Богатырёв Андрей: другие произведения.

Задача про касательную к двум окружностям 2 - теорема о касательной и секущей

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Оценка: 4.47*37  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Дополнение к предыдущей одноименной статье. Всё многократно короче, если знать соответствующую теорему. Теорема приводится тут.

Теорема о касательной и секущей

Теорема 1

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
 []
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.

Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Теорема 2 (о касательной и секущей)

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство

На рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая,
 []
эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.

По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС

Задача

Пусть Е и F - общие точки двух неравных пересекающихся окружностей, АD и BC - общие внешние касательные этих окружностей (А, В, С и D - точки касания, первые две - на одной окружности, остальные - на второй).
 []
Пусть T - пересечение прямых AD и EF, а S - пересечение BC и EF. Доказать, что TS - средняя линия трапеции ABCD.

Доказательство

Для точки S: SB - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SB2=SE*SF.
Опять же для точки S, но другой окружности: SC - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SC2=SE*SF.
Тогда SB2=SC2, откуда SB=SC.
По тем же причинам TA=TD.

Тогда T - средняя точка отрезка AD, а S - средняя точка отрезка BC. По определению, TS - медиана (средняя линия) трапеции ABCD. Средняя линия трапеции имеет следущие свойства: она делит высоту трапеции пополам, она параллельна двум основаниям (AB и CD), и её длина - половина суммы длин оснований: TS=(AB+CD)/2


Оценка: 4.47*37  Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Ю.Иванович "Невменяемый отшельник" Т.Гравин "Азарт" Е.Азарова "Хозяйка гор.Подмена" Э.Шауров "Доминирующий вид" А.Андросенко "Нагибатор" М.Александрова "Смерть Несущая" М.Дулепа "Хранитель порталов" Н.Мазуркевич "Работаем на контрасте,или Подруга на любой вкус" Н.Косухина "Другой мир.Хорошо там,где нас нет" К.Стрельникова "Я-нечисть,или Как выжить среди своих" Н.Трой "Война Теней" В.Чиркова "Искаженное эхо" Л.Рисова "Темные сестры.Опасный Выход" Е.Кароль "Виолетта.Жила-была...лич" О.Куно "Жена по призванию" С.Василика "Хранительница врат" А.Гаврилова, Н.Жильцова "Академия Стихий.Душа Огня" Г.Гончарова "Учиться,влюбиться...убиться?" Ю.Фирсанова "Дверь Внитуда" Е.Никольская "Чужая невеста.Тайна подземелий" Е.Щепетнов "Нед.Ветер с севера"

Как попасть в этoт список

Сайт - "Художники"
Доска об'явлений "Книги"