Д.т.н., проф. В.А. Эткин

            Введение. Очень часто приходится слышать, что в уравнениях электромагнитного поля Максвелла "заключена вся электродинамика". На этом основании из неё часто отбрасывается все то, что не вытекает из этих уравнений, в том числе существование продольных электромагнитных волн, возможность передачи электрической энергии по однопроводной линии, реальность технических устройств, преобразующих энергию электрического поля в магнитную (поскольку электромагнитное поле едино) и т.п. Представляет интерес показать, что в действительности уравнения Максвелла [1] описывают довольно частный случай широкого класса процессов преобразования различных форм энергии, и предложить более общий метод их описания.

           Термодинамический аналог уравнений Максвелла. Как было показано нами ранее [2], все четыре уравнения Максвелла

 rot E = - (∂B/∂t),                               (1)                     

 rot H = j_е + (∂D/∂t) .                          (2)                     

    div D = ρ_е ,                                         (3)                         

    div B = 0 ,                                          (4)                        

где E, H - векторы напряженности внешнего электрического и магнитного поля; D, B - векторы электрической и магнитной индукции; j_е - ток проводимости, обусловленный переносом свободного заряда - можно получить из термодинамики необратимых процессов (ТНП) [ 3], рассматривая систему, находящуюся во внешнем электрическом E  и магнитном H полях и состоящую из замкнутого электрического контура про-из----воль--ной длины ℓ_e и переменного (в общем случае) сечения f_e, который охваты-вает замкнутый же магнитопровод длиной ℓ_m  с переменным по длине сечением f_m. Основанием для такого рассмотрения является сам акт присутствия в уравнениях Максвелла rot E и rot H, свидетельствующий о том, что в качестве модели Максвелл рассматривал именно замкнутые электрические и магнитные контура, в которых осуществляется циркуляция векторов E и H. Применим теперь обратный ход рассуждения и на примере той же системы найдем термодинамический аналог уравнений Максвелла, который можно было бы сравнить с общим видом уравнений переноса энергии, вещества, заряда и импульса в ТНП [3].

         С этой целью прежде всего перейдем к интегральной форме уравнений (1) и (2), поскольку для реальных технических устройств с переменным сечением электрического и магнитного контуров (например, для трансформаторов переменного тока) энергетический баланс соблюдается в общем случае лишь для системы в целом. Для начала заметим, что правая часть (2) представляет собой полную производную по времени t от вектора электрической индукции D = D(r, t). Действительно, поскольку j_е = ρ_еv_е , где в соответствии с (3) ρ_е = divD - плотность электрического заряда, а v_е = dr/dt - скорость его переноса, то правая часть (2)

(∂D/∂t) + (v_е ?div)D = dD/dt.                     (5)                 

Аналогичным образом заметим, что и правая часть (1) также может быть выражена через полную производную по времени от вектора магнитной индукции dB/dt ввиду отсутствия "магнитных зарядов" (divB = 0). Таким образом, первым двум уравнениям Максвелла можно придать вид1):

            rot E = - dB/dt,                                    (6)

 rot H =  dD/dt.                                      (7)

Представим теперь элемент dV_м объема V_м, занятого магнитопроводом, в виде произведения взаимно ортогональных векторных элементов его длины dℓ_м и сечения  df_м. Тогда, интегрируя (6) по сечению магнитопровода f_м, имеем:

∫rotЕ?df_м =  - ∫(dB/dt)?df_м ,                                 (8)

Аналогичным образом, представляя элемент dV_е объема V_е, занятого электрическим контуром, в виде произведения элементов его длины dℓ_е и сечения  df_е, и интегрируя (7) по f_е, получим:

∫rot H?df_е =  - ∫(dD/dt)?df_е ,                                  (9)

          Правые части (8) и (9) имеют смысл производных по времени от параметров "изотонического" (по Фарадею) состояния Ф_м = ∫B?df_м и Ф_е = ∫D?df_е, которые традиционно представляются числом магнитных и электрических силовых линий, пронизывающих поверхность f_m и f_e [4], и до сих пор именуются в электродинамике "потоками".  Это неудачное название расходится с интуитивным представлением о потоке как о чем-то, связанном с движением некоторой субстанции в пространстве. Для унификации понятийной системы ТНП в [5] предложено закрепить термин "поток" за вектором J_i, выражающимся произведением какой-либо переносимой величины Θ_i (массы  k-го вещества, заряда, энтропии, импульса и т.п.) на скорость ее переноса v_i  (по аналогии с электрическим током), а производную от самой этой скалярной величины Θ_i по времени dΘ_i/dt обозначать через J_i и называть скоростью соответствующего процесса (в данном случае скоростью изменения изотонического состояния):

            J_e ≡ dФ_е/dt = ∫(dD/dt)df_e;                         (10)

             J_м ≡ dФ_м/dt = ∫(dB/dt)df_м  .                       (11)

         Для выяснения смысла левой части уравнений (8) и (9) воспользуемся теоремой Стокса, позволяющей перейти от интеграла по произвольной поверхности, натянутой на некоторый замкнутый контур, к криволинейному интегралу по замкнутому пути. В нашем случае это сечение магнитопровода f_м, охватываемого  витками обмотки трансформатора, и сечение окна магнитопровода, заполненного обмоткой, так что

∫rotЕ?df_м =  = X_е ,                         (12)

         ∫rotH?df_e  = = X_м  ,                              (13)

где X_е, X_м  - так называемые электродвижущая и магнитодвижущая силы ("эдс" и "мдс") [6].

       После этих процедур уравнения (6) и (7) приобретают особенно простой вид:

X_e = - J_м  ;                                                 (14)

X_м  =  J_e .                                                   (15)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея (правило потока), согласно которому эдс численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур. Второе уравнение имеет сходный смысл в отношении магнитодвижущей силы. Нетрудно заметить, что оба эти уравнения представляют собой частный случай феноменологических законов ТНП

J_i = Σ_j L_ij X_j .  (i,j = 1, 2,...,n) ,                 (16)

где J_i  - какой-либо из независимых потоков (тепла, k- го вещества, заряда, импульса и т.п.); X_j - любая из имеющихся в системе движущих сил того же (или четного) тензорного ранга, именуемых в ТНП "термодинамическими силами" [3]; L_ij - так называемые "феноменологические коэффициенты" пропорциональности, отражающие вклад любой "чужеродной" силы X_j в процесс переноса i-й физической величины. В частном случае, когда в системе действуют только две скалярные силы (электродвижущая X_e и магнитодвижущая X_м ), эти законы принимают вид:

J_e = L_ee X_e + L_eмX_м;                                        (17)

J_м = L_мeX_e + L_ммX_м ,                                       (18)

         Диагональные члены L_eeX_e и L_ммX_м такой (матричной) формы феноменологических законов  ответственны за процессы рассеяния энергии, а так называемые "перекрестные" члены L_eмX_м и L_мeX_e отражают взаимное влияние разнородных процессов, в том числе процесса преобразования электрической энергии в магнитную и наоборот [3]. При этом, как показано в [3], имеют место антисимметричные соотношения взаимности Онсагера-Казимира L_eм = - L_мe . В рассматриваемом случае, как следует из (14) и (15), L_мe  = - L_eм = -1.

          Нетрудно видеть, что уравнения (14) и (15) отражают баланс мощностей N_е = - N_м в процессе преобразования электрической энергии N_е = X_eJ_e  в магнитную и обратного процесса преобразования магнитной энергии N_м = X_мJ_м в электрическую. Наличие такого баланса недвусмысленно указывает на то, что в исходных уравнениях Максвелла не учитываются процессы рассеяния той и другой формы энергии, т.е. рассматриваются так называемые обратимые (бездиссипативные) процессы, не изменяющие энтропии системы. Если отказаться от учета пространственной неоднородности системы и вслед за классической электродинамикой рассматривать энергию U_v единицы объема такой системы как функцию векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности этих полей E и H, то этот процесс превращения энергии электрического поля в магнитную и наоборот описывается уравнением 1-го начала термодинамики в форме:

dU _v = E?dD + H?dB = 0.                                (19)

Таким образом, энергетический баланс рассматриваемой системы вполне укладывается в рамки классической термодинамики равновесных систем.

Причины ограниченности уравнений Максвелла. Проведенное рассмотрение показывает, что компактность и изящество уравнений Максвелла является следствием целого ряда ограничений, которые не могли быть учтены в то время при математическом описании экспериментов Фарадея. Прежде всего, эти уравнения описывают лишь процессы в замкнутых электрических и магнитных контурах и не применимы к отрезкам проводников и к элементам тока. Это подчеркивалось и самим Максвеллом [1]. Во-вторых, выражения сил X_e = ∫E?dℓ_e и X_м = ∫H?dℓ_м в интегральных уравнениях Максвелла не раскрывают истинные причины возникновения внутреннего движения дипольных зарядов. Ими согласно уравнениям (17) и (18) являются "чужеродные силы", называемые в электродинамике "сторонними" [6]. То обстоятельство, что появление эдс обусловлено именно "сторонними" (некулоновскими) силами, понимал еще Максвелл, который наряду с уравнениями (1)...(4) дал в [1] более общее определение электродвижущей силы:

X_e = ∫ (-gradφ - ∂А_е/∂t + v_е×B)dℓ_е .                 (20)

Как следует из этого выражения, он включил в число составляющих эдс наряду с электрическим полем E = -gradφ производную по времени от векторного потенциала А_е, учитывающую нестационарность процесса,  а также магнитную составляющую силы Лоренца v_е×B. Это выражение до сих пор считается в электродинамике наиболее общим [1], хотя в соответствии с (16) на эдс влияют и другие процессы, протекающие в тех же элементах пространства (в т.ч. физические, физико-химические, термодинамические и др.). В таком случае в выражении (16) появляются дополнительные составляющие эдс, наличие которых обусловливает появление целого ряда так называемых "эффектов наложения", выражающих взаимосвязь электрических явлений с неэлектрическими [3]. Еще дальше в этом отношении идет энергодинамика [5], позволяющая находить результирующую движущую силу F_i какого-либо независимого i-го процесса путем перехода от термодинамических сил X_j к силам F_j = Θ_iX_j в их обычном (ньютоновском) понимании. Благодаря единой размерности этих сил [Н] они допускают непосредственное суммирование, подобное тому, которое осуществляется в выражении (20), и тем самым осуществить дальнейшее сокращение числа феноменологических коэффициентов L_ij в уравнениях (16) с n(n+1)/2 до n. При этом уравнения переноса (16) принимают вид:

J_i = L_i Σ_j F_ij .  (i,j = 1, 2,...,n) ,                 (21)

где F_ij - компоненты результирующей силы F_i ; L_i - новые феноменологические коэффициенты, характеризующие проводимость системы по отношению к переносимой величине Θ_i.

          В частности, как показано в [5], в системах с неоднородным полем в число составляющих эдс входит дополнительная сила, обусловленная наличием градиента температур и названная нами "термодвижущей" силой. Её присутствие в обобщенном законе Ома позволяет предсказать и описать целый ряд термоэлектрических, терморезистивных, термомагнитных и термогальваномагнитных эффектов, возникающих в электропроводящих средах вследствие искривления линий тока по действием этой силы, и установить ряд дополнительных взаимосвязей между ними, не предсказанных ТНП [3]. Следовательно, не только выражение X_e = ∫E×dℓ_e , но и (16) не является полным, и с методологической точки зрения более оправдан подход к электродинамике не с позиций Максвелла, а с позиций энергодинамики как более общей теории реальных процессов, которая дополняет уравнения (20) дополнительными слагаемыми по мере появления в системе новых движущих сил. Таким путем, например, выявлена необходимость дополнения правой части уравнений (1) и (2) для диэлектриков и магнетиков слагаемыми, отражающими появление наряду с током проводимости потоков электрического и магнитного смещения [5]. При этом обнаруживается, что причиной возникновения электро-движущей и магнитодвижущей силы является не только изменение потоков вектора электрической и магнитной индукции D и B, но и движение самого поляризованного или намагниченного тела. Это позволяет объяснить, почему эдс возникает и там, где движется сам контур, пронизываемый потоком сцепления ∂B/∂t, хотя этот поток остается неизменным во времени [4]. Отсутствие в уравнениях (1) и (2) потока смещения вынуждает пользоваться разными законами силы для случая движущегося контура и меняющегося поля [4]. Кроме того, становится понятным также возникновение магнитного поля при движении поляризован-ного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета), объяснение которых требует в настоящее время привлечения релятивистских теорий.

           Остается только напомнить, что уравнения Максвелла, как выяснилось выше, не учитывали вообще потери от необратимости процесса преобразования электричес-кого поля в магнит-ное, в частности, потери при переполяризации, имеющие место в полупроводящих средах, а также потери при перемагничивании магнитопроводов. Исключалась и возможность предсказания сущееествования продольных электромагнитных волн, которые могли быть вызваны колебательным движением зарядов или полюсов электрических и магнитных диполей. Все это говорит о том, что в уравнениях Максвелла заключена отнюдь не вся электродинамика, и последняя требует рассмотрения с позиций более общей теории процессов переноса и преобразования энергии, как это сделано в  [5].  

                                                                 Литература

1.      Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. - М.: Гостехиздат, 1954, 688 с.

2.      Эткин В.А. Термодинамический вывод уравнений Максвелла (http://sciteclibrary.ru /rus/catalog/pages/7628.html), 07.06. 2004.

3.      Де Грот С.. Мазур П. Неравновесная термодинамика, М.: Мир, 1964.

4.      Фейнман Р.П., Лейтон Р. Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.5.,  М.: Мир, 1977.

5.      Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - С-Пб, "Наука", 2008

6.      Поливанов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982.