Исаев Александр Васильевич

Теория струн и... мемуар Эйлера

Теория струн (суперструн) - это направление математической физики, изучающее (с начала 1970-х годов) динамику и взаимодействия так называемых квантовых струн. Мировой бестселлер (!) Грина Брайана, "Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории" (М.: Едиториал УРСС, 2004 г.) позволяет обрисовать квантовые струны следующим образом (и проще этого уже не рассказать?). Представьте себе резиновый шнур исчезающей толщины, то есть имеющий только одно измерение - длину. Так, например, волосы на голове для нас также имеет "только" длину, а про толщину волоса (0,08 мм) мы даже не вспоминаем. Вот и физикам толщина струны "не нужна". Из одномерного резинового шнура образовано (свернуто в "бублик") кольцо невообразимо малого размера: диаметр такого кольца - порядка планковской длины (10^-35 метра). Это - минимально возможный размер струны ("диаметр бублика") и наиболее вероятный размер струн в мироздании (именно таких струн больше всего). Однако теория струн говорит, что диаметры иных колец могут быть больше планковской длины на несколько порядков (и даже в и-триллион раз больше? см. мои статьи про и-триллион, равный 7*10^11). Поскольку струны (размеры колец) чрезвычайно малы, то они выглядят для экспериментаторов как точечные частицы и не противоречат результатам экспериментов, поставленных в рамках других физических теорий (скажем, в рамках так называемой Стандартной модели). А теперь представьте, что выше описанный (бесконечно тонкий) резиновый шнур, свернутый в (крошечное) кольцо, колеблется (вибрирует), причем по окружности кольца укладывается всегда исключительно целое количество волн (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... волн , что также дает мне основание верить в свою виртуальную космологию, рассматривающую ряд натуральных чисел как некое наипростейшее математическое "зеркало"... мироздания). Выше были описаны замкнутые струны ("кольца", именно о них мы и будем говорить в данной статье), однако существуют ещё открытые струны (как бы "палочки" со свободными концами), и для них справедливо почти всё, что было и ещё будет сказано нами о замкнутых струнах.

Струны - это новый (и предельно глубокий?) микроскопический уровень в известной иерархии материи, которую можно свести к следующему: в фундаменте мироздания лежат струны, которые "формируют" кварки и лептоны; из которых "склеены" протоны, нейтроны, электроны и прочие элементарные частицы; из которых состоят атомы; из которых составлены молекулы; из которых построено всё вещество (так, живые клетки построены из органических молекул, а из последних "сконструирован" и сам человек).

Бесконечно тонкая одномерная (имеющая только "длину") струна - это математическая идеализация. Но из чего на самом деле состоят струны? Обычно считают, что этот вопрос не имеет смысла, так как нет ничего более фундаментального, чем струна. Струна не имеет компонентов, более глубокой основы (хотя уже есть интригующие догадки о более глубоких уровнях структуры струны). "Материал" всего вещества и всех четырех фундаментальных взаимодействий (четырех сил природы, в том числе и гравитации) в теории струн - одинаков, так как все струны абсолютно идентичны. А до теории струн считалось, что все фундаментальные частицы "отрезаны от разных кусков ткани": для каждого из 6 "сортов" кварка - своя "ткань", для 6 "сортов" лептонов - своя и т. д. В теории струн совершенно иное объяснение того, что такое элементарная частица (любая, в том числе и фундаментальная: кварки, лептоны) - в теории струн "просто" каждая из разрешенных мод колебаний струны проявляется в виде... элементарной частицы (масса и заряды которой определяются конкретным видом колебания струны). Та же идея применима к фундаментальным взаимодействиям, а вернее, к частицам-"переносчикам" этих полей. Таким образом, согласно теории струн, всё вещество и все силы природы обязаны своим происхождением одной фундаментальной величине - колеблющейся струне, которая имеет резонансные частоты, то есть всё в этом мире состоит из комбинаций вибрирующих волокон. Микроструктура Вселенной - это сложно переплетенный, многомерный лабиринт, в котором струны бесконечно закручиваются и вибрируют, ритмично отбивая законы космоса. То есть ВСЁ (в том числе все тайны жизни, мы с вами и наши мысли) - это своеобразный... "танец" струн. Представить такое непросто, но это, по моему мнению, интереснее любой фантастики (в том числе и всевозможных религиозных учений в части устройства мироздания).

Теория хаоса учит, что при увеличении сложности системы начинают действовать новые законы (закон перехода количества в новое качество). Так, понимание струнной природы электрона - это одно, а понимание, скажем, процессов грозового разряда (молнии) - совсем другое, но это не связано с работой новых физических законов. В объяснении молнии есть только чисто вычислительные проблемы, главное - это понять, как устроен фундамент мироздания, а всё остальное - "дело техники". Этот фундамент мироздания и пытается описать теория струн (а также, возможно, и моя виртуальная космология, но лишь в малых фрагментах фундамента и в предельно упрощенной, "иносказательной" форме).

Масса любой фундаментальной частицы (её "сорт", тип) определяется энергией колебания струны: струны тяжелых частиц совершают более интенсивные колебания, струны легких частиц колеблются менее интенсивно. Чем больше амплитуда и чем короче длина волны, тем больше энергия, причем энергия колебания струн может иметь только дискретные значения (и снова возникает "тень" натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... и моей виртуальной космологии). Но наиболее типичные колебания струны соответствуют частице, масса которой равна планковской массе (0,000.000.001 кг - это масса пылинки, что для микромира является гигантской массой). То есть сравнительно легкие элементарные частицы образуются, словно из тумана, расстилающего над ревущим океаном высокоэнергетических струн. Существует бесконечное число мод колебаний струны, то есть количество различных "сортов" элементарных частиц - бесконечно.

"Теория всего" - так можно назвать теорию струн, ибо все события во Вселенной являются отражением одного великого физического принципа. И это - не конец науки, а её начало; прочный фундамент (основание, точка опоры) для строительства нашего понимания мироздания. Теория струн - мощная парадигма (совокупность) понятий о пространстве-времени, возможно, выводящая нас на финишную прямую; она впервые дает изящные ответы на самые фундаментальные вопросы. Однако, несмотря на математическую строгость и целостность теории, пока не найдены варианты экспериментального подтверждения теории струн, теория оказалась в "экспериментальном вакууме". Но развитие теории струн продолжается, и есть надежда, что недостающие элементы струнных теорий и соответствующие феномены будут найдены в ближайшем будущем, в том числе в результате экспериментов на суперколлайдере LHC - Большом адронном коллайдере (БАК) под Женевой.

А теперь мы слегка "коснемся" только одной единственной формулы из теории струн. Известный популяризатор теоретической физики, американский учёный Митио Каку (р. 1947 г.) ещё в 1988 году написал книгу о теории струн, которая в 1999 году была издана и на русском языке (М. Каку, Введение в теорию суперструн. М.: "Мир", 624 стр.) тиражом 3000 экз. В указанной книге на стр. 614 (в Приложении данной книги в параграфе под названием "Словарик терминов") есть такой абзац (правда, формулу я здесь привожу в моих обозначениях, курсив также мой): "Функция распределения имеет вид

F(x) = [(1 - х^1)(1 - х^2)(1 - х^3)(1 - х^4)(1 - х^5)...(1 - х^n)...]^(-D).                                     (1)

При D = 1 коэффициент при х^n дает распределение, отвечающее целому числу n. Эта функция не только определяет число состояний струнной модели на уровне n, но также управляет расходимостью однопетлевой амплитуды." По-своему поясню, приведенный текст: в теории струн функция распределения F(x) - это произведение бесконечного количества членов вида (1 - х^n)^(-D), где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., (до бесконечности). Причем при D = 1 каждый член этого произведения принимает вид 1/(1 - х^n), а сама функция распределения определяет некие важнейшие параметры квантовой струны. Итак, в части "струнного" смысла формулы (1), нам достаточно уяснить, что функция распределения (указанное произведение) определяет, скажем, самую глубинную структуру мироздания (с математических позиций теории струн).

Так вот, в связи с формулой (1) я вспомнил следующее бесконечное произведение (о нем писал в своих книгах):

П = (1 - х^1)(1 - х^2)(1 - х^3)(1 - х^4)(1 - х^5)... (1 - х^n)... ,                                       (2)

где аргумент х рассматривается на интервале от 0 до 1, а n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., (до бесконечности). Впервые данное произведение изучил Леонард Эйлер (1707-1783) - один из величайших математиков, автор более чем 800 научных работ (и такой "плодовитости" никто из математиков не достиг, даже без учета фундаментальной важности многих работ Эйлера). В одном из своих мемуаров Эйлер впервые указал на то, что произведение (2) равно следующей бесконечной сумме (S) (где аргумент х из того же интервала, что и в произведении П):

S = 1 - х^1 - х^2 + х^5 + х^7 - х^12 - х^15  + х^22 +х^26 - х^35 - х^40 + ...    .                       (3)

Более того, исходя из заявленного равенства П = S, Эйлер написал удивительный мемуар, который назвал "Открытие наиболее необычайного закона чисел, относящегося к суммам их делителей". Как видно из названия мемуара найденный закон поразил даже самого Эйлера. Ниже я опишу этот закон, но перед этим введу нехитрое обозначение: пусть б(N) - это сумма всех целых делителей натурального числа N. Например, у числа N = 21 есть всего четыре целых делителя: 1, 3, 7, 21, поэтому получаем б(21) = 1 + 3 + 7 + 21 = 32, а в рамках виртуальной космологии (моей игры-теории) мы также будем говорить, что богатство числа N = 21 равно 32, то есть б(21) = 32. Очевидно, что у всякого натурального числа N есть богатство - это сумма всех целых делителей числа N, богатство - это один из многих параметров всякого натурального числа N.  

Ну а теперь напишу "наиболее необычайный закон чисел" на строгом языке математически:

б(N) = б(N -1) + б(N - 2) - б(N - 5) - б(N - 7)    +

        + б(N-12) + б(N-15) - б(N-22) - б(N-26)   +

        + б(N-35) + б(N-40) - б(N-51) - б(N-57)   +

        + б(N-70) + б(N-77) - б(N-92) - б(N-100) +...,           (4)

или в короткой записи (в терминах и обозначениях виртуальной космологии):

б(N) =  сумма[Z*б(N - E)],                                                                                   (5)

где Z = +1 или Z = -1 и знак у "переключателя" Z (плюс или минус) попарно чередуется (и вплоть до бесконечности);

E = 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, ...- ряд Эйлера (Euler), который легко "расшифровывается", если обратить внимание на разности чисел в нём: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, ..., то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... и все нечетные числа 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... чередуются между собой.

В формулах (4) и (5) для конкретного натурального числа N необходимо брать те слагаемые, у которых разность (N - E) под знаком "б" положительна ("отсекая" все отрицательные разности). Причем, вместо выражения б(0) необходимо подставить... само число N, то есть богатство нуля - далеко не нуль (и разве это не повод удивиться!?). Таким образом, закон Эйлера (4) говорит о том, что богатство любого натурального числа N равно сумме богатств предшествующих чисел, взятых по определенному правилу.

Для примера найдем богатство числа N = 15 с помощью закона Эйлера:

б(15) = б(15-1) + б(15-2) - б(15-5) - б(15-7) + б(15-12) + б(15-15) =

         = б(14) + б(13) - б(10) - б(8) + б(3) + б(0) = 24 + 14 - 18 - 15 + 4 + 15 = 24.

Разумеется, чтобы вычислить б(14), нам необходимо было вычислить б(13), а перед этим - б(12), б(11), б(10) и т. д. вплоть до б(1) = 1. Таким образом, здесь мы имеем дело с рекуррентной последовательностью, где каждое слагаемое определяется по неизменному правилу исходя из предыдущего слагаемого. И если бы закон Эйлера оказался единственной возможностью для нахождения богатства натуральных чисел (к счастью есть ещё, например, формула Джона Валлиса), то для определения богатства конкретного числа N нам бы пришлось найти богатство всех предшествующих (N - 1) чисел, начиная с единицы. Очевидно, что закон Эйлера дает далеко не лучший практический способ определения богатства числа. Прелесть данного закона в "механизме" его вывода (где "угадывается рука" настоящего гения) и в интересных следствиях из него. Например, вызывает восхищение сам факт существования бесконечного ряда чисел Е, которые "увязывают" (словно единым шнурком) богатство любого числа N с богатством всех предшествующих чисел (что приводит нас к аналогии с явлением "бутстрапа" из физики). Однако сам Эйлер, вероятно, недооценил важность открытого им закона (по причине отсутствия в его эпоху теории струн?), поскольку Эйлер писал: "...мы не чувствуем никакой разумной связи между структурой моей формулы [4] и природой делителей, с суммой которых мы имеем здесь дело. Последовательность чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15,... [то есть ряд чисел Е], казалось бы, не имеет к рассматриваемому вопросу никакого отношения. Более того, поскольку закон этих чисел "прерывист" и они фактически являются смесью двух последовательностей с правильным законом: 1, 5, 12, 22, 35, 51, ... и  2, 7, 15, 26, 40, 57, ..., мы не могли ожидать, что такая неправильность может встретиться в Анализе" [в математическом анализе]. Последние слова Эйлера (про "смесь") можно пояснить так: если ввести обозначение m = 1, 2, 3, 4, 5, ... в качестве порядковых номеров числа Е (в ряду Эйлера), то при нечетных m  = 1, 3, 5, 7, ... и четных m = 2, 4, 6, 8, ... соответственно имеем:

E = (3/8)*m^2 + (1/2)*m + (1/8)      и      E = (3/8)*m^2 + (1/4)*m,                                    (6)

то есть при росте номера m формулы (6) "генерируют" две последовательности чисел, а ряд Е является их чередующейся "смесью".

Указанный мемуар Эйлера с его изящным выводом закона (4); а также удобная на практике формула Джона Валлиса (1616-1703 гг.) для вычисления богатства любого натурального числа N (если известно его каноническое разложение); а также закономерности распределения богатства в ряду всех натуральных чисел и т.п. - все это более подробно изложено в моих книгах ("Леонард Эйлер и космология чисел", "Зеркало" Вселенной") на сайте "Самиздат" (СИ) и в моих статьях (на СИ, в моих блогах). А в данной короткой статье я просто хотел обратить внимание читателя на тот факт, что функция распределения F(x) из (физической) теории струн похожа на произведение П, которое приводит Эйлера к "наиболее необычайному закону" в мире натуральных чисел. Лично для меня это факт является очередным аргументом, подтверждающем, что главная "миссия" натуральных чисел (общеизвестной теории чисел) - это далеко не только... криптография (нумерологию и т.п. "учения" здесь даже неуместно упоминать). Вполне может оказаться, что мир натуральных чисел, действительно, скрывает в себе самые фундаментальные основы мироздания (возможно, в некотором "зашифрованном", "иносказательном" виде). И в любом случае виртуальный мир чисел дает богатейшую пищу для самых глубоких размышлений не только математикам, но и физикам, и философам (последнее "предчувствовал", например, Пифагор ещё 2500 лет назад), и даже, если хотите,... экономистам, политологам, политикам и прочим специалистам по самой, что ни на есть реальной жизни. Однако это долгий разговор, который (в самом лучшем случае) вызовет только ироническую улыбку неподготовленного человека...