# Двойственность линейных рекуррентных последовательностей и закономерность предельного отношения

Юрий Николаевич Васильев

Аннотация. В работе установлена общая закономерность поведения отношения прямой и обратной (дуальной) последовательностей, порождённых линейными рекуррентными соотношениями второго порядка. Показано, что предел отношения {A_n}/{B_n} определяется исключительно соотношением корней характеристического уравнения. Особое внимание уделено условию, при котором этот предел равен 3. Результаты обобщают известные пары последовательностей: совершенные-дуальные, Мерсенна-Вагстафа, Фибоначчи-Люка и др.

Ключевые слова: линейные рекуррентные последовательности, характеристическое уравнение, предел отношения, дуальные последовательности, совершенные числа, числа Мерсенна, числа Вагстафа.

1. Введение

Многие классические числовые последовательности в теории чисел существуют в парах "прямая-обратная":

* Фибоначчи и Люка;

* Пелля и Пелля-Люка;

* Мерсенна и Вагстафа;

* совершенные и дуальные числа.

Во всех этих случаях отношение прямой последовательности к обратной стремится к некоторой константе. В ряде случаев эта константа равна 3. Цель работы - выявить общую закономерность этого явления и установить условия появления предела 3.

2. Теоретическая основа

Рассмотрим характеристическое уравнение:

x^2 - px + q = 0

с корнями x_1, x_2, где |x_1| > |x_2|.

Построим две последовательности:

1. Прямую (обобщение чисел Мерсенна, совершенных чисел):

A_n = (x_1^n - x_2^n)/(x_1 - x_2).

2. Обратную (дуальную) (обобщение чисел Вагстафа, дуальных чисел):

B_n = (x_1^n + x_2^n)/(x_1 + x_2).

Теорема. Предел отношения прямой и обратной последовательностей равен:

lim_n ->~ {A_n}/{B_n} = (x_1 + x_2)/(x_1 - x_2).

Доказательство. Разделим числитель и знаменатель на x_1^n:

{A_n}/{B_n} = [(1 - (x_2)/(x_1))^n)(x_1 + x_2)]/[(1 + (x_2)/(x_1))^n)(x_1 - x_2).

Так как |(x_2)/(x_1)| < 1, то [(x_2)/(x_1)]^n 0 при n ->~. Следовательно:

lim_n ->~ {A_n}/{B_n} = (x_1 + x_2)/(x_1 - x_2).

3. Условие появления предела, равного 3

Предел отношения равен 3, когда:

(x_1 + x_2)/(x_1 - x_2) = 3.

Решая это уравнение, получаем:

x_1 + x_2 = 3(x_1 - x_2),

4x_2 = 2x_1,

x_1 = 2x_2.

Вывод: предел отношения прямой и обратной последовательностей равен 3 тогда и только тогда, когда больший корень характеристического уравнения в 2 раза больше меньшего корня.

4. Примеры реализации закономерности


| Пара последовательностей | Характеристическое уравнение | Корни (x_1, x_2) | Соотношение корней | Предел (A_n)/(B_n) |

|----------------------|--------------------------|------------------|--------------|----------------|

| Совершенных ↔ дуальных | x^2 - 6x + 8 = 0 | 4, 2 | (4 +2)/2 | 3 |

| Мерсенна ↔ Вагстафа | x^2 - 3x + 2 = 0 | 2, 1 | (2 +1)/ 1 | 3 |

| Васильева | x^2 - 3x + 2 = 0 | 2, 1 | (2 +1)/1 | 3 |

| Фибоначчи ↔ Люка | x^2 - x - 1 = 0 | х_1= 1,618, х_2= -0,618 |1/√5 | ≈ 0,447 |

| Пелля ↔ Пелля-Люка | x^2 - 2x - 1 = 0 | 1 + √2 = 2,414, 1 - √2 = -0,414 | 2/2,818 | ≈ 0,71 |

5. Анализ случаев с пределом 3

Свойства последовательностей при x_1 = 2x_2:

1. Прямая последовательность: A_n = x_2^(n-1)(2^n - 1).

2. Обратная последовательность: B_n = x_2^(n-1)(2^n + 1)/3.

3. Отношение: {A_n}/{B_n} = (2^n - 1)(2^n + 1)/3 = 3 при n ->~.

4. Прямая последовательность содержит "особые" числа:

* при x_2 = 1: числа Мерсенна;

* при x_2 = 2: чётные совершенные числа.

5. Обратная последовательность связана с:

* числами Вагстафа (x_2 = 1);

* дуальными числами (x_2 = 2).

6. Контрастные случаи

Фибоначчи ↔ Люка:

* корни: х_1 = (1 + √5)/2, х_2 = (1 - √5)/2;

* предел: 1/√5 = 0,447.

Пелля ↔ Пелля-Люка:

*корни: 1 + √2, 1 - √2;

* предел отличается от 3.

7. Алгоритм прогнозирования предела

Для любой пары последовательностей A_n, B_n, порождённых характеристическим уравнением x^2 - px + q = 0, можно:

1. Найти корни x_1, x_2.

2. Проверить условие x_1 = 2x_2.

3. Вычислить предел (x_1 + x_2)/(x_1 - x_2).

4. Сделать вывод о поведении отношения {A_n}/{B_n}.

8. Заключение

Основные результаты:

1. Установлена общая закономерность: предел отношения прямой и обратной последовательностей определяется соотношением корней характеристического уравнения.

2. Найдено условие появления предела 3: x_1 = 2x_2.

3. Показано, что это условие выполняется для пар: совершенные-дуальные, Мерсенна-Вагстафа, Васильева.

4. Разработан алгоритм прогнозирования предела для любых линейных рекуррентных последовательностей второго порядка.

Перспективы исследования:

* изучение арифметических свойств дуальных последовательностей;

* поиск других закономерностей в парах "прямая-обратная";

* применение результатов к новым классам чисел;

* обобщение на рекуррентные последовательности более высокого порядка.

Список литературы

1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

2. Graham R., Knuth D., Patashnik O.Concrete Mathematics. - Addison-Wesley, 1994.

3. Ribenboim P. The Little Book of Bigger Primes. - Springer, 2004.

4. Васильев Ю.Н. Последовательности Васильева и их свойства. - Вестник математики, 2020.

5. Euclid. Elements, Book IX, Proposition 36.