Абстракция - отбрасывание несущественного, акцентирование главного, прием с успехом практикуемый еще античными ораторами, получил особенное развитие как способ моделирования реальности. Уже древние геометры манипулировали не имеющими размеров точками и простирающимися в бесконечность прямыми. (Словарь)
The vermin only teaze and pinch
Their foes superior by an inch.
So, naturalists observe, a flea
Has smaller fleas that on him prey;
And these have smaller still to bite'em,
And so proceed ad infinitum.
Jonathan Swift "On Poetry: a Rhapsody"
Первый постулат (Бинарности):
Универсум бинарен.
Это знали еще древние: Инь и Янь, Добро и Зло, Чет и Нечет.
Неважно, как именно названы эти две дуальные сущности, например, Пространство и Время, вещество и энергия, важно, что они ортогональны. Кажется удачной терминология Ф. Файрстоуна - Продольные и Поперечные величины. А. Вейник использует термины Заряд и Потенциал, или, в общем случае, Экстенсиал и Интенсиал. П. Кузнецов, вслед за Л. Бартини пишет о Протяженности и Длительности.
Второй постулат (Сохранения):
Для произвольной Системы всегда можно задать пару наблюдаемых сопряженных (ортогональных) параметров (p,d), описывающих ее движение.
Движение консервативной Системы с одной степенью свободы описывается траекторией на (фазовой) плоскости этих двух параметров (p,d), таких, что
S = p * d = const (топологический инвариант)
Произвольные деформации системы, в том числе, разрывные, сохраняющие площадь S на фазовой плоскости образуют группу движений, для которых выполняется Закон Сохранения, при этом S является мерой, так что целое равно сумме своих частей.
Пусть контрольная поверхность (в терминологии А. Гухмана) отсекает часть Универсума, выполняя бисекцию по некоторому признаку X. Это равносильно введению Инверсии, делящей все на X и Не-X.
Произвольная система описывается парой двойственных координатных систем, одну из которых можно трактовать как внешнюю, и вторую - как внутреннюю.
Введем двух (эйнштейновских) наблюдателей, разместив их по разные стороны контрольной поверхности и свяжем с ними две различные системы отсчета.
Тогда, для произвольной точки контрольной поверхности, независимо от выбора системы координат, измерения обоих наблюдателей для проходящего через поверхность потока должны совпасть, поскольку относятся к тому же самому объекту. Уравняв отсчеты в обоих системах, получаем описание преобразования из одной системы отсчета в другую.
Определение:
Биективное преобразование, переводящее координаты одной системы в другую, будем называть Трансформатором T.
С формальной точки зрения, нет разницы между рычагом Архимеда и Преобразованием Лоренца.
Третий постулат (Двойственности):
Для любой произвольной бисекции по любому признаку, найдется объект X, такой что X тождественен со своей инверсией Не-X (автодуален).
Двойственность и релятивизм
В силу симметрии параметров {p,d}, выбор того, что считать силой F и что - реакцией J на нее, произволен и может быть изменен на обратный. Таким образом, всякой системе S(p,d) соответствует двойственная ей S'(p',d') с обратным выбором силы и реакции.
С другой стороны, двойственность обусловлена самим выбором того, что именно принято за систему - внутренняя или внешняя, по отношению к контрольной поверхности, часть Универсума.
Иными словами, задавая дискриминирующий признак на множестве (границу раздела), мы расслаиваем его на два взаимодополняющих подмножества, организованных по факту наличия дискриминирующего признака (философы называют это диалектикой).
Двойственность системы естественно ведет к двум наблюдателям Эйнштейна, с разных позиций разглядывающих тот же самый объект. Не обязательно это должен быть световой луч, насквозь протыкающий две системы - любая точка на контрольной поверхности неизбежно будет общей для внутренней и внешней систем и любая общая для двух разных наблюдателей точка может трактоваться как одновременно рассматриваемая изнутри и снаружи.
Таким образом, граница раздела (контрольная поверхность) является трансформатором, в котором преломляется любой трансграничный поток и всякий раз, когда ставится знак равенства в математическом уравнении, это апелляция к понятиям трансформатора и инварианта (тождественности разделяемого объекта).
Четвертый постулат (Равновесия):
Две, приведенные в соприкосновение системы, стремятся к уравниванию своих параметров.
Симметрия - это просто другая запись Закона Сохранения - при трансляции (переносе) вдоль координат системы, объект не меняется.
В евклидовом пространстве, это трансляция Галилея, в СТО - Лоренца итд.
В простых трансляциях можно наблюдать сохранение геометрической формы, в более сложных (топология) - только связности (например, бублик топологически эквивалентен кофейной чашке), в еще более сложных трансляциях не сохраняется даже связность, но сохраняется объем - можно (симметрично) разлить на троих.
Вся Физика построена на сохранении объема - Энергии.
Во многих процессах не сохраняется ни форма, ни связность, ни что-либо еще - только Энергия.
Эти принципы кажутся достаточными, для описания произвольной обратимо деформируемой системы.
Из Теории Систем необходимо изгнать понятие "эмерджентности", этот пережиток витализма. Движения Системы - это пермутация ее элементов (сдвиг, поворот, отражение, инверсия итп). Инварианты движения (Сохранение Энергии итп) и задают тип Системы.
Трисекция - обычный прием декомпозиции. Как пример, можно назвать SVD (разложение матриц), метод Фортескью (симметричных составляющих), разложения N-угольников.
Второй важный прием - фрактализация: Система разбивается на подсистемы с сохранением Меры. В частном случае, эти подсистемы самоподобны (например, триангуляция). Как пример, ряды Фурье (эквивалентирование объекта и фрактала по Энергии).
Удобной и наглядной аналогией представляются электрические цепи, изначально представленные тройственным набором параметров (R, L, C) и развитыми методами декомпозиции и расчета. В этом отношении замечательны работы Г. Крона, прямо постулировавшего инвариант мощности в качестве меры при расчетах.
Представляется, однако, что понятие (средней за период) мощности может быть использовано только в периодических процессах и, в общем случае, необходимо учитывать полную энергию. В цепи с релаксатором, например, мгновенная мощность колеблется от нуля до максимума.
Мера (в частном случае, Энергия) полного мультифрактала складывается из суммы мер его частей и, по сути, является единственно возможной единицей для взаимных расчетов при взаимодействие систем (транспорт и обмен).
Например, при транспорте сообщений, такой мерой является шенноновская энтропия (фрактальная плотность текста).
Понятие фрактала для наших целей нуждается в уточнении. Далее под фракталом понимается регулярное (возможно, бесконечное) разбиение системы на подсистемы, сохраняющее меру.
Математически, это выглядит как система итерируемых функций, технически - как система с единичной обратной связью: выход поступает на вход. Собственная функция такой системы будет, в нашей терминологии, фракталом.
Входной сигнал системы с обратной связью можно рассматривать как сумму внешнего сигнала и передаваемой обратно на вход части выходного сигнала. Тогда, глубину обратной связи можно оценить как долю в полной энергии входного сигнала системы энергии выходного сигнала (энергия всегда аддитивна). Если внешний сигнал отсутствует вовсе, то входной сигнал полностью определяется выходным и система имеет единичную (100%) обратную связь.
В энергетическом аспекте неважно, какую именно часть замкнутой петли рассматривать как "систему" и какую как "связь", является ли эта связь "положительной" или "отрицательной" в том смысле, как это принято в кибернетике, и где именно происходит потеря или, наоборот, накачка энергии, если система неконсервативна. Это проблема "первородства яйца и курицы". Цикл замкнут и все его фазы равноценны.
"Реплика" и "репликатор", вероятно, было бы более точным и правильным названием, но далее будет использован термин "фрактал" - и как более "маркетинговый", и как исторически первый, и как память о той бесконечной череде дроблений, которой поражают большинство фрактальных конструкций.
Один очень частный случай подвода энергии к системе - обратная связь. Консервативная система - это единичная обратная связь.
Способ существования (движения) систем с единичной обратной связью - это самоподобный (генераторный) цикл, подобный трудам Сизифа (технически - релаксатору) или циклу "яйцо-курица", когда каждая новая итерация системы имеет своим входом только результат предыдущей.
Определим фрактал как целое, равное сумме всех своих частей. Иными словами, части системы обладают теми же свойствами, что и система в целом, они аддитивны, определена операция композиции этих частей и может быть вычислена некоторая характеристика (мера), такая, что сумма характеристик частей равна характеристике полной системы.
Например, если 0.5 л жидкости разлить по трем стаканам, то суммарный объем налитого будет равен исходному.
Системы, равные в смысле заданной меры будем считать эквивалентными. Разбиение полной системы на самоподобные независимые компоненты, суммарно равные целому в смысле заданной метрики, будем называть фрактальным разложением.
Например, взвешивание товара на рычажных весах задает его фрактальное разложение на гири и разновесы в смысле массы товара. Фурье-преобразование сигнала задает его фрактальное разложение на гармоники в смысле энергии сигнала.
Более точно, мерой системы будет тот предел (неподвижная точка), к которому стремится сумма мер частей при все увеличивающемся их количестве и все уменьшающемся размере (метод исчерпывания Архимеда).
Техническими примерами подобных устройств могут служить многовитковая катушка индуктивности или шаровая мельница. При этом рекурсия обеспечивает исключительную (кратную) эффективность. "Выживание" фрактала как собственной функции системы можно наблюдать в автоматной игре "Жизнь" Конвея или в "диком виде" - естественный отбор.
Заметим, что от определенного таким образом фрактала, не требуется ни дробная размерность, ни точное самоподобие. Важен только (рекурсивный) алгоритм конструирования.
При этом анализ Системы сводится к эквивалентированию Системы (Мульти)Фракталом и последовательному анализу подсистем.
Значимой характеристикой систем является соотношение параметров (p,d). Отношение этих двух параметров будем называть импедансом Z = p / d
Взаимодействующие системы будем назвать согласованными, если совпадают (согласованы) их импедансы (концентрация p,d). При рассогласовании систем возникает дополнительный поток, направленный на уравновешивание концентрации (отраженный/обратный поток).
Два примера.
Не считая всевозможных генераторных схем, два важных примера итерационных алгоритмов - это хэш-функции и блочные шифры.
Опишем фрактал F, как порождаемый генератором g, за число итераций n (в пределе, бесконечное)
F(g,n), n = 1..N
и мультфрактал M, как порождаемый набором генераторов g1,g2... , за число итераций n (в пределе, бесконечное)
M(g1,g2, ... n), n = 1..N
Итерируемая хэш-функция (такая, как MD5 или SHA256) является, по сути, конструктором фрактала с единственным генератором - входным текстом.
Блочный шифр (типа сети Фейстеля), наоборот, конструирует мультифрактал от двух генераторов: входного текста и секретного ключа.
И если хэш-функция - это "мельница", перемалывающая входной текст в "фарш", то блочный шифр перемалывает его в "фарш со специями".
Рассмотрим произвольную распределительную систему, такую как домовой водопровод или систему ранжирования Google.
В общем случае, для двух ортогональных параметров, условие равновесия распадается на два независимых условия (Законы Кирхгофа) для двух сопряженных (продольного и поперечного) параметров Файрстоуна (переменных состояния):
1. Сумма потоков в произвольном узле равна нулю.
2. Сумма напоров по произвольному замкнутому контуру равна нулю.
Интересно, что К. Шеннон в своем выводе формулы энтропии обошелся одним только Первым Законом (неразрывность потока вероятности) для чисто узловой цепи (дерево выбора).
Закон Ома. Термодинамическая тройка
Как обобщение Абстрактного Трансформатора, получаем известный из теории электрических цепей идеальный четырехполюсник, введенный в термодинамику под названием Уравнения Онзагера.
По аналогии с теорией четырехполюсников, что должно быть опытами Холостого Хода и Короткого Замыкания для транспорта сообщения?
m-битное сообщение, полученное в результате применения к n-битному тексту таблиц конверсии, может быть представлено в условной "матричной" форме как
u = Z * i
где
i - n-битное исходное сообщение,
u - m-битное результирующее,
Z - m * n "матрица" конверсии
Это уравнение является Законом Ома для информационной цепи, а "матрица" Z - ее информационным импедансом.
Заимствуя термины из электротехники, можно сказать, что информационный поток i, проходя через трансформатор T с импедансом Z, создает на нем напряжение u.
Трансформатор Z, для данного случая, абстрагируется моделью двухполюсника - элемента, имеющего ровно два узла (полюса).
Во многих, практически важных случаях (канал без потерь), "матрица" Z обратима - (сообщение может быть распаковано, расшифровано, преобразовано в исходную кодировку итд) и, таким образом, математически, задача восстановления исходного сообщения сводится к умножению результирующего на "обратную матрицу".
В терминах информационных потоков, Z можно было бы рассматривать как ребро ориентированного графа, в один узел которого втекает исходный поток, а из другого вытекает трансформированный, но "электрическая" модель лучше отражает природу происходящего преобразования.
Исключительно важно (но не учитывается "матричной" моделью), что координаты i и u контрвариантны. i - очевидная 'продольная' величина (поток), а u - 'поперечная' (напряжение).
Следуя Г. Крону, различные кодировки рассматриваются, как проекции того же самого сообщения в различные координатные системы (равномерные коды, неравномерные коды итп).
Причем, обратимость преобразования гарантирует, что эта "матрица" всегда невырождена.
Например, кодирование Хаффмана - это просто "косое" отображение равномерных кодов (фиксированной ширины) на неравномерные (переменной ширины).
А LZ-сжатие - это (зеркально) "косое" отображение неравномерных (переменной ширины) кодов (строк) на равномерные (фиксированной ширины) коды (номера этих строк в словаре).
Очевидно, что само сообщение при этом инвариантно. Математически, это должно быть произведением двух контрвариантных компонент - воздействия и отклика.
Подчеркнем еще раз, что "инвариантность мощности" (по Г. Крону) - это условие преобразования, а не его следствие и не нуждается в "доказательствах" (как это пытались делать некоторые его продолжатели, конструируя то "двойственные цепи", то "относительную математику").
Интересный анализ идей Г. Крона можно найти у М. Грамма ("Дедуктивная теоретическая электротехника"). Также А. Левич ("Энтропия как мера структурированности сложных систем") предлагает близкое по взглядам на инвариантность энтропии изложение.
Рычаг Архимеда - неразрывность потока вероятности
И еще один момент. Шеннон рассматривает некоторое дерево (назовем его деревом Архимеда - в сущности, это система рычагов), потом немного другое дерево и заявляет, что они эквивалентны (третья аксиома). Шеннон выписывает формулы для обоих и приравнивает их. Все ОК.
В попавшихся мне статьях и книгах по Теории Информации не встретилось ни рисунка этого дерева, ни связанной с ним формулы и, вероятно, их авторам она показалось банальной и не требующий ни внимания, ни комментария. У Шеннона оно тоже появляется мельком, невнятно, просто как числовой пример.
Шеннон уравнивает там два разных дерева (фактически, суммы моментов для рычагов Архимеда), а это две системы с различным числом измерений и матрица такого преобразования сингулярна (неквадратна) и - в математическом смысле - не имеет обратной (нет обратного преобразования).
Первым, кто ввел такие преобразования был Г. Крон (Тензорный анализ сетей), который постулировал равенство моментов (в терминологии электрических сетей - мощности). Споры об этом постулате не утихают до сих пор :-)
Думаю, К. Шеннон мог знать о работах Г. Крона, опубликованных почти двадцатью годами ранее (будучи не только математиком, но и (по второму диплому) инженером-электриком, но вряд ли думал о них (и втором постулате Крона) формулируя свою третью аксиому. Равновесие системы кажется настолько очевидным, что Шеннон просто ограничивается парой рисунков в разных статьях (по изданию К. Шеннон "Работы по Теории Информации и Кибернетике", М. 1963)
Взаимодействие систем
Рассмотрим взаимодействие двух абстрактных систем. Положим одну из них абсолютно жесткой (недеформируемой) и вторую - абсолютно пластичной.
На практике, это довольно частая ситуация, когда можно пренебречь "отдачей" и рассматривать деформацию только одной системы.
Используя "асимметричную", но устоявшуюся терминологию, деформируемую систему будем называть "сигналом", а деформирующую - "фильтром". Для различения состояний до и после деформации, будем говорить, соответственно, о "входном" и "выходном" сигналах.
При этом возможны четыре сценария взаимодействия:
1. Вариативный сигнал и инвариантный фильтр
Все возможные виды входных сигналов проходят через тот же самый фильтр. По сути, это классическая селекция по заданному критерию.
2. Инвариантный сигнал и вариативный фильтр.
Фактически, это вариационная задача на "Принцип наименьшего действия".
3. Инвариантный сигнал и инвариантный фильтр.
Этот случай выглядит тривиальным.
4. Вариативный сигнал и вариативный фильтр.
Результат довольно случаен - примерно, как крутить ручку настройки радиоприемника.
Число сценариев легко удвоить, добавив возможность рекурсивного взаимодействия - выход фильтра снова подается на его вход. Рекурсия может быть организована либо как каскадное соединение однотипных фильтров, либо замыканием петли обратной связи.
Рекурсивные процессы, такие как биологическая эволюция или автоматические производственные линии, обеспечивают все природное и техногенное разнообразие окружающего мира, а периодические кризисы (и не только финансовые), доказывают, что мы еще очень далеки от их понимания. Хорошо разработанная теория существует только для линейных систем.
Синхронизация
Две системы находятся в контакте, если могут обмениваться веществом/энергией (образуют термодинамическую пару).
В электротехнике, например, Индуктивность может запасать Кинетическую энергию (движущегося тока), а Конденсатор - Потенциальную (неподвижного заряда). В механике Масса может запасать Кинетическую энергию ("живая сила"), НО не Потенциальную (в отличие от того, чему учат в школе) - Потенциальную энергию запасает второй вид накопителя - Поле.
В силу этого, я считаю (вразрез с теорией колебаний) число степеней свободы системы по числу независимых накопителей (или, что то же самое, по числу различных видов запасенной энергии). Таким образом, Колебательный контур (гармонический осциллятор) имеет ДВЕ степени свободы (два накопителя, два вида энергии), а не одну, как это пишут во всех учебниках. (Одна степень свободы гасится связью, но ее существование следует учитывать).
Колебательный процесс, в моем представлении - это биения Энергии по степеням свободы (обмен Энергией между накопителями). Два (или более) вида накопителей (два фазовых состояния, две химических среды итп) необходимое условие периодического процесса.
Однако, накопитель может быть разряжен и на активную нагрузку - то есть, энергия необратимо переходит в тепло и не может быть возвращена назад в накопитель (система с одним накопителем). В этом случае, процесс апериодический, но, тем не менее, с точки зрения накопителя, это то же самое "колебание", только "полупериодное", так как фаза возврата никогда не наступает.
Обобщим эту ситуацию на синхронизацию апериодических систем.