Богатырёв Андрей: другие произведения.

Задача про касательную к двум окружностям 2 - теорема о касательной и секущей

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Оценка: 4.95*64  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Дополнение к предыдущей одноименной статье. Всё многократно короче, если знать соответствующую теорему. Теорема приводится тут.

Теорема о касательной и секущей

Теорема 1

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
 []
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.

Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Теорема 2 (о касательной и секущей)

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство

На рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая,
 []
эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.

По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС

Задача

Пусть Е и F - общие точки двух неравных пересекающихся окружностей, АD и BC - общие внешние касательные этих окружностей (А, В, С и D - точки касания, первые две - на одной окружности, остальные - на второй).
 []
Пусть T - пересечение прямых AD и EF, а S - пересечение BC и EF. Доказать, что TS - средняя линия трапеции ABCD.

Доказательство

Для точки S: SB - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SB2=SE*SF.
Опять же для точки S, но другой окружности: SC - касательная, а SFE - секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SC2=SE*SF.
Тогда SB2=SC2, откуда SB=SC.
По тем же причинам TA=TD.

Тогда T - средняя точка отрезка AD, а S - средняя точка отрезка BC. По определению, TS - медиана (средняя линия) трапеции ABCD. Средняя линия трапеции имеет следущие свойства: она делит высоту трапеции пополам, она параллельна двум основаниям (AB и CD), и её длина - половина суммы длин оснований: TS=(AB+CD)/2


Оценка: 4.95*64  Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
В.Коротин "Шпага императора" А.Крымов "Хранитель Тотема" Ю.Иванович "Преодоление" Е.Янук "Ну,понеслось!" С.Гримайло "Истории Сантея" А.Илларионова "Мелочи геройской жизни" В.Пекальчук "Нелегал" К.Стрельникова "Мир Полуночи" С.Кулик "Янычары" А.Черчень "Курсовая работа по обитателям болота" А.Быченин "Черный археолог-2.По ту сторону тайны" Р.Грант "Астронавты.Пленники Сумитры" А.Джейн "Музыкальный приворот.По ту сторону отражения" А.Дубровный "Листик.Судьба дракона" А.Орлова, К.Измайлова "Футарк.Первый атт" Е.Звездная "Будь моей ведьмой" А.Гаврилова "Большая и грязная любовь" А.Медведева "Нам не узнать друг друга сразу" М.Завойчинская "Иржина.Все не так, как кажется..." В.Сафронов "Пилигрим" М.Дулепа "Баффер" О.Пашнина "Пропавшая принцесса,или Зачет по родовой магии" О.Куно "Шпионка в графском замке" В.Теоли "Сандэр.Ловец духов" В.Чиркова "Принцесса для младшего принца" Е.Щепетнов "Нед.Черный маг" В.Кучеренко "Серая эльфийка.Пророчество" Н.Жильцова "Ярость тьмы"

Как попасть в этoт список

Сайт - "Художники"
Доска об'явлений "Книги"