# Дуальные числа

Юрий Николаевич Васильев

Дуальные числа к совершенным: прямая и обратная последовательность.

Введение

Чётные совершенные числа описываются формулой Евклида:

P_p = 2^(p-1)(2^p - 1),

где (2^p - 1) - простое число (число Мерсенна). Первые совершенные числа: 6, 28, 496, 8128.

В этой работе мы:

1. Построим прямую последовательность, обобщающую формулу Евклида.

2. Найдём обратную (дуальную) последовательность через корни характеристического уравнения.

3. Исследуем их свойства и связь между ними.

4. Покажем аналогичную двойственность для других известных последовательностей.

Шаг 1. Прямая последовательность через корни квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение:

x^2 - 6x + 8 = 0.

Найдём его корни:

D = (-6)^2 - 4 × 8 = 36 - 32 = 4,

x_1 = (6 + √4)/2 = 4, x_2 = (6 - √4)/2 = 2.

Построим прямую последовательность по формуле:

N_n = (x_1^n - x_2^n)/(x_1 - x_2) = (4^n - 2^n)/(4 - 2) = (4^n - 2^n)/2 = 2^(n-1)(2^n - 1).

Первые члены прямой последовательности: 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, ...

Свойства:

всегда даёт целые числа;

содержит все чётные совершенные числа при n = p (простое) и 2^n - 1 простое;

подчиняется рекуррентному соотношению:

N_n = 6N_(n-1) - 8N_(n-2), N_1 = 1, N_2 = 6.

Шаг 2. Построение обратной (дуальной) последовательности

Построим обратную последовательность, используя те же корни x_1 = 4, x_2 = 2:

D_n = (x_1^n + x_2^n)/(x_1 + x_2) = (4^n + 2^n)/(4 + 2) = (4^n + 2^n)/6 = 2^(n-1)(2^n + 1)/3.

Определение. Дуальное число - элемент последовательности, порождённой заменой знака в евклидовой формуле и нормировкой. Для нечётных n > 3 члены последовательности являются избыточными числами.

Первые члены дуальной последовательности:

1; 10/3 ; 12; 136/3; 176; 2080/3; 2752;...

Первые целочисленные члены (нечётные n): 1, 12, 176, 2752,...,

Шаг 3. Связь между прямой и дуальной последовательностями

Сравним формулы:

прямая: N_n = 2^(n-1)(2^n - 1),где (2^n -1) числа Мерсенна, N_n=2^(n-1)M_n

дуальная: D_n = 2^(n-1)(2^n + 1)/3, где (2^n + 1)/3 числа Вагстафа, D_n=2^(n-1)W_n.

Отношение последовательностей:

{N_n}/{D_n}

Примеры поведения отношения:

при n = 1: {N_1}/{D_1} = 1/1 = 1,

при n = 3: {N_3}/{D_3} = 28/12 = 2,333...,

при n = 5: {N_5}/{D_5} = 496/176 = 2,818...,

при n = 7: N_7}/{D_7} = 8128/2752 = 2,953...,

при n ->~ Lim{N_n}/{D_n} = 3.

Таким образом, отношение последовательностей монотонно возрастает и стремится к предельному значению 3.

Шаг 4. Соответствие с другими известными парами последовательностей

Аналогичная двойственность наблюдается и в других классических последовательностях. Кратко укажем соответствия:


1. Фибоначчи <-> Люка

Фибоначчи (прямая): F_n = [(1+√5)^n - (1-√5)^n]/2^n√5

Люка (обратная): L_n = [(1+√5)^n + (1-√5)^n]/2^n,

где x_1 = (1 + √5)/2, x_2 = (1 - √5)/2 - корни уравнения x^2 - x - 1 = 0.

2. Пелля <-> Пелля-Люка

Пелля (прямая): P_n = [(1 + √2)^n - (1 - √2)^n] /2√2,

Пелля-Люка (обратная): Q_n = [(1 + √2)^n + (1 - √2)^n]/2,

x_1 = (1+√2), x_2 = (1-√2) - корни уравнения x^2 - 2x - 1 = 0.


3. Мерсенна <-> Вагстафа

Мерсенна (прямая): M_n = 2^n - 1,

Вагстафа (обратная): W_n = (2^n + 1)/3,

корни уравнения x^2 - 3x + 2 = 0 (x_1 = 2, x_2 = 1).

4. Последовательности Васильева (обобщение Мерсенна-Вагстафа)

Основная (прямая): V_n_1 = (2^n - (-1)^n)/3,

Обратная: V_n_2 = 2^n - (-1)^n,

x_1= 2, x_2 =-1 корни уравнения x^2 - x - 2 = 0.

Во всех случаях:

обе последовательности порождаются одной парой корней характеристического уравнения;

прямая последовательность содержит "особые" числа (совершенные, простые Мерсенна и так далее);

обратная последовательность связана с другими классами чисел (Вагстафа, Люка и т. д.);

обе подчиняются одному рекуррентному закону;

отношение прямая/обратная стремится к константе при n->~

Заключение:

Мы показали, что дуальные числа к совершенным числам:

естественным образом возникают как обратная последовательность к обобщённой формуле Евклида;

демонстрируют те же структурные свойства, что и другие классические пары "прямая-обратная";

подтверждают существование общей закономерности двойственности в теории линейных рекуррентных последовательностей.

Эта работа открывает новые направления для исследований:

изучение арифметических свойств дуальных чисел;

поиск других пар "прямая-обратная" в теории чисел;

исследование связи дуальных чисел с другими классами чисел.

Ключевые слова: совершенные числа, дуальные числа, числа Мерсенна, числа Вагстафа, последовательности Васильева, линейная рекурренция, двойственность последовательностей.