.Осенняя "Книжный клуб заблудших душ" С.Бакшеев "Неуловимые тени" Е.Тебнева "Тяжело в учении" А.Медведева "Когда не везет,или Попаданка на выданье" Т.Орлова "Пари на пятьдесят золотых" М.Боталова "Во власти демонов" А.Рай "Любовь-не преступление" А.Сычева "Доказательства вины" Е.Боброва "Ледяная княжна" К.Вран "Восхождение" А.Лис "Путь гейши" А.Лисина "Академия высокого искусства.Адептка" А.Полянская "Магистерия"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"