Числа Фибоначчи очень раскручены в последнее время, и есть попытка везде в природе усматривать золотое сечение, к которому стремится отношение двух соседних членов ряда Фибоначчи. Это с одной стороны понятно - сам способ построения ряда на редкость простой и хочется все объяснить просто, хотя само число есть результат решения иррационального квадратного уравнения.
А между тем есть не менее замечательное число, которое встречается гораздо чаще - и которое, скорее всего, и является "настоящим золотым сечением", ибо именно оно естественным образом возникает в природе и в строительстве. Это - отношение длины диагонали квадрата к его стороне. Это всем известный корень из двух. К нему приводит не менее замечательный ряд, немного сходный с Фибоначчи, но чуть отличающийся. Начать его можно так же:
0, 1.
Следующий член будет равен сумме двух предыдущих, как в Фибоначчи - 1.
А вот следующий будет равен сумме предыдущего и стоящего через один от него - то есть, 0. То есть, он тоже окажется равным 1.
Это правило продолжаем, то есть, нечетные члены ряда равны сумме двух предыдущих членов, четные - сумме предыдущего члена и члена, идущего через один до него, и получаем такую последовательность:
0, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29...
Или еще проще записать ее в виде двух связанных рядов:
0 1
1 1
2 3
5 7
12 17
29 41
Каждый следующий член в левом столбце равен сумме членов в предыдущей строке. Каждый следующий член в правом столбце равен сумме двух соседних членов в левом столбце.
Иными словами, рекурсивная формула для обоих рядов будет (первый ряд, скажем, х, второй - у):
X(n+1)=x(n)+y(n)
Y(n+1)=x(n+1)+x(n)
Отношение чисел в правом столбце к соответствующим числам в левом столбце сходится к знакомому нам корню из двух. Она принципиально отличается от последовательности Золотого сечения и от всех его аналогов вроде двоичного ряда, поскольку использует не рекурсивную зависимость двух членов ряда, а переменное правило для четных и нечетных членов, а вернее, взаимосвязь двух рядов. Однако она такого распространения, как число "фи", не получила.
Почему - отдельный вопрос. Видимо, корень из двух - слишком длинное название. Назовем его в таком случае "числом Би". Хотя бы потому, что Б - вторая буква алфавита в большинстве европейских языков, а мы говорим о корне из двух.
Так вот, это "число Би" будет лежать в основе очень многих вещей. Причем, число Фи находят в живой природе - но там границы достаточно нечетки, и не подчиняются стандартам. Точности измерений раковин моллюсков или расположения веток на дереве никогда не бывают лучше второго знака после запятой. А потому, если число Фи близко к полутора, но чуть больше, то число Би - тоже близко к полутора, но чуть меньше, и там, где исследователи видят число Фи, легко можно найти и число Би.
Число Фи описывает отношение двух отрезков таким образом: меньший так относится к большему, как больший - к их сумме, А/В=В/(А+В). Число Би будет описывать, соответственно, отношение 2А/В=В/А, то есть, как можно делить, скажем, лист бумаги пополам таким образом, чтобы отношение сторон у него оставалось одинаковым. Именно число Би, а не число Фи, описывает рост раковины улитки и соотношения в зданиях древности; к числу Фи его уже притянули в силу сравнительной близости этих двух чисел.
Хотя скорее всего - реально в строительстве древние использовали банальное отношение 3/2, в котором увидели число Фи исключительно в силу большей "загадочности"...
Замечание:
Есть аналогичный ряд и для корня из трех - скажем, число Си. Он тоже будет состоять из двух столбцов, первый из которых выражается рекурсивной формулой -
x(n+1)=2x(n)+y(n)
а второй:
y(n+1)=x(n)+y(n)+x(n+1)
, и отношение этих двух рядов
y(n)/x(n)
сходится к корню из трех
Интересно, что если ряд начинать с нуля, получится одна последовательность, если с единицы - другая, но обе будут сходиться к корню из трех.
Замечу, что для практических расчетов вполне приемлемую точность (до второго знака после запятой) дают уже третьи - четвертые члены рядов: корень из двух вполне можно приблизить отношением 7/5 (примерно 1,4 при точном значении 1,414...), а корень из трех - 7/4 (примерно 1,75 при точном значении 1,732...)