Введение. Принято считать, что токи смещения входят в правую часть уравнений Максвелла [1] совершенно равноправно с токами переноса. Однако "до настоящего времени эти уравнения через токи смещения никто еще не решал, так как решения такие оказались просто невозможными" [2]. Причина этого кроется, на наш взгляд, в том, что учет токов смещения в "современной" записи уравнений электродинамики (в форме Герца-Хэвисайда) является только кажущимся. Действительно, понятие потока, пришедшее из механики, тесно связано с представлением об истечении жидкости и с наличием её импульса. Так, в теории необратимых процессов (ТНП), объединяющей термодинамику с теорией теплообмена, гидродинамикой и электродинамикой [3], под потоком J_i понимается произведение переносимой величины θ_i на скорость её переноса v_i , а под плотностью этого потока j_i = ρ_iv_i - произведение плотности указанной величины ρ_i на эту скорость. В частности, плотность электрического тока определяется в ТНП произведением плотности электричес-кого заряда ρ_е на скорость его переноса v_е. Однако в теории электромагне-тизма под токами смещения понимаются частные производ-ные (∂E/∂t) от вектора E напряженности поля, которые "нельзя считать скоростью чего-либо" [2]. Таким образом, уравнения Максвелла фактически не содержат токов смещения в их общефизическом смысле. Между тем такие токи играют важную роль в электромагнитных процессах наряду с производной (∂E/∂t). Представляет интерес учесть их в уравнениях электромагнитного поля и показать, что их введение не противоречит опытным фактам.

Потоки смещения и их аналитическое выражение. Дж. К. Максвелл ввел понятие тока смещения на основании довольно частной механической модели, в которой электромагнитные явления моделировались вихрями в упругом вакууме, связанными между собой воображаемыми "колесиками" [1]. В последующем все "строительные леса", которым пользовался Максвелл, были отброшены, а введенная им "добавка" dЕ/dt в закон Фарадея, названная "током смещения", утратила изначальный смысл. Тем больший интерес представляет возможность дать наглядное представление о токах смещения, обобщить это понятие на явления неэлектрической природы и вывести уравнения Максвелла с учетом этих потоков из первых принципов неравновесной термодинамики [3,4].

Специфика предлагаемого подхода состоит в явном учете (с помощью специфических параметров)пространственной неоднородности поляризованных сред. Эта неоднородность является следствием протекания в неравновесных системах процессов перераспределения экстенсивных термостатических переменных θ_i (масс k-х веществ, энтропии, зарядов и т.п.) между частями системы. Это происходит как при совершении над системой полезной работы, так и при релаксации системы. Указанное перераспределение приводит к смещению центра величины θ_i, определяемой радиус-вектором R_i , от его положения R_io в однородной системе. Вследствие этого в системе возникает некоторый "момент распределения" Z_i = θ_iΔR_i термостатических переменных θ_i, а энергия системы становится зависящей не только от параметров θ_i , но и от их положения в пространстве (векторов смещения ΔR_i = R_i - R_io) [3].

Понимание единства такого рода процессов перераспределения с явлениями электрической или магнитной поляризации облегчается, если последние представить как результат создания диполей с разноименными (противоположными по знаку) дискретными элементарными электрическими или магнитными "зарядами" dθ_i (применение термина "заряд" по отношению к магнитным диполям является условным [5]). Эти заряды мы будем называть "дипольными", чтобы отличить их от "поляризационных" электрических ρ_e^п и магнитых ρ_m^п "поляризационных" зарядов, обусловленных неоднородностью поляризации [5,6].

Обозначив разноименные заряды соответственно одним и двумя штрихами (dθ_i' и dθ_i"), радиус-векторы R_i' и R_i'' центров их совокупности θ_i' = Σ_idθ_i' и θ_i" = Σ_idθ_i" для тела в целом можно найти из известного выражения:

Разность R_i'' - R_i' имеет смысл средней величины плеча соответствующего диполя, а произведение

- смысл дипольного момента системы [3]. Величину Z_i удобно представить в виде суммы моментов обеих плеч диполя. Для этого представим плечо диполя R_i'' - R_i' в виде (R_i'' - R_iо) - (R_i' - R_iо) = ΔR_i'' - ΔR_i', где R_iо = (R_i'+ R_i'')/2 - радиус-вектор точки поля, в которую "стягиваются" разноименные заряды по мере деполяризации. Поскольку выбор знака плеч диполя произволен, положим ΔR_i'≤0 и Δ_i'≤ 0. Тогда моменты плеч θ_i'ΔR_i' и θ_i''ΔR_i'' приобретают единый знак, и полный дипольный момент системы становится равной их сумме Z_i = θ_i'ΔR_i' + θ_i''ΔR_i''. В таком случае производная ∂Z_i /∂V = ρ_i'Δr_i'+ ρ_i''Δr_i'' соответствует понятиям вектора поляризации P и намагниченности M, вводимым обычно формально ("по определению") [5], т.е. определяет дипольный момент единицы объема диэлектрика или магнетика Z_iv = ρ_i'Δr_i'+ ρ_i''Δr_i'' (где ρ_i' и ρ_i'' - плотность дипольных зарядов в элементе объема dV; Δr_i', Δr_i'' - их локальные смещения от "нейтральной" точки). В частном случае незамкнутых проводников, внесенных в электрическое поле Е, параметр θ_i представляет собой свободный заряд θ_е, так что величина Z_е приобретает смысл вектора электрического смещения в системе в целом, а ее производная по объему системы ∂Z_е /∂V = ρ_е(r_е - r_ео) - смысл вектора электрического смещения (индукции) в единице объема однородного диэлектрика D [2].

В таком случае производная по времени t от новых координат состояния - векторов смещения ∆R_i - определяет относительную скорость w_i = dR_i /dt переноса величины θ_i в системе, а произведение θ_iw _i - специфический "поток смещения" :

где J_i ≡ ρ _i dr_i /dt - локальная плотность потока полевой величины θ_i, имеющая тот же смысл, что и плотность электрического тока. Это соответствует общефизическому пониманию потока в теории необратимых процессов [7] как произведения переносимой величины на скорость ее переноса. От тока проводимости векторные потоки смещения dZ_i/dt отличаются тем, что они не пересекают границы системы (т.е. являются внутренними). Такие потоки играют важную роль во многих явлениях. Именно им пропорциональна сила Ампера, действующая со стороны поля на движущийся проводник с током, эффект Томсона в термоэлементах и т.п. Благодаря введению в неравновесную термодинамику таких потоков предложенное Максвеллом понятие тока смещения приобретает вполне определенный физический смысл как частный случай потока смещения при перераспределении любой экстенсивной величины.

В соответствии с методологией термодинамики связь экстенсивных дипольных моментов диэлектрика Z_e и магнетика Z_m с напряженностями электрического и магнитного поля E и H, их абсолютной температурой T и объемом V может быть выражена уравнениями состояния общего вида

где ε₀, μ₀ - диэлектрическая и магнитная проницаемости "пустоты"; ε(T) и μ(T) - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика и магнетика как функции их абсолютной температуры Т. Разновидностью этих уравнений являются известные соотношения

Эти уравнения определяют внутреннее состояние диэлектриков и магнетиков. В частном случае проводников, у которых поляризация отсутствует, уравнение состояния принимает вид D = ε_оЕ . Существенно, что в соответствии с методологией термодинамики внутреннее состояние системы характеризуется экстенсивными переменными типа θ_i и Z_i , так что именно вектор индукции D определяет сумму свободных и связанных зарядов единицы объема несовершенного диэлектрика, а не внешнее поле Е, поскольку последнее существует и в вакууме (в отсутствие каких-либо зарядов вообще) и является величиной интенсивной.

Если границы исследуемой системы проведены корректно, т.е. не "разрезают" диполи [5], то в ней содержится целое число диполей, а их суммарный дипольный заряд θ_i'+ θ_i'' равен нулю

Это интегральное соотношение, выполняющееся для тела любого объема, означает, что подынтегральное выражение (ρ_i'+ ρ_i'') может быть выражено дивергенцией векторов поляризации и намагничивания P и M [6]:

Здесь ρ_e', ρ_e'' и ρ_m', ρ_m'' - соответственно плотности электрических и магнитных дипольных зарядов. Известно, что в однородно поляризованном диэлектрике или магнетике эти заряды в сумме равны нулю, так что divP = 0 и divM = 0. В отличие от них, дипольные заряды ρ_i', ρ_i'' и их потоки J_i' = ρ_i'dr_i'/dt и J_i''= ρ_i''dr_i''/dt не исчезают при однородной поляризации диэлектрика или магнетика, и это обстоятельство играет решающую роль при формулировании уравнений Максвелла.

Известно, что если какая-либо величина, например, вектор поляризации P = ρ_е'Δr_е'+ ρ_е''Δr_е'', является функцией пространственных координат точек поля r', r'', т.е. P = P(r', r'', t) и M = M(r', r'', t), а сами эти точки движутся вдоль траекторий r' = r'(t) и r''= r''(t), то полная скорость ее изменения во времени t определяется выражением:

где v'= dr'/dt, v''= dr''/dt - скорости смещения в пространстве центров дипольных зарядов.

Учитывая, что ∂P/∂r' = ρ_е', ∂P/∂r''= ρ_е'', ∂M/∂r'= ρ_m',∂M/∂r''= ρ_m'', найдем:

где J_m', J_m'' - плотности потоков смещения разноименных полюсов.

Заметим, что поскольку ρ_i' = - ρ_i'' и dr'/dt = - dr''/dt, оба потока смещения J_e' , J_e'' или J_m', J_m''' имеют один и тот же знак, так что их сумма отнюдь не равна нулю даже в случае равенства нулю суммарного "поляризационного" заряда ρ' + ρ''. Именно это обстоятельство и позволяет в дальнейшем дополнить уравнения Максвелла токами смещения.

Учет токов смещения в уравнениях электромагнитного поля существенно облегчается при выводе этих уравнений из первых принципов неравновесной термодинамики [4]. Рассмотрим для общности некоторое тело единичного объема, помещенное во внешнее электрическое E и магнитное H поля и взаимодействующее с ними. Состояние такой системы при неизменном составе и массе характеризуется энергией U, абсолютной температурой T, энтропией S, электрической D и магнитной индукцией B, термодинамическое соотношение между которыми имеет вид [3,4]:

Здесь два последних члена характеризуют соответственно элементарную обратимую работу поляризации EdD и намагничивания HdB данного тела. Обращает на себя внимание, что в эти выражения входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания. Это обстоятельство и предопределяет появление полных производных от них по времени и в уравнениях электромагнитного поля.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

Если такие процессы не изменяют энергии системы и ее энтропии (т.е. энергия системы из одной упорядоченной формы целиком переходит в другую ее упорядоченную форму), имеет место очевидный баланс мощностей W_e+W_м= 0, вытекающий из закона сохранения энергии. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

Это соотношение представляет собой термодинамическую форму уравнений электромагнитного поля. Чтобы придать им вид, предложенный Максвеллом, рассмотрим систему, состоящую из замкнутого электрического контура произвольной длины l_e и переменного (в общем случае) сечения f_e, который охватывает замкнутый же магнитопровод длиной l_m и переменным по длине сечением f_m . Тогда для электрического контура и магнитопровода в целом выражение (14) примет вид [4]:

где X_e , X_м - так называемые электродвижущая и магнитодвижущая силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией векторов E и H вдоль замкнутого электрического и магнитного контуров длиной l_e и l_m [3,4]; dN/dt, dФ/dt - потоки векторов электрической и магнитной индукции (соответственно N = ∫D·df_e и Ф = ∫B·df_м ), традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечения электрического контура f_e и магнитопровода f_m.

Второе из этих соотношений представляет собой закон Фарадея (правило потока), согласно которому ЭДС численно равна по величине и противоположна по знаку полной скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур. Теперь для получения интегральных уравнений электромагнитного поля остается перейти на основании теоремы Стокса в выражениях силы X_м от криволинейного интеграла по замкнутому магнитному контуру длиной l_m к интегралу от ротора вектора H по поверхности f_е, натянутой на электрический контур, и от интеграла от вектора E по замкнутому электрическому контуру длиной l_e в выражении X_е - к интегралу от ротора E по сечению f_м магнитопровода. В дифференциальной форме эти уравнения имеют вид [4]:

От соответствующих уравнений в форме Герца-Хэвисайда эти соотношения отличаются тем, что в них, как и в оригинальных уравнениях Максвелла, фигурируют не частные, а полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции [1, 541]. Само по себе это обстоятельство не играло бы существенной роли, если бы векторы поляризации или намагничивания по-прежнему рассматривались бы как функции радиус-вектора точки поля r и времени t , т.е. P = P(r, t) и M = M(r, t). В таком случае

так что в однородно поляризованных системах (∂P/∂r = ρ_е^п = 0) в (21) оставалась лишь локальная производная (∂D/∂t), не имеющая отношения к потокам смещения. Таким образом, именно учет процессов смещения разноименных зарядов относительного их общего центра приводит к появлению в соответствующем уравнении Максвелла наряду с производной (∂D/∂t) и током проводимости I токов смещения J_e' и J_e'':

Аналогичным образом, принимая во внимание, что ∂H/∂r = 0 [6] (свободных магнитных "монополей" не существует), и раскрывая производную dB/dt с учетом (5), приходим ко второму уравнению Максвелла в виде:

Уравнения электромагнитного поля, записанные в форме (20-21), дают более полную картину процессов, происходящих в диэлектриках и магнетиках, поскольку явным образом содержат потоки смещения.

Обсуждение результатов. Особенностью предложенного подхода является учет пространственной неоднородности поляризованных сред. Эта пространственная неоднородность состоит в возникновении даже у однородно поляризованной системы двух новых подсистем с противоположными свойствами (в данном случае - с разноименными зарядами или полюсами). В общем случае диэлектриков или магнетиков, движущихся со скоростью v, эти две подсистемы ведут себя независимым образом, перемещаясь в пространстве в процессе поляризации с различными скоростями v', v''. В математическом плане это означает, что векторы поляризации и намагничивания должны рассматриваться как функция состояния обеих подсистем, т.е. P = P(r', r'', t) и M = M(r', r'', t). Это позволяет учесть протекание в поляризуемых средах процессов возникновения и относительного смещения дипольных "зарядов" противоположного знака с плотностью ρ', ρ''. Эти заряды возникают не как результат неоднородной поляризации (возникновения электрических ρ_e^п и магнитых ρ_m^п "поляризационных" зарядов ρ_e^п = - divP ; ρ_m^п = - divM [5], а постольку, поскольку существует сама поляризация, т.е. когда отличны от нуля плечи электрического или магнитного диполей.

Чтобы убедиться в непротиворечивости полученных уравнений, возьмем дивергенцию от обеих частей выражения (20). Учитывая, что дивергенция ротора равна нулю, имеем:

Меняя в последнем слагаемом порядок дифференцирования по координатам и времени, и учитывая соотношение (∂D/∂r) = ρ_е + ρ_е' + ρ_е'', находим, что это слагаемое представляет собой сумму производных ∂(ρ_е/∂t) и ∂(ρ_е^п/∂t), так что (20) принимает вид:

Каждое из слагаемых (23), заключенных в квадратные скобки, представляет собой уравнение баланса общего вида ∂ρ_i/∂t + div J_i = σ_i [7] и обращается в нуль в силу закона сохранения заряда (отсутствия его источников σ_i).

Аналогичным образом, беря дивергенцию от обеих частей (21) с тем, чтобы обратить его левую часть в нуль, и повторяя те же операции, имеем:

Выражения в квадратных скобках представляют собой то же уравнение баланса [7] и обращаются в нуль ввиду отсутствия источников свободных "магнитных" зарядов (монополей).

Таким образом, присутствие в уравнения электромагнитного поля полных производных от векторов электрической и магнитной индукции D и B, продиктованное термодинамическими соотношениями для диэлектриков и магнетиков, не противоречит законам сохранения.

В то же время учет однонаправленности потоков смещения разноименных зарядов J_j', J_j'' позволяет объяснить ряд эффектов, наблюдающихся при движении диэлектрика или магнетика во внешнем поле. В частности, становится ясным, что даже в однородно поляризованных телах при наличии "конвективной" составляющей J^к = (ρ' + ρ'')v сумма потоков смещения J' + J'' отлична от нуля даже при равенстве нулю суммарной плотности разноименных дипольных зарядов ρ' и ρ''. Тем самым легко объясняется факт появления электрической поляризации в движущемся магнитно поляризованном теле в отсутствие внешнего поля H. С этих позиций возникновение магнитного поля при движении поляризованного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета) также объясняются как следствие J^к, не требуя привлечения для этого соображений релятивистских теорий (преобразований Лоренца).

Явный учет в уравнениях поля потоков смещения в их общефизическом понимании [7] снимает также ряд трудностей электродинамики, связанных с известными исключениями из правила потока [1]. Согласно (20) и (21) электродвижущая и магнитодвижущая силы возникают не только вследствие изменения потоков векторов электрической и магнитной индукции D и B, но и вследствие потоков энергоносителя (электрического и магнитного зарядов), независимо от того, чем эти потоки вызваны - перераспределением зарядов по системе или движением самой системы. Это объясняет, почему ЭДС возникает там, где "поток" ∂B/∂t (например, сквозь вращающийся диск) не меняется, и не возникает там, где этот поток изменяется (в частности, при повороте пластинок) [2, Т.6,с.54]. При этом исключается необходимость использования разных законов силы для случая движущегося контура и меняющегося поля [2]. Однако еще более важным представляется возможность объяснения ряда экспериментов, якобы не укладывающихся в рамки электродинамики.