Исаев Александр Васильевич

Теория струн в мире... целых чисел? (часть 3)

Невесомые гауссовы слагаемые

 

Напомню читателю, что ранее мы назвали целое число стройным, если у него есть гауссово слагаемое в точности равное единице (Gk = 1). Теперь номер такого слагаемого мы обозначим по-новому: k = E (то есть 'единичный' номер).

Напомню, что Gk = (lnx)^k/k/k! - это k-ое гауссово слагаемое числа х, где:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...(до бесконечности) - порядковый номер (гауссова) слагаемого;

х - аргумент (может быть любым положительным числом больше нуля);

k! - это факториал числа k, то есть k! = 1∙2∙3∙4∙5∙...∙k.

Для любого числа х (кроме х = 0) мы можем вычислить сумму гауссовых слагаемых, которую обозначим символом sum(Gk):

sum(Gk) = (lnx)^1/1/1! + (lnx)^2/2/2! + (lnx)^3/3/3! +  (lnx)^4/4/4! + ...  + (lnx)^k/k/k! + ...        

Для стройных чисел введем обозначение: Xс = 10^B*, где показатель степени В* находится по формуле (24), либо (что менее точно) по формуле (25). Таким образом, у первых стройных чисел Хс (имеющих E = 1, 2, 3, 4, ...) мы без проблем находим невесомые гауссовы слагаемые (Gk < 1 при k > E), которым припишем свои, скажем, невесомые номера: n = k - E = 1, 2, 3, ... . Несложно убедиться, что у первых стройных чисел Xс сумма невесомых гауссовых слагаемых (Sн) растет:

от минимума   (Sн)min = 0,317902151454404 (при E = 1  и  X = e = 2,718...),

до максимума (Sн)max = 0,849950329576348 (при Е = 5  и  В* = 1,5610...,  Х = 36,39...),

а затем сумма Sн бесконечно долго убывает, устремляясь к числу 1/(e - 1) ≈ 0,582.       

На числовой оси между соседними стройными числами расположено бесконечно много прочих (не стройных) чисел Х = 10^B, у которых единичное слагаемое больше единице (Gk > 1 при k = Е). У таких чисел Х также можно найти сумму невесомых слагаемых, которая описывается примерно так:

Sн = U∙exp[(В - В*)∙R],                                           (27)

где В* - это показатель степени ближайшего стройного числа Хс = 10^B*, стоящего слева от данного Х (то есть Хс < Х); и с каждым новым стройным числом Хс (при росте Х): параметр U растет от 0,3682 до 0,8534 (при Е = 5), а затем убывает до U = 0,582; параметр R растет от 3,6119 до значения R = e∙ln10 = 6,259.... (при Xс, стремящемся к бесконечности).

Наибольшая сумма невесомых слагаемых равна Sн = 1 + (Sн)max = 1,85 и эту сумму имеет число X, стоящее вплотную слева от стройного числа с E = 5.

Возьмем стройное число Xс, у которого E = 65489 (В* = 10465,8521...) и найдем его невесомые слагаемые (Gk < 1 при k > E), которым припишем свои, скажем, невесомые номера: n = k - E = 1, 2, 3, ... . Первые 30-ть невесомых слагаемых (Gn) позволяют построить хорошую линию тренда: Gn = 1,0013/e^n. И такую же линию тренда мы получим (аналогичным образом) для последующего стройного числа Хс, у которого E = 65490 (В* = 10466,0119...).

Таким образом, средствами виртуальной космологии мы приходим к верному заключению для стройных чисел: Gn устремляется к числу 1/e^n при неограниченном росте номера E.  Столь 'стройный' результат я получил и аналитическим путем:

Gk = exp[(1 + 3/2/E)∙k∙lnE - (3/2 + k)∙lnk - (1 - k/E)∙0,5∙ln(2∙ПИ)].       (28)

У стройных чисел Xс при бесконечно большом E для невесомых слагаемых (k/E = 1) формула (28) нам дает Gk = exp[k∙ln(E/k)]. Поскольку 0 < k/E ≤ 2, то логарифмическую функцию разложим в степенной ряд: ln(E/k) =  E/k - 1, и в итоге получим уже известный нам результат (из анализа графиков): Gn устремляется к числу 1/e^n.

На числовой оси между соседними стройными числами расположено бесконечно много прочих (не стройных) чисел Х = 10^B, у которых единичное слагаемое больше единице (Gk > 1 при k = Е). У таких чисел Х также можно найти невесомые слагаемые Gn и построить для них линии тренда, имеющие такой вид:

Gn ≈ Н/е^n,                                                       (29)

где n = k - E = 1, 2, 3, ...- это номера невесомых слагаемых числа X = 10^B; а Е - порядковый номер единичного слагаемого числа Х (Gk < 1 при k > Е); а вот параметр Н растет по такому закону (но как его получить аналитически?):

Н = exp[(В - В*)∙e∙ln10],                                     (30)

где В* - это показатель степени ближайшего стройного числа Хс = 10^B*, стоящего слева от Х (Хс < Х). У всякого стройного числа имеем Н = 1 (поскольку В - В* = 0).

Выше для больших стройных чисел мы получили В* = Е/(е∙ln10), поэтому разность значений В* у соседних стройных чисел устремляется к числу 1/(е∙ln10) = 0,1597..., а отношение соседних стройных чисел (большее/меньшее число) устремляется к значению 10^0,1597 = 1,44466... (почти 'золотое сечение'). Отсюда также следует, что у больших чисел Х параметр Н может изменяться в таких пределах: 1 < Н < e.

Конец Большого отрезка (В = 60,9031) лежит между стройными числами хс и Хс, у которых Е = 371,  В* = 60,8594... и Е = 372, В* = 61,0198... (иначе говоря, хс и Хс соответствуют 12,4 и 17,9 млрд. лет от Большого взрыва). Для этого отрезка:

- вместо формулы Gn = 1/e^n (для n = k - 371) получаем Gn = 1,117/e^(1,0067n), то есть в части показателя степени (n) имеем |ОПб| = 0,0067 - численно это почти постоянная тонкой структуры (ПТС),а что такое  ОПб - см. чуть ниже;

- вместо формулы (30) мы получаем Н = 1,1172∙exp[(В - В*)∙6,0888], то есть в части показателя степени (е∙ln10) имеем ОПб = 0,027 (в 3,7 раза больше ПТС).

ОПб - это относительный параметр, указывающий 'местонахождение' конца Большого отрезка (БО) относительно бесконечности (б) при рассмотрении какого-либо конкретного закона из мира чисел. Например, мы нашли некую функцию Gn = f(x) асимптотического характера, скажем, Gn устремляется к числу 1/e^n при неограниченном росте х; а в конце БО эта функция имеет вид Gn = 1,117/e^(1,0067n) (функция ещё 'не доросла' до своего предельного вида Gn = 1/e^n). Поэтому |ОПб| = |1 - 1,0067|/1 = 0,0067 (в части показателя степени n). В связи со сказанным я сформулировал такую гипотезу: в мире чисел большинство формул носит асимптотический характер и если для них в конце Большого отрезка вычислять ОПб (или модуль |ОПб|), то часто мы будем получать числовое значение, близкое к... постоянной тонкой структуры (ПТС).

Используя формулу (29), мы можем вычислить сумму невесомых гауссовых слагаемых для любых больших чисел Х = 10^B (где В >> 1):

Sн = Н∙(1/e^1 + 1/e^2 + 1/e^3 + 1/e^4 + ...) =  Н/(e - 1) = Н∙0,582.                              (31)

В скобках формулы (31) стоит сумма (бесконечного числа) членов убывающей геометрической прогрессии, у которой и первый член, и знаменатель равны 1/e.

Из формулы (31) следует, что у любого большого числа Х сумма невесомых гауссовых слагаемых (Sн) находится в коридоре между двумя числами: 1/(e - 1) = 0,582 и e/(e - 1) = 1,582, и в этих числах заложен глубокий смысл. Возможно, именно число 1/(e - 1) = 0,582 логичнее всего отождествлять с пресловутым понятием 'золотое сечение'. Это понятие ещё с древних времен связывают с числом (5^0,5 - 1)/2 = 0,618, которое является корнем уравнения х^2 + х - 1 = 0 (где ещё в виртуальной космологии возникает такое квадратное уравнение?).

Ниже приведены мои аргументы в пользу того, что функция у = 1/(Х - 1) порождает правильное 'золотое сечение' (у = 0,582) именно при Х = e, но никак не при аргументе Х = (5^0,5 + 1)/( 5^0,5 - 1) = 2,618 (когда у = 0,618).

Указанная ниже эквивалентность между Хл и Хп соответствует...(где ещё у меня было число 405 и подобные рассуждения?), и это благодаря тому, что Х = е, иначе не получить число 405. А так вместо числа e можно брать любое число!

Пусть числа на интервале (1; e) - это левые числа (Хл), а числа на интервале от числа е до бесконечности - это правые числа (Хп). Интеграл от функции у = 1/(Х - 1) равен ln(Х - 1), поэтому площадь под графиком у = 1/(Х - 1) определяется выражением:

Fл = ln[(е - 1)/(Хл - 1)] на интервале [Хл; е);

Fп = ln[(Хп - 1)/(е - 1)] на интервале (е; Хп].

Будем говорить, что Хл эквивалентно Хп, когда площадь Fл будет равна Fп, то есть когда Хп = 1 + (е - 1)^2/(Хл - 1). В предельном случае мы получим Хп устремляется к бесконечности, когда Хл устремляется к единице, то есть, согласно принятым нами определениям, понятие 'бесконечность' эквивалентно... единице (и к такому парадоксальному выводу я прихожу не один раз в рамках виртуальной космологии!).

Очевидно, что на интервале [Хл; е) содержится следующая доля всех левых чисел: D = (е - Хл)/(е - 1). Например, для левого числа Хл = 1 + ПТС = 1,007297 мы получим D = 0,996, кстати, именно такова вероятность попадания непрерывной случайной величины в отрезок шириной 'плюс-минус' три сигмы (см. 'правило трех сигм' на Самиздате в моей книге 'Зеркало' Вселенной', стр. 45). То есть можно сказать, что число Хл = 1 + ПТС 'отсекает' (слева от числа е) почти 99,6% всех левых чисел, а поскольку указанное Хл эквивалентно правому числу Хп = 405,5977, то последнее также 'отсекает' (но теперь уже справа от числа е) почти 99,6% правых чисел (эквивалентных левым).

Насколько мне известно, в теоретической физике редко встречаются числа свыше 405... (и если это утверждение верно, то почему это именно так?).

Пусть число Хп эквивалентно числу Хл = 1 + 1/10^B, тогда расстояние между единицей и числом Хл назовем левым отрезком: Lл = Хл - 1 = 1/10^B, а расстояние между единицей и числом Хп = 1 + (e - 1)^2∙10^B = 1 + 2,9525∙10^B назовем правым отрезком: Lп = Хп - 1. Указанные отрезки мы назовем эквивалентными и между ними существует связь: Lп = (e - 1)^2∙10^B = (e - 1)^2/Lл = 2,9525/Lл, иначе можно записать: Lп = 1/10^Б, где Б = В + 2∙ln(е -1)/ln10. Например, Большой отрезок (это правый отрезок)  Lп = 10^60,9031 будет эквивалентен левому отрезку Lл = 1/10^60,4329, причем 'относительная погрешность' будет равна: 'ОП' = (60,9031 - 60,4329)/60,9031 = 0,0077 (опять почти ПТС, смотри выше мою гипотезу в части ПТС).

Точность приближения Гаусса

 

На компьютере легко найти точное количество (K) простых чисел на отрезке [2; x], но только до х = 10^B, где, скажем, В = 7, а далее - время вычислений становится очень большим, и нам известны лишь отдельные значения K (вплоть до В = 17, см. табл. 1.1 на стр. 8 по следующей ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number31-1.shtml )

А вот с описанным выше приближением Гаусса ситуация иная: вплоть до сверхбольших чисел х = 10^B, у которых В = 10470 мы, пользуясь моей рекуррентной формулой (4), без всяких проблем (!) можем вычислить площадь (S), которая численно, практически, равна параметру K.

Поэтому отношение S/K (его 'поведение' относительно единицы) служит лучшей мерой точности приближения Гаусса, и мы используем отношение S/K в качестве своеобразного мощного 'телескопа' для рассмотрения мира сверхбольших чисел.

В данной главе мы будем брать в качестве чисел х = 10^B исключительно простые числа (поэтому B ≥ ln2/ln10 = 0,301...). После х = 2 у девяти первых простых чисел х = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 отношение S/K, вообще говоря, растет: S/K ≈ 0,56; 0,86; 0,93; 1,11; 1,06; 1,12; 1,06; 1,09; 1,168. После х = 29 (с максимальным S/K) начинается, вообще говоря, убывание S/K с непрерывными локальными колебаниями: при х ≈ 10^5 почти у 31% простых чисел очередное значение S/K было больше предыдущего значения. В целом же для первой сотни простых чисел (2 ≤ х ≤ 541) строится следующая линия тренда:

S/K ≈ 0,1546∙В^3 - 0,9817∙В^2 + 1,9666∙В - 0,1256,                     (32)

у которой ОП = + 4%, то есть формула (32) дает только качественную картину.

При В = 2, 3, 4, ...,17 хорошо строится следующая линия тренда:

S/K - 1 ≈ 1,626∙exp(- 1,1872∙B),

согласно которой якобы всегда S/K > 1. Однако это не так. Ещё в 1914 г. Дж. И. Литлвуд (1885 - 1977) из Кембриджа доказал, что для очень больших чисел (но каких именно?) S/K < 1. И только в 1955 г. С. Скьюс впервые оценил эту границу: числа (Литлвуда) должны быть не более, чем 10^B, где В = 10^C и С = 10^964 (то есть число Скьюса - колоссально!). Потом эта граница (Скьюса) была понижена Коэном и Мейхью, а в 1966 г. Леман (E. Lehman) ещё понизил границу, доказав следующее (гипотеза Лемана см. примечание 14 к статье 'Живые числа' - есть в Рунете):

- для любого числа 2 < х < 10^20 имеем S/K > 1;

- для числа х ≈ 10^371, очень вероятно, что S/K < 1;

- при х ≈ 10^1165 есть свыше 10^500 чисел х, у которых  S/K < 1.

О гипотезе Лемана мне больше ничего не известно [это я написал весной 2009 г., когда у меня ещё... не было интернета, а далее указанным вопросом я не занимался], но, возможно, я получил некий графический образ этой гипотезы, а каким путем - изложено ниже.

Приближение Чебышева (его утверждение из теории чисел) позволяет нам записать:

K = x/(lnx - Z),

где параметр Z устремляется к единице с неограниченным ростом аргумента х. Откуда находим Z = lnx - x/K и для В = 8, 9, 10, ...,17 хорошо строится линия тренда:

Z - 1 ≈ Q/B^M, (напоминаю, что у меня в каждом параграфе могут быть свои символы!)

где Q = 0,65580 и M = 1,1166, причем, Q и M явно убывают с ростом В. Однако такие Q и M приводят нас к противоречию с гипотезой Лемана: мы всегда получаем S/K > 1.

Гипотеза Лемана выполняется, если полагать (и это - не более, чем моя модель), что в формуле Z = 1 + Q/B^M числа Q и M в конце Большого отрезка (то есть при В = 60,903) обеспечивают равенство:

Z = 1 + ПТС, где  ПТС = 0,007.297.353.08 (ПТС в физике обозначают буквой альфа) - это важнейшая безразмерная физическая константа (см. на 'Самиздате' мою книгу 'Зеркало' Вселенной', стр. 81). Указанное условие выполняется для многих сочетаний Q и M, но мы остановимся на Q = 0,458238239 и M = 1,007445 (кстати, вариант М = 1 + ПТС был также мной рассмотрен). При таком Z (Q и M) формулу K = x/(lnx - Z) мы будем называть 'альфа-приближением' (параметра K), и будем считать, что оно дает следующую (лишь качественно достоверную?) картину в части поведения параметра S/K:

Главная для виртуальной космологии метаморфоза в части отношения S/K (когда S/K > 1 сменяется на S/K < 1), скорее всего, происходит буквально сразу после числа х = 10^20, которое эквивалентно ядерному времени (см. на 'Самиздате' мою книгу 'Зеркало' Вселенной', стр. 7).

При х > 10^20 отношение S/K устремляется к своему минимальному значению ('дно большой ямы': S/K ≈ 0,999 999 864 159) при х = 10^80, что эквивалентно возрасту Вселенной порядка 10^29 лет. К этому времени уже давно прекратится образование звезд и галактик; более того, уже распадется почти 50% всех протонов.

При 10^20 < х < 10^80 формула Z = 1 + Q/B^M явно уводит нас от реальности, поэтому минимум отношения S/K вполне может совпадать и с концом Большого отрезка (то есть современная нам эпоха - это 'дно большой ямы' отношения S/K?). Заметим также, что спуск на 'дно большой ямы' (10^20 ≤ х ≤ 10^55) соответствует следующему диапазону: от характерного размера протона (важнейшей частицы в ядерной физике) - до характерного размера галактик (главных видимых нами структурных единиц во Вселенной).

После 'дна большой ямы' S/K начинает расти и при х = 10^1150 вновь становится больше единицы, дорастая до S/K ≈ 1,000 000 000 168 при х = 10^2000, но, вероятно, и это не максимум, так как многие (целые) степени В я пропускал (для экономии времени при своих расчётах). Причем теперь S/K совершает (относительно) большие колебания вплоть до локальных 'провалов': например, при х = 10^1164 и х = 10^1170 получаем S/K < 1 ('малые ямы' или уже 'грешит' сам компьютер?).

После х ≈ 10^10193, вообще говоря, получаем S/K < 1 (но до какого числа х?).