Аннотация: ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО 'ОМАРА ХАЙЙАМА 12 Теория отношений Хаййама и его учение о числе
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО 'ОМАРА ХАЙЙАМА
12 Теория отношений Хаййама и его учение о числе
Вторая и третья книги "Комментариев к трудностям во введениях книги Евклида" посвящены теории отношений. И здесь Хаййаму предшествовал целый ряд ученых, комментировавших и отчасти критиковавших V книгу "Начал" (см. Р1ооij, стр. 50-54).
Хаййам не отрицает правильности знаменитого определения тождества двух отношений в V книге "Начал", в котором сравниваются произвольные равнократные первой и третьей и, соответственно, второй и четвертой величин, образующих пропорцию. С его точки зрения это определение страдало, однако, важным пороком, ибо не раскрывало "истинный смысл пропорции" (см. стр. 130). Мы бы сказали, что в глазах Хаййама это определение не выявляло измерительных свойств отношений, основных для математики стран ислама, в которой такое важное место занимали приближенные вычисления и действия с числовыми иррациональностями. Хаййам стремился дать такое определение равенства отношений, которое непосредственно отражает числовую функцию отношения. Он хотел соединить общую теорию отношений V книги, пригодную и для непрерывных соизмеримых величин, и теорию отношений чисел VII книги. При этом Хаййам встал на путь, по которому, видимо, не шли его предшественники: он доказывает эквивалентность евклидовых определений тождества и неравенства отношений с новыми, - и это сразу освобождает его от вывода всех теорем V книги.
Исходное определение Хаййама не было новым. В качестве свойства пропорциональных величин его можно встретить у более ранних восточных авторов, например у ал-Махани (см. Р1ооij), стр. 50). Судя по одному высказыванию Аристотеля в его "Топике" и толкованию этого места его комментатором Александром Афродизийским, это определение применялось в античной доевдоксовой теории отношений (см. Весkег, а). В основе здесь лежит процесс отыскания наибольшей общей меры и соответствующий алгоритм Евклида (для несоизмеримых величин - бесконечно продолжающийся). На современном языке определение Хаййама можно адекватно передать так: два отношения A/B и C/D равны тогда и только тогда, когда равны соответственные неполные частные тех - конечных или бесконечных - непрерывных дробей, в которые раскладываются отношения A/B и C/D. К этому Хаййам присоединяет определение неравенства отношений. Пусть неполные частные в разложении A/B суть q1, q2, q3..., а в разложении C/D - q1, q2, q3... Тогда по определению если при выполнении равенств qk = qk для k < m будет qm < qm для нечетного m и qm > qm для четного m. Случаи соизмеримых и несоизмеримых отношений здесь объединены.
Доказывая эквивалентность определений Евклида и собственного, Хаййам замечает существенный пробел в теории отyошений - отсутствие общей теоремы о существовании четвертой пропорциональной к трем данным величинам, которую Евклид доказал в VI книге только для частного случая отрезков. Хаййам видит прямую связь этой теоремы с непрерывностью и доказывает ее на основании еще одного из "принципов, заимствованных у философа": "величины можно делить до бесконечности, т.е. они не состоят из неделимых" (см. стр. 119), - в несколько иной формулировке такое положение у Аристотеля имеется. При выводе этой теоремы Хаййаму нужно доказать, что величина принимает каждое значение, промежуточное между какими-либо двумя ее значениями. Для этого приведенного принципа недостаточно, но здесь ценна сама идея. Позднее на необходимость ввести аксиому о существовании четвертой пропорциональной как существенного свойства непрерывных величин вновь указал в середине XIII в. Дж.Кампано в своем латинском переводе "Начал".
Третья книга "Комментариев" посвящена учению о составлении отношений, недостаточно развитому у Евклида. Это учение представляло для математиков стран ислама особую важность в связи с приложениями к теории музыки и, главное, тригонометрии. Это совершенно понятно, если учесть, что составление отношений соответствует умножению чисел. Незадолго до Хаййама ал-Бируни обосновал при помощи составных отношений практические правила индийцев - так называемые "цепные правила". В этой книге Хаййам отходит от Аристотеля в учении о числе. Признавая вслед за многими древними, что число в собственном смысле это натуральное число, собрание единиц, Хаййам предлагает ввести более широкое абстрактное понятие о числе, как о действительном положительном числе. Он стремится при этом теоретически обосновать давнюю практику математиков. Ведь "вычислители и землемеры часто говорят: половина единицы или треть ее или какая-нибудь другая доля ее, в то время как единица неделима, ... предполагают единицу делимой". Далее. "Они часто говорят: корень из пяти, корень из десяти и т.д. - их слова, действия и измерения изобилуют этими выражениями" (см. стр. 145). Каждому отношению A/B Хаййам ставит в соответствие некоторое число, правда в силу специфических обстоятельств, в виде 1/G. О G Хаййам говорит: "Будем смотреть на величину G не как на линию, поверхность, тело или время, но будем смотреть на нее как на величину, отвлеченную разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим, так как отношение А к В часто может не быть числовым" (см. стр. 144-145). Это был шаг вперед глубоко принципиального значения.
За Хаййамом в теории отношений и учении о числе последовал Насир ад-Дин ат-Туси. В Европе единое понятие действительного (положительного и отрицательного) числа появляется в конце XVI в. у С.Стевина. Критике теории отношений V книги "Начал" с позиции вычислительной математики посвящен целый ряд трудов математиков XVII в.; основную роль в разработке идеи действительного числа сыграли Р.Декарт и И.Ньютон, определивший число как отвлеченное отношение произвольной величины к единичной величине того же рода. Впрочем, строгие теории действительного числа появились только в конце XIX в. Таким образом, работы математиков стран ислама, и среди них работа Хаййама, являются существенными звеньями в цепи исследований, приведших к строгой теории действительного числа и основанному на ней математическому анализу.