Аннотация: ТРАКТАТ "КОММЕНТАРИИ К ТРУДНОСТЯМ ВО ВВЕДЕНИЯХ КНИГИ ЕВКЛИДА" В ТРЕХ КНИГАХ, СОЧИНЕНИЕ СЛАВНЕЙШЕГО ШЕЙХА ИМАМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИСТИНЫ АБУ-Л-ФАТХА 'ОМАРА ИБН ИБРАХИМА АЛ-ХАЙЙАМИ
ТРАКТАТ "КОММЕНТАРИИ К ТРУДНОСТЯМ ВО ВВЕДЕНИЯХ КНИГИ ЕВКЛИДА" В ТРЕХ КНИГАХ, СОЧИНЕНИЕ СЛАВНЕЙШЕГО ШЕЙХА ИМАМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИСТИНЫ
АБУ-Л-ФАТХА 'ОМАРА ИБН ИБРАХИМА АЛ-ХАЙЙАМИ 1
|| Во имя Аллаха милостивого, милосердного. (75б)
Хвала Аллаху, господину милости и милосердия, мир избранным его рабам и в особенности государю пророков Мухаммаду2 и всему его чистому роду.
Изучение наук и постижение их с помощью истинных доказательств необходимо для того, кто добивается спасения и вечного счастья. В особенности это относится к общим понятиям и законам, к которым прибегают для изучения загробной жизни, доказательства [существования] души и ее вечности, постижения качеств, необходимых для существования всевышнего и его величия, ангелов, порядка творения и доказательства пророчеств государя [пророков], повелениям и запрещениям которого повинуются все творения в соответствии с соизволением всевышнего Аллаха и силой человека3.
Что же касается частных предметов, то их нельзя расположить в одном порядке, так как их причины бесчисленны, вследствие чего разум творений не может понять их полностью, - можно понять только то, что постигается чувствами, воображением и мыслью.
Раздел философии, называемый математикой, является самым легким из всех разделов с точки зрения представления и доказательств. Что касается арифметики, это совершенно ясно. Что же касается геометрии, то это также ясно для того, кто обладает здравым смыслом, проницательным умом и острой интуицией. Этот раздел философии сообщает нам гибкость, укрепляет соображение, приучает нас ненавидеть недоказанное, так как его исходные положения общеизвестны, доказательства легки, в нем воображение помогает разуму и мало противоречивого4.
(76а) Из "Книги доказательства" || науки логики5 известно, что в каждом искусстве, основанном на доказательствах, рассматривается некоторый предмет и его случайные и существенные свойства6 и имеются предпосылки, на которых основываются доказательства, - это или аксиома, как целое больше части, или доказанное в другом искусстве, или постулат, не доказываемый в этом искусстве, но служащий для определения его предмета7. Такие предпосылки имеются и в таком искусстве, в котором невозможно действительное определение предмета и самое установление таких определений, но этот предмет все же можно описать некоторым удовлетворительным образом. Эти вопросы весьма подробно разбираются в "Книге доказательства" искусства логики, куда и следует обращаться.
Я всегда страстно желал тщательно рассмотреть эти науки и исследовать их. Одни их разделы я предпочитаю другим и в особенности [я предпочитаю] книгу "Начала" о геометрии, так как эта книга является основанием всей математики, а принципы геометрии являются принципами всей математики. Что касается точки, линии, поверхности, угла, круга, прямой линии, плоской поверхности и тому подобных принципов, то их установлением и истинным определением занимаются те, кто владеет общей наукой философии8.
Точно так же такие предпосылки, как деление величин до бесконечности и проведение из данной точки к любой другой точке прямой линии и тому подобное, не являются аксиомами и не очевидны без доказательства. Это также дело философа.
Что же касается таких постулатов, как квадрат, пятиугольник (76б), треугольник и тому подобное, то || автор книги дает во введении только номинальные определения и обосновывает эти постулаты в самой книге9. В то же время он приводит без доказательства большой постулат: всякие две прямые линии, пересекающие прямую линию в двух точках, если продолжить их в одну сторону, с которой [их внутренние углы] меньше двух прямых углов, пересекаются с этой стороны10. Напротив, если принять это, это - вопрос геометрии, который может быть доказан только в ней. Это необходимо для геометра, который - хочет он этого или не хочет - имеет право основывать что-либо на нем только после его доказательства.
Мне известны многие, размышлявшие над этим сочинением и разрешившие его неясности, но совершенно не уделившие внимания этому вопросу, вследствие его трудности, как, например, Герон11 и Евтокий12 из древних. Что же касается таких позднейших ученых, как ал-Хазин13, аш-Шанни14, ан-Найризи15, которые пытались доказать это, то никому из них не удалось представить строгого доказательства, каждый из них основывался на том, что является не более легким допущением, чем доказываемое. Если бы экземпляры этих сочинений не были так многочисленны и если бы знакомых с этими сочинениями йе было так много, я привел бы здесь это и показал бы их постулаты и причины их ошибок; ты очень легко можешь узнать это из их строк.
Далее мне известно сочинение Абу'Али ибн ал-Хайсама16, озаглавленное "Разрешение сомнений в первой книге"17. Вначале я не сомневался, что он занимался этой предпосылкой и доказал ее, но когда я с радостью начал читать это сочинение, я обнаружил, что автор намеревался поместить || этот постулат (77а) во введении к книге среди других принципов, не нуждающихся в доказательстве, что привело его к чрезвычайным затруднениям. Он изменил определение параллельности и сделал странные вещи, совершенно не в духе этого искусства. В частности, он говорил: если прямая линия, перпендикулярная к другой [прямой] линии, движется по ней, сохраняя перпендикулярность к этой линии, то ее второй конец образует прямую линию и образованная таким образом линия параллельна неподвижной линии. Далее он берет эти две линии, двигает их, что совершенно не в духе этого искусства, и создает эти трудности и неприемлемые вещи для того, чтобы оправдать помещение этого постулата во введении18. Эти слова ни в каком случае не имеют отношения к геометрии. Как может линия двигаться по двум линиям, сохраняя перпендикулярность к ним, и откуда следует возможность этого? Какое отношение имеется между геометрией и движением и что следует понимать под движением? Согласно ученым несомненно, что линия может существовать только на поверхности, а поверхность - в теле, т.е. линия может быть только в теле и не может предшествовать поверхности. Как же она может двигаться отвлеченно от ее предмета? Как линия может быть образована движением точки, в то время как она предшествует точке по своему существу и по своему существованию?19.
Он [Ибн ал-Хайсам] говорит, что Евклид во Введении к одиннадцатой книге определяет сферу подобным образом, а именно говорит: || сфера получается при вращении полукруга после (77б) его возвращения в исходное положение20. В ответ мы скажем, что известно действительно ясное определение сферы - она есть телесная фигура, ограниченная одной поверхностью, внутри 'которой имеется такая точка, что все прямые линии, проведенные из нее к ограничивающей поверхности, равны21. Но Евклид по небрежности опустил это определение. В книгах ["Начал"], трактующих о телах, много небрежностей и доверия к опыту изучающего, приобретенному им до занятий этим. Если бы это определение имело какой-нибудь смысл, мы могли бы определить круг следующим образом: круг есть плоская фигура, получающаяся при вращении прямой на плоской поверхности, причем один ее конец закреплен на своем месте, а другой возвращается в свое исходное положение. Но, отвергая определения такого рода, дающие место движению, и устраняя все, что не может быть включено в основания этого искусства, мы должны отвергнуть такие сочинения, чтобы не впасть в противоречие с законами доказательств, правилами и общими понятиями книг по логике. Далее, определение сферы у Евклида не совпадает с определением у этого мужа, так как Евклид знал и не недопустимое определение этой вещи, эта вещь определяется многими другими способами, и его неприемлемое определение не является предпосылкой ни для чего значительного, в то время как этот муж [Ибн ал-Хайсам] старается сделать этот вид неприемлемого (78а) определения предпосылкой для обоснования || того, что нельзя обосновать без доказательства. Между определениями этих мужей имеется большая разница. Таковы неясности во введении к I книге.
Что касается неясностей во введении к V книге, в которой говорится об отношениях и их видах и о пропорциях и их разновидностях, они состоят в том, что неизвестен истинный смысл пропорции с точки зрения геометрии, о котором мы будем говорить во II книге этого трактата.
Мы не нашли никого, ни среди древних, ни среди позднейших, кто говорил бы о смысле пропорции удовлетворительно с философской точки зрения. Кое-что я нашел только у Абу-л-'Аббаса ан-Найризи, который много говорил о смысле отношения и пропорции. Вначале я думал, что его изложение удовлетворительно, но прочтя и обдумав его, я увидел, что оно нуждается во многих предпосылках, которые опускаются или не упоминаются, так что оно также страдает многими недостатками, о Аллах, может быть, из-за отсутствия нескольких страниц, которые мы, если будет угодно Аллаху, восполним.
Во введении к этой книге он [Евклид] помещает без доказательства утверждение о составных отношениях, говоря: для всяких трех величин отношение первой к третьей составлено из отношения первой ко второй и отношения второй к третьей22.
Заметив недостатки в этих трех местах, невразумительно изложенных и не исправленных, я решил их исправить. Сейчас я молю всевышнего Аллаха о жизни и успехе и крепко держусь за веревку его помощи. Я составил этот трактат в трех книгах: || первая из них - о параллельных и разрешении относящихся (78б) к ним сомнений, вторая - об истинном смысле отношений величин и об их пропорциях, третья - о составном отношении и всем, что к нему относится.
Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибежище, наша надежда, наш лучший помощник.
Первая книга
Истина параллельных и напоминание об известных сомнениях
Во имя Аллаха милостивого, милосердного Успех и спасение в руке Аллаха.
Рис.1 стр.117
Необходимо убедиться в том, что причина, по которой Евклид не приводит доказательства этой предпосылки и приводит ее во введении, состоит в его вере в заимствованные у философа принципы23 о смысле прямой линии и угла между двумя прямыми линиями и что именно поэтому он считает причиной пересечения двух прямых линий то, что приведено им во введении.
Пример. Линия АВ - прямая, а линия GCH восставлена на ней под прямым углом в точке С, точно так же линия FDK - в точке D и LEM - в точке Е. Этот прямой угол равен двум другим. Поэтому линия GC не может быть наклонена к АВ ни в какую сторону, как бы мы ни продолжали ее в обоих направлениях. То же самое по отношению к DF. Поэтому линия DF не пересекается с линией GC, так как если бы они пересекались, одна из этих линий или обе они были бы наклонены к линии АВ с одной из сторон24. То же относится к НС, KD и ME.
Если предположить, что CD и DE равны, плоская фигура GCDF, т.е. то, что ограничено этими двумя линиями, налагается на плоскую фигуру FDEL. Но если две линии || GC, FD Пересекаются, (79а) то и две линии FD, ЕL пересекаются в той же точке. То же самое произошло бы со всеми линиями, проведенными под прямыми углами, если их основания равны. То же самое имеет место с другой стороны, т.е. для НС, DK и т. д. Но отсюда в силу аксиомы вытекает нелепость25.
Из этого утверждения следует, что две линии GC, FD ни сходятся, ни расходятся, так как и из их схождения и из их расхождения вытекала бы указанная нелепость. Поэтому линии, перпендикулярные к АВ, параллельны и расстояние между ними постоянно, т.е. они не расходятся и не сходятся26.
Далее, если к одной из двух сторон проведена наклонная линия, например линия ES к стороне АВ, она необходимо пересечется с FD, так как ES и EL расходятся и расстояние между ними достигает [любого] заданного предела, а угол SED меньше прямого, вследствие чего два угла SED, SDE [вместе] меньше двух прямых27.
Поэтому Евклид считал, что причиной пересечения прямых ES и SD является то, что два угла меньше двух прямых. Считая так, он был прав, но это может быть доказано только при помощи дополнительных разъяснений. Такова причина, по которой Евклид принимал эту предпосылку и основывался на ней без доказательства.
Клянусь жизнью, эти рассуждения - полностью воображаемые, но здесь необходима помощь разума, и это его право. Можно привести доказательство и против этого, хотя оно лишь (79б) похоже на довод, как мы уже упоминали. Это || доказательство не достаточно и не всесторонне, так как он [Евклид] поместил во введении целый ряд фактов, не являющихся аксиомами, но оставленных им без доказательства.
Как Евклид позволил себе поместить это утверждение во введении, в то время как он доказывал гораздо более простые факты, например, в III книге то, что равные центральные углы высекают на окружностях равных кругов равные дуги?28. Это хорошо известно из принципов, так как равные круги могут быть наложены друг на друга, так же как равные углы, но при этом дуги необходимо наложатся друг на друга, т.е. они равны. Кто доказывал таким образом, не нуждается в указанном доказательстве.
Или, например, его доказательство в V книге: одна величина к двум равным величинам имеет то же отношение29. Если отношение к величине образуется таким образом, что эга величина является мерой, то зачем нужно доказательство? Потому что две равные величины с той точки зрения, что они являются мерой, одинаковы и между [ними] нет никакой разницы. С этой точки зрения они действительно тождественны и различие между ними является только различием счета30. Пойми это.
Точно так же в книгах, трактующих о телах, он опускает многое, нуждающееся в доказательстве, однако эти предпосылки не особенно важны, иначе он доказал бы их. Мы займемся ими во вторую очередь и с помощью Аллаха исправим эти книги.
Среди тех, которые занимались этой книгой, || ал-Хаджжадж31 (80а) просто перевел эту книгу, не исправляя ее. Что же касается Сабита32, то он также по существу только переводчик, хотя он и сделал несколько исправлений.
Те же, которые намеревались комментировать эту книгу и разрешить ее сомнения, как Герон Механик и Евтокий и другие из древних и Абу-л'Аббас ан-Найризи и другие из позднейших, должны были привести доказательства подобных утверждений и глубоко продумать их, а на самом деле они только опровергали прямое утверждение обратным или обратное прямым. Если известно действительное доказательство чего-нибудь, это доказательство годится и для прямого и для обратного утверждения Но какой смысл имеет опровергать прямым утверждением обратное и оставлять эти утверждения без доказательства?
Причина ошибки позднейших ученых в доказательстве этой предпосылки состоит в том, что они не учитывали принципов, заимствованных у философа, и не оспаривали количества [утверждений], приведенных Евклидом в начале I книги, в то время как это количество недостаточно и имеется много необходимых утверждений, которые должны предшествовать [изложению] геометрии.
Например, среди них: величины можно делить до бесконечности, т.е. они не состоят из неделимых33. Это философское утверждение необходимо геометру для его искусства. Не следует думать, что в нем имеется порочный круг. Поскольку философ принял круг и прямую линию и другие принципы геометрии, он может привести для этого "доказательство того, что это так", но не "доказательство того, почему это так"34, поэтому по существу это утверждение || должно быть предпосылкой геометрии, (80б) а не ее составной частью.
И среди них: прямую линию можно продолжать до бесконечности35. Но хотя философ доказывает, что все тела ограничены и вне их нет ни пустоты, ни полноты, он в то же время указывает обстоятельства, когда геометр имеет право сказать: это бесконечно или может быть продолжено до бесконечности36.
И среди них: всякие две пересекающиеся прямые линии раскрываются и расходятся по мере удаления от [вершины] угла пересечения37.
И среди них: две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения38.
Эти последние утверждения можно доказать с помощью "доказательства того, что это так", геометрическим путем, как ты легко сообразишь39.
И среди них: из двух неравных ограниченных величин меньшую можно взять с такой кратностью, что она превзойдет большую40. Может быть, это утверждение является аксиомой такого рода, что ее можно постигнуть только после размышления.
Имеются и другие ясные предпосылки и аксиомы. Но Евклид не привел большинства из них в начале своей книги, в то время как он привел совершенно излишние аксиомы, которые не следовало приводить вовсе, - или же нужно было приводить все аксиомы, не упуская ни одной, даже если они совершенно очевидны.
Мы указали выше причины ошибки Абу 'Али, вследствие чего нам не нужно делать это второй раз.
Теперь мы должны принять двадцать восемь предложений книги "Начала", так как они не нуждаются в этой предпосылке. (81а) Но || в ней нуждается двадцать девятое предложение, выражающее закономерность параллельных линий. Поэтому тот, кто хочет, пусть поставит первое предложение этой книги вместо двадцать девятого предложения I книги, включая его, если захочет Аллах, в содержание книги.
Здесь ты увидишь истинное "доказательство того, почему это так" при благосклонности и помощи Аллаха; кто прибегает к нему, он руководит им и удовлетворяет его.
Рис.2 стр.120
Первое предложение, т.е. 29-е [предложение] I книги["Начал"]. Дана[прямая]линия АВ. Проведем линию АС, перпендикулярную АВ, и линию BD, также перпендикулярную АВ и равную линии АС. Они параллельны, как показано Евклидом в 26-м предложении41. Соединим CD42. Я утверждаю, что угол ACD равен углу BDC.
Доказательство. Соединим СВ и AD. Тогда, так как АС равна BD, АВ общая, а углы А и В прямые, то основания AD и СВ равны и другие углы равны другим углам43. Поэтому углы ЕАВ и ЕВА равны, линии АЕ и ЕВ равны, так же как оставшиеся DE и ЕС. Поэтому угол EDC равен [углу] ECD, [угол] АСВ равен [углу] ADB, и углы ACD и CDB равны. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если углы САВ и DBA равны, линии АС и BD также равны, || углы BDC и ACD необходимо равны. (81б)
Второе предложение, т.е. 30-е "Начал".
Рассмотрим снова фигуру ABCD, разделим АВ пополам в Е и проведем EG перпендикулярно к АВ. Я утверждаю, что CG равна GD и что EG перпендикулярна DC.
Доказательство. Соединим DE и ЕС. Так как АС равна BD, АЕ равна ЕВ и углы А, В прямые, то основания DE и ЕС равны, и углы АЕС и BED также равны44, и оставшиеся [углы] DEG и GEC также равны, и линия DE равна ЕС, a EG -общая, откуда следует, что треугольник [CEG] равен треугольнику [GED] и их остальные соответственные стороны и углы также равны. Поэтому DG равна GC и угол DGE равен углу CGE и оба они прямые. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Третье предложение, т. е. 31-е "Начал". Рассмотрим снова фигуру ABCD. Я утверждаю, что углы ACD и BDC прямые.
Рис.3 стр.121
Доказательство. Разделим АВ пополам в Е, восставим перпендикуляр EG, продолжим его в его направлении, отложим GK, равную GE, и проведем HKF перпендикулярно к ЕК.
рис.4 стр.121
Далее продолжим АС и BD. Они пересекут НКЕ в Н и F, так как АС и ЕК параллельны45, а расстояние между двумя параллельными не изменяется46, и если мы будем продолжать до бесконечности АС, параллельную линии ЕК, и будем продолжать || до бесконечности (82а) НК, параллельную линии GC, они, очевидно, необходимо пересекутся47. Соединим СК, DK. Тогда, так как линия DG равна GC, a GK общая и в то же время перпендикулярна [к DG и GC], то основания DK и КС равны и углы GCK и GDK равны48. Поэтому углы НСК и KDF также равны49 и дополнительные углы DKG и CKG равны, и оставшиеся углы КНС и KFD также равны. Поэтому, так как линия DK равна КС50, то СН равна DF и НК равна KF. Если углы ACD и BDC прямые, это истинно поневоле. Если же они не прямые, то каждый из них или меньше прямого, или больше его.
Пусть сначала они меньше прямого. Если мы наложим плоскую фигуру CF на плоскую фигуру СВ, то GK наложится на GE также, как HF на АВ, причем HF будет равна линии NS, так как угол HCG больше угла ACG и линия HF больше АВ. Точно так же, если эти две линии [СН и DF] продолжать до бесконечности, то каждая из соединяющих [их] линий в порядке последовательности будет больше, чем другая. Поэтому линии АС, BD будут расходиться. Точно так же линии АС, BD при продолжении в другом направлении будут расходиться, что доказывается совершенно так же, так как положения по обе стороны при наложении необходимо совпадают. Поэтому две прямые линии пересекают под прямыми углами прямую [линию], а затем по обе стороны от этой линии расстояние между ними увеличивается. Но это в силу аксиомы нелепо, если представить себе прямизну. Поэтому между этими двумя линиями имеется (82б) определенное расстояние. Это из того, что || рассматривалось философом51.
Пусть теперь каждый из них [углов ACD и BDC] больше прямого. Тогда при наложении линия HF будет равна LM, которая будет меньше АВ, так же как все соединяющие линии и эти две линии будут сходиться. С другой стороны, также будет схождение, так как положения по обе стороны при наложении совпадают. Если ты немного подумаешь, ты это поймешь. Но это, согласно сказанному выше, опять нелепо52.
Поэтому две линии [АВ и FH] не могут быть различными, т.е. они равны. Так как они равны, два угла также равны, вследствие чего они являются прямыми. Ты поймешь это при небольшом размышлении. Поэтому, чтобы избежать многословия, мы оставим этот вопрос. Тот, кто захочет провести подробное доказательство, сможет это сделать, не нуждаясь в нашей помощи.
Ошибка позднейших [ученых] в доказательстве этой предпосылки происходит от того, что они не учитывали эту аксиому, даже если ее подлежащее и сказуемое представлялись правильно. И те, которые обладают глубокой интуицией и проницательным умом, могут не учитывать многих аксиом из-за того, что они не представляют их подлежащих и сказуемых. Но первичность и истинность утверждения - не только в представлении его подлежащего и сказуемого, так как справедливость или несправедливость утверждения зависит не от самих подлежащего и сказуемого, а только от связи между ними. В этом состоит причина, по которой аксиома может не учитываться. Пойми это.
Если ты представишь себе истину круга, истину угла || и истину (83а) отношения величин, то после небольшого размышления ты поймешь, что центральные углы относятся так же, как соответственные дуги, что было показано Евклидом в 36-м предложении VI книги53, являющемся последним предложением этой книги.
Рис.5 стр.123
К аксиомам следует отнести и те, которые уясняются после представления их частей, доказательство которых сводится к напоминанию и замечанию без посредствующих звеньев, так как то, что нуждается в посредствующих звеньях, должно быть доказано.
Пойми, что хотя эти слова не входят в цель этого трактата, они чрезвычайно важны и полезны, вследствие чего мы привели их здесь. Я добавлю подробное разъяснение этого вопроса для того, чтобы большинство людей это поняли.
Две линии АВ, АС пересекаются в точке А. Я утверждаю, что они раскрываются и расходятся до бесконечности. Для этого опишем из центра А круг АВС на расстоянии АВ. Расстояние между двумя линиями при их пересечении с кругом есть линия ВС. Продолжим АВ в ее направлении и опишем круг ADE. Далее продолжим АС в ее направлении до ее пересечения с кругом [ADE] в точке Е и соединим DE. Тогда расстояние между двумя линиями есть DE, причем линия DE больше ВС, и если представить себе смысл круга, угла и прямой линии, то, без сомнения, это - аксиома. Но тот, кто захочет ее доказать, должен будет при этом опираться || на утверждешия, в свою очередь (83б) нуждающиеся в доказательствах, т.е. попадет в порочный круг54.
Автор "Начал" хорошо сделал, поместив в числе аксиом во введении к своей книге утверждение, гласящее: две прямые линии не могут ограничивать плоскую фигуру55, так как тот, кто знает его определение, необходимо будет знать и его связи, поэтому это - аксиома.
Расстояние между двумя произвольными линиями есть линия, соединяющая их таким образом, что внутренние углы равны. Например, если даны две прямые линии АВ, CD на плоскости и предположим на А В точку Е, то расстояние между точкой Е и линией DC есть линия EG и угол Е равен углу G56. Но как провести из точки Е линию к CD, чтобы внутренние углы были равны? Исправление основ геометрии - дело геометра, а не философа. Можно ли провести линию, обладающую этим свойством? Этот вопрос относится к Искусству автора [философских] принципов. Разъясним это следующим образом. Из Е можно проводить к CD бесчисленные линии, образующие на своих концах бесчисленные углы, отличающиеся друг от друга тем, что один больше или меньше другого. Но так как на двух концах [соединительной прямой] имеются различные [углы], один из которых больше или меньше другого, то в силу того, что величины делимы до бесконечности57, необходимо возможно и равенство двух углов [ECF и GEH].
Рис.6 стр.124
Отложим EH, GF, равные друг другу, и соединим HF. Тогда (84а) угол Н равен || [углу] F, как показано в первом случае, так что HF есть расстояние. Поэтому, если HF больше, чем EG, две линии расходятся.
Далее отложим НК, FL, равные друг другу, и соединим KL. Тогда КL есть расстояние. Но если KL меньше, чем HF, две линии сходятся, что невозможно в силу аксиомы, так как они сначала расходились58. То же необходимо будет и в том случае, если они равны.
Если HF меньше EG, две линии сходятся. В силу показанного нами KL необходимо меньше HF, так как в противном случае мы в силу аксиомы получим нелепость.
Поэтому ясно, что если две прямые линии на одной плоской поверхности в одном направлении сходятся, невозможно, чтобы они расходились в этом направлении. То же имеет место, если они расходятся.
Это объяснение является философским, а не геометрическим. Добавленный нами пример предназначен для того, чтобы сделать изложенное более ярким и более очевидным для тех, кто не обладает острой интуицией.
Некоторые говорят, что расстояние между точкой на линии и другой линией есть перпендикуляр, опущенный из точки на линию. Это неправильно, так как перпендикуляр, опущенный из места падения первого перпендикуляра на первуюлинию, может быть не равен первому перпендикуляру, так что расстояние точки и ее соответственной было бы отлично от расстояния соответственной точки и точки первой линии, что невозможно. Но если внутренние углы равны, т. е. когда наклон обеих линий к соединительной линии один и тот же, она действительно является расстоянием между ними, и другого нет. Таково мое мнение. Я думаю, что древние геометры [упустили это из виду] и поэтому поместили во введении утверждение, нуждающееся в доказательстве.
|| Так как доказано, что если дана прямая линия, в обоих (84б) концах которой восставлены перпендикуляры и на этих перпендикулярах отложены произвольные равные линии, то расстояния между этими линиями перпендикулярны к ним и равны между собой, а две линии не сходятся и не расходятся, будем называть такие два перпендикуляра эквидистантными59.
Четвертое предложение, т.е. 32-е "Начал". [Дана] плоская фигура ABCD с прямыми углами. Я утверждаю, что АВ равна CD и AD равна ВС.
Рис.7 стр.125
Доказательство. Если АВ не равна CD, одна из них больше. Пусть CD больше другой. Отложим СЕ, равную АВ, и соединим АЕ. Тогда угол ВАЕ будет равен углу СЕА, но [угол] ВАЕ меньше прямого. Тогда [угол] СЕА больше прямого [угла] D, так как он - внешний угол треугольника AED60. Поэтому [и угол ВАЕ] больше прямого угла D, что нелепо. Таким образом, линия А В равна CD. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Пятое предложение, т. е.
33-е "Начал". Линии АВ, CD эквидистантны. Я утверждаю, что всякая линия, перпендикулярная к одной из них, перпендикулярна к другой.
[П р и м е р]. Опустим из точки Е перпендикуляр на DC. Это будет EG. Я утверждаю, что угол Е прямой.
Рис. 8 стр.125
Доказательство. Линии АВ, н DC необходимо имеют общий перпендикуляр, как мы показали. Пусть это [линия] BD. Если BE равна DG, угол Е будет прямым. || Но если одна из них больше, (85а)отложим на большей [линию], равную меньшей. [Пусть] это ВН, которую мы отложили на BE. Тогда угол Н прямой, так же как угол HGD, тогда как последний меньше прямого. Но это нелепо. Поэтому BE равна GD и угол Е прямой. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Шестое предложение, т.е. 34-е "Начал". Всякие две линии, параллельные согласно определению Евклида, т.е. не пересекающиеся, без всякого другого условия эквидистантны.
Пример. [Линии] АВ, DC параллельны. Я утверждаю, что они эквидистантны.
Рис.9 стр.126
Доказательство. Отметим точку Е [на АВ] и проведем [линию] EG, перпендикулярную DC. Если угол Е будет прямым, эти две линии будут эквидистантны. Но если он будет прямым, проведем НЕ перпендикулярно EG, и HEF, DGC будут эквидистантны. Две линии BEA, FEH пересекаются, и расстояние между EH, ЕА увеличивается до бесконечности, в то время как расстояние между EH, DG одно и то же до бесконечности, т.е. не увеличивается и не уменьшается. Отсюда с несомненностью следует, что расстояние между ЕА, НЕ станет больше EG, являющейся расстоянием между двумя эквидистантными. Поэтому линия ЕА пересечет DC, тогда как мы предположили, что они параллельны, а это нелепо. Поэтому угол AEG не больше прямого и не меньше его, т. е. этот угол прямой и линии АВ, CD эквидистантны. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Седьмое предложение, т.е. 35-е "Начал". Это предложение заменяет 29 и 30-е предложения I книги ["Начал"]61.
(85б) Если прямая линия падает на || две параллельные линии, накрестлежащие углы равны, внешний угол равен [соответственному] внутреннему, а внутренние углы вместе равны двум прямым.
Пример. Две параллельные линии АВ, DC пересекаются линией KGEL. Я утверждаю, что два накрестлежащих угла LGD, AEG равны, два внутренних угла AEG, EGC равны [вместе] двум прямым, а внешний угол CG/Сравен внутреннему углу АEG.
Доказательство. Опустим из точки Е перпендикуляр EF на DC. Он перпендикулярен АВ, так как эти линии эквидистантны. Затем опустим из G перпендикуляр на АВ, это будет GH. Поэтому плоская фигура EFGH прямоугольная и ее противоположные стороны равны. Поэтому накрестлежащие углы HEG, EGF равны, равен CGK, внутренний [угол] AEG равен внешнему [углу] CGK и, так как EGF вместе с EGC равен двум прямым, AEG вместе с EGC также равен двум прямым. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Мы доказали эти утверждения о параллельных, не нуждаясь в той требующей доказательства предпосылке, которую Евклид поместил во введении. Вот доказательство этой предпосылки:
Восьмое предложение, т. е. 36-е "Начал". Линия EG - прямая. От нее проведены две линии ЕА, GC, причем углы AEG и CGE [вместе] меньше двух прямых. Я утверждаю, что они пересекаются со стороны А.
Рис.10 стр.126
Доказательство. Продолжим эти две линии в их направлении. Пусть угол || AEG меньше [угла] EGD\ построим (8ба) угол HEG, равный [углу] EGD. Тогда две линии HEF, DGC параллельны, как доказал Евклид в 27-м предложении I книги62, и линия АЕ, пересекающая [линию] HF, пересечет линию CD со стороны А. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Рис.11 стр.127
Вот истинное доказательство утверждений о параллельных в соответствии с его смыслом и целью. Следовало бы добавить эти предложения в "Начала" в таком порядке, как мы изложили их в этой книге. Они вытекают из принципов Первой философии63. Мы включили их сюда, хотя они и выходят за пределы сущности этого искусства, так как мы не смогли избежать этого, вследствие того, что этот вопрос труден и обсуждался многими людьми. Поэтому мы добавили во введении упомянутые принципы, так как это искусство нуждается в них для того, чтобы иметь прочную философскую основу и не вызывать подозрений и сомнений у тех, кто размышляет над ним.
Нам пора закончить первую книгу, восхваляя всевышнего Аллаха и приветствуя пророка Мухаммада и все его потомство.
Вторая книга
Напоминание об отношении и смысле пропорции и их истина
Автор "Начал" выразил истину отношения, сказав, что оно есть любая мера одной из двух однородных величин в другой64.
Две однородные величины, о которых здесь говорится, таковы, что одна из них, если ее взять кратной, может превзойти другую65. Такие величины отличаются друг от друга, || как две (86б) линии, две поверхности, два тела или два времени, т.е. между этими двумя величинами существует разность, в то время как между линией и поверхностью не существует разности, так кпк линия имеет одно измерение, поверхность - два, а тело - три, время же измеряется движением. Все эти роды относятся к категории количества66, смысл этого - из искусства Первого философа67.
Это определение или описание, высказанное Евклидом, близко к истине, если только разъяснить эти слова. А именно, говоря: любая мера одной из двух величин в другой, он рассматривает взаимозависимость между двумя величинами с той точки зрения, что это есть мера, т. е. две однородные величины могут быть либо равны, либо же между ними имеется различие. Различие имеет много видов, например меньшая величина может быть долей большей, т. е. она ее измеряет и отношение может быть определено вычитанием68, или меньшая величина может являться несколькими долями большей величины69 или еще иначе70. Способность быть равным или неравным является одним из свойств всякого количества. Отношение есть это самое свойство при взаимозависимости двух однородных [величин] и вместе с тем, если оно является отношением величин, оно есть величина этого отношения71. Это более ясно для чисел, т.е. отношение сначала было найдено для чисел, при рассмотрении их взаимозависимостей, и определение их способности быть равными или неравными, являющейся свойством всех количеств. (87а) Затем рассматривали || неравные и смотрели, не измеряет ли меньшее большее, как, например, три [измеряет] девять, искали количество, показывающее, сколько раз три измеряет девять; это три, так как три измеряет число девять три раза. В этом случае применяют производное выражение - треть - и говорят, что отношение трех к девяти есть треть. В этом состоит свойство быть равным или неравным и вместе с тем второе свойство, как мы это объяснили. Отношение девяти к трем трехкратно; для этого отношения не имеется названия, и ограничиваются тем, что было; но это уже относится к составителю языка72.
Если меньшая величина не измеряет большую, как в случае отношения двух и семи, ищут такое число, которое одновременно измеряет и семь и два, но это не удается, находят только единицу. Поэтому отношение двух к семи называют двумя седьмыми. Тем самым доказано, что меньшие числа могут являться или долей или несколькими долями больших чисел. В этих случаях существуют числа, однородные с величинами, так как и те и другие относятся к категории количества. Тот же вопрос ставили и для величин. В этом случае, кроме рассмотренных двух случаев, имеется еще один случай, когда величина не состоит из неделимых частей, т. е. бесконечно делима в отличие от числа, которое состоит из неделимых частей, т.е. единиц. Если два числа различны, то, откладывая на большем все возможные кратные меньшего, так чтобы остаток стал меньше меньшего числа, затем откладывая на меньшем все возможные кратные остатки, так чтобы остаток || (87б) стал меньше другого остатка, и продолжая так последовательно, мы необходимо получим остаток, измеряющий предыдущий остаток, или единицу, так как два данных ограниченных числа состоят из неделимых единиц73. Определяя числа, мы говорим: состоят, так как по употребляемой нами терминологии составленное множество, собрание и число - одно и то же. [Евклид] изложил это в начале VII книги, и ты это поймешь после небольшого размышления.
Что же касается величин, то они не состоят из неделимых частей и их делимость ничем не ограничена, вследствие чего для них указанное не является небходимым и, так как в них нет единиц, они не требуют обязательного окончания на единице или на последнем остатке74. Смысл этого и его взаимозависимости нельзя познать без доказательства; все это подробно изложено Евклидом в X книге его сочинения, вследствие чего нам совсем нет нужды разъяснять это.
Таким образом, для двух произвольных величин не необходимо, чтобы меньшее являлось долей или долями большего, но они могут не иметь числового отношения, что свойственно только величинам.
Если скажут, что третьего случая совсем нет и имеются только два числовых случая, мы ответим, что рассмотрение правил отношений и пропорций величин в этих трех случаях нам не мешает и если этот случай будет опровергнут, нас не в чем будет упрекнуть, но поскольку он не опровергнут, мы рассмотрим его, дополнив два указанных случая, || и сможем постигнуть (88а) весьма глубокие логические тайны. Пойми это75.
Говоря о пропорции, [Евклид] сказал: она есть подобие отношений76. Это хорошо сказано, однако, разъясняя это, он отклонился от истинного смысла пропорции, говоря: если из четырех однородных величин взять произвольные равные, кратные первой и третьей, и также произвольные равные, кратные второй и четвертой, и сравнить их и если всегда, когда кратная первой больше кратной второй, кратная третьей больше кратной четвертой, и если эти равны, то и те равны, и если эти меньше, то и те меньше, при соответственном сравнении,- то говорят, что отношение первой ко второй равно отношению третьей к четвертой, и они называются пропорциональными77.
Но это не определяет истинный смысл пропорции, и ты поймешь это, если кто-нибудь спросит: "четыре величины пропорциональны по Евклиду и первая равна половине второй; равна ли третья половина четвертой или нет?"
Как доказать, что третья величина равна половине четвертой по методу Евклида? Если в ответ скаж\т, что третья должна быть равна половине четвертой, если первая равна половине второй, так как между ними имеется пропорция, то какое доказательство имеется для указанного Евклидом необходимого условия истинной пропорции? Он сказал: если для четырех величин взять (88б) кратные таким || образом, что кратная первой больше кратной второй, а кратная третьей не больше кратной четвертой, то отношение первой ко второй больше отношения третьей к четвертой78.
Вот слова этого мужа о пропорции. Будем называть это известной пропорцией и будем отличать ее от истинной пропорции.
Вся V книга посвящена известной пропорции, сюда следует прибегать по вопросам этой пропорции. Мы добавим в конце этой книги [V книги "Начал"] все, что мы здесь говорим об истинной пропорции. Мы докажем, коротко говоря, что известная пропорция необходима для истинной пропорции и все, что необходимо для известной пропорции, необходимо в то же время и для истинной пропорции, как, например, присоединение, выделение, переставление, перевертывание и т.д., как это изложил Евклид79; то же относится ко всему вытекающему из этих слов.
Можешь представить себе истинный смысл отношения величин следующим образом: всякие две величины могут быть равны и неравны; в последнем случае одна из них может быть долей или долями другой. Эти три случая являются числовыми отношениями. Может быть еще один случай, свойственный геометрии, как мы уже это разъясняли.
Если из четырех величин первая равна второй, а третья - четвертой, или если первая является долей второй, а третья - такой же долей четвертой, или если первая является долями второй, а третья - такими же долями четвертой, отношение (89а) первой ко второй необходимо равно отношению третьей || к четвертой. Это в случае числового отношения80.
Если же не имеет места ни один из этих трех случаев, отложим на второй все кратные первой так, чтобы остаток стал меньше первой, и отложим на четвертой все кратные третьей так, чтобы остаток стал меньше третьей, и пусть кратность первой во второй равна кратности третьей в четвертой. Далее, отложим на первой все кратные остатка второй так, чтобы остаток стал меньше остатка второй, и точно так же отложим на третьей все кратные остатка четвертой так, чтобы остаток стал меньше остатка четвертой, и пусть кратность остатка второй равна кратности остатка четвертой. Так же отложим на остатке второй все кратные остатка первой и на остатке четвертой все кратные остатка третьей, и п>сть их кратности одинаковы. Точно так же будем последовательно откладывать кратные остатков одни на других так, как мы объясняли, и пусть число остатков первой и второй равно числу соответственных остатков третьей и четвертой и так до бесконечности. В этом случае отношение первой ко второй необходимо равно отношению третьей к четвертой. Вот истинная пропорция, определенная геометрически81.
Что касается истинного определения того, что [одно] отношение больше или меньше [другого], то мы скажем: если из четырех величин первая равна второй, а третья меньше четвертой, или если первая больше второй, а третья не больше четвертой, или если первая является долей второй, а третья - другой долей, меньшей этой доли, || для четвертой, или же долями, (89б) которые вместе меньше этой доли, или если первая является долями второй, а третья - долей, меньшей этих долей, для четвертой, или же долями, которые вместе меньше этих долей, - отношение первой ко второй больше отношения третьей к четвертой. Мы ограничивались только долями и для краткости оставили в стороне кратные, так как одни заменяют другие. В противном случае рассуждение будет тем же самым, и от этого ничего не изменяется, т.е. если первая является кратной второй, а третья является кратной четвертой, - ты уже знаешь, что рассуждение для долей и для кратных для случая истинной пропорции одинаково. Это в случае числового отношения.
Что касается геометрического отношения, то если мы отложим на второй все кратные первой, пока не получим остатка, также отложим на четвертой все кратные третьей, пока не поучим остатка, и кратность первой будет меньше кратности третьей или если оба эти числа будут равны и мы отложим на Первой все кратные остатка второй, пока не получим остатка, а также отложим на третьей все кратные остатка четвертой, пока не получим остатка, и кратность остатка второй будет больше ратности остатка четвертой или если оба эти числа будут равны и мы отложим на остатке второй все кратные остатка первой, а на остатке четвертой - все кратные остатка третьей и кратность остатка первой будет меньше [кратности остатка третьей] или нет остатка второй или ее остатков, а то время как имеются (90а) остатки || четвертой или ее остатков, - тогда отношение первой ко второй необходимо больше отношения третьей к четвертой по истинному определению. Точно так же, если имеется остаток первой или ее остатков, но нет остатка третьей или ее остатков или остатки первой больше остатков третьей, - отношение первой ко второй необходимо больше отношения третьей к четвертой. Мы могли бы говорить об этом вопросе более подробно. Ты можешь понять это при помощи изученных тобой правил; пойми это82.
И наконец нам следует доказать, что все сказанное Евклидом необходимо для этого [вопроса]83.
Одна из предпосылок, которую необходимо принять, состоит в следующем: для всякой данной величины существует в уме такая другая величина, что отношение первой величины к ней равно всякому данному отношению, совершенно произвольному84. Это философская предпосылка, которую мы докажем, прибегнув к примеру.
Пример. Дано отношение А к В и дана [величина] С. Я утверждаю, что необходимо существует - в уме, а не объективно, так как существующее объективно не нуждается в доказательстве85 - такая другая величина, что С относится к ней, как А к В.
Рис.12 стр.132
Доказательство. Для удвоения величин и для деления их пополам нет (90б) ограничения, и их можно удваивать до || бесконечности и точно так же их можно до бесконечности делить пополам. Поэтому необходимо существует такая очень большая величина, что отношение С к ней меньше отношения А к В; пусть это будет Е. Точно так же необходимо существует такая очень малая величина, что отношение С к ней больше отношения А к В [пусть это будет G]. Так как делимость величин бесконечна, между Е и G необходимо существует такая величина, что С относится к ней, как А к В, и для этого нет никаких препятствий, так как можно отнять от Е или прибавить к G все что угодно; пусть это будет D. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Если даны две различные величины и на большей из них отложить ер половину или больше и на второй тоже, потом так же сделать с остатками, в конце концов мы получим остаток меньше, чем меньшая из данных величин86.
Пример. Даны величины А и ВС. Я утверждаю, что они подчиняются сказанному правилу.
Доказательство. Возьмем такую величину, кратную А, которая была бы больше ВС. Пусть это будет GI, в которой имеются равные А [величины] GH, HF, FI, так что она [А] есть треть ее [GI]. Затем отложим на ВС величину CD, являющуюся ее половиной или больше, затем отложим на DB [величину] ED, являющуюся ее половиной или больше. Затем возьмем величину, кратную ЕВ, кратность которой равна кратности GI по отношению к величине А. Пусть это будет KN; ее части87 пусть будут KL, LM, MN.
Рис.13 стр.133
Так как величина BE не больше DE, a DE не больше, а меньше DC, величина || ВС больше, чем BE, взятая трехкратно, и, (91а) значит, она больше KL, взятой трехкратно, т.е. KN меньше ВС. Но GI больше ВС, значит, GI больше KN. Но GI относится к KN, как А к BE в смысле известного отношения, и, следовательно, величина А больше BE. Это то, что мы хотели доказать.
Это первое предложение X книги "Начал". Его доказательство нуждается только в V книге88, помни об этом! Мы привели его в этом месте, так как мы нуждаемся в этом доказательстве. Но Евклид говорит: "если на большей величине отложить больше ее половины", а не говорит, что можно отложить ее половину или больше89, что необходимо для того, чтобы рассуждение было более общим.
Удивительно, что он пользуется этим предложением в 13-м предложении XII книги, говоря: "Если отложить на большей величине ее половину и на остатке его половину"90. Рассуждая таким образом, он выигрывает по сравнению с указанным местом. Подумай об этом!
Четыре величины пропорциональны в смысле истинного отношения, и отношения первой величины ко второй есть числовое отношение. Я утверждаю, что они пропорциональны в смысле известного отношения.
Пример. Пусть А В относится к CD, как EG к HF в смысле истинного отношения, и это отношение числовое.
[Доказательство]. Пусть АВ равна CD, a EG [равна] HF. Возьмем произвольные равнократные первой и третьей || О (91б) и X [и произвольные равнократные второй и четвертой S и Р]. Так как АВ равна CD, [EG равна HF]. О такая же кратная АВ, как X кратная EG, [a S такая же кратная CD, как Р кратная HF], S и Р одновременно больше О и X, или равны О и X, или меньше О и X, и АВ относится к CD, как EG к НЕ в смысле известного отношения.
Если АВ есть доля СD, то разделим CD на [доли], равные АВ, пусть это будут CL, LD, и также разделам HF, пусть [ее доли] будут HN, NF. Тогда, если О и X равнократные CD и НЕ, то, так как CD и HF равнократиые АВ и EG, т.е. СЕ и HN - О и X являются равнократными АВ и EG. Тем самым этот случай сведен к предыдущему случаю, и величины [АВ, CD, EG и HF] пропорциональны [в смысле известного отношения].
Рис.14 стр.134
Если АВ есть доли CD, то разделим АВ на доли CD, пусть это будут АК, КН, и также разделим EG, путь [ее доли] будут ЕМ, MG.
Так же, как раньше, как величины S и Р, [равнократные DC и HF], так и величины О и X, [равнократные АВ и EG], являются равнократными АК и ЕМ. Тем самым этот случай сведен к первому случаю, и, следовательно, величины [АВ, CD, EG и HF] пропорциональны в смысле известного отношения. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Обратным для этого предложения является следующее: четыре величины А, В, С, D пропорциональны в смысле известного отношения и отношение А к В числовое в смысле истинного отношения. Я утверждаю, что они пропорциональны в смысле истинного отношения.
Рис.15 стр.134
Доказательство. Если А относится В не как С к D в смысле истинного отношения, (92а) то пусть || [они относятся], как С к Е в этом же смысле. Тогда А относится к В, как С к Е в смысле известного отношения, но А относится к В, как С к D в известном смысле, и С относится к D, как С ж Е, в известном'смысле, как показано в V [кнпге "Начал"]91. Поэтому отношение С к D и отношение С к Е - одно и то же в известном смысле, вследствие чего [величина] D равна [величине] Е92. Поэтому А относится к В, как С к D в истинном смысле. Это и есть то, что мы хотела доказать.
Величина А В относится к величине CD, как HF к КL в известном смысле, а АЕ относится к CD, как НМ к КL в известном смысле. Я утверждаю, что ЕВ относится к CD, как MF к КL в известном смысле.
Рис.16 стр.135
Доказательство. АВ относится к CD, как HF к КL, и CD относится к АЕ, как КL к НМ. Поэтому по равенству отношений АВ относится к АЕ, как HF к НМ в известном смысле93, и АВ относится к ЕВ, как HF к MF в известном смысле94 и, переставляя,95 [мы получим, что] ЕВ относится к АВ, как MF к HF. Но АВ относится к CD, как HF к КL. Поэтому по равенству MF относится к КL, как ЕВ к CD. Это и есть то, что мы хотели доказать.
В своей V книге Евклид доказал много того, что не нуждается в доказательстве. Мы уже отмечали, что он говорил: отношение одной и той же величины к двум равным величинам - одно и то же96. Он говорил также: если первая [величина] относится ко второй, как третья к четвертой, || и третья относится к четвертой, как пятая к шестой, то первая относится ко второй, как пятая к шестой97. Это не нуждается в доказательстве, так как если отношение первой ко второй в точности равно отношению третьей к четвертой, а отношение третьей к четвертой в точности равно отношению пятой к шестой, то отсюда необходимо вытекает, что отношение первой ко второй в точности равно отношению пятой к шестой.
В то же время Евклид, вместо того чтобы рассмотреть сущность пропорции, рассматривает ее свойства; но эти свойства могут вызвать сомнение, в то время как истинное отношение не может вызвать сомнения.
Рис.17 стр.135
Величина АВ относится к величине CD, как величина HF к величине КL в известном смысле, и отношение А В к CD не есть числовое отношение. Я утверждаю, что они пропорциональны в истинном смысле.
Доказательство. Если бы они не были пропорциональны, одно из отношений было бы больше другого. Предположим, что отношение А В к CD больше отношения HF к КL. Отложим на CD все кратные АВ, пусть они составляют ED. Далее отложим на КL все кратные HF, пусть они составляют GL. Тогда, если число этих кратных различно, число [долей] GL больше, так как отношение HF к КL является меньшим. Тогда отложим на GL, т.е. на [величине], кратной HF, [величину], равную HF, взятой в числе [долей] ED, пусть это будет SL. Тогда АВ будет относиться к ED, как HF к SL, и, следовательно, АВ будет относиться к СЕ, как HF к KS, что нелепо, так как (93а) АВ больше || СЕ, a HF меньше KS. Поэтому число [долей] GL равно числу [долей] ED, и DE относится к АВ, как GL к HF.
Отложим теперь на АВ все кратные СЕ, пусть они составляют BN, и отложим на HF все кратные GK, пусть они составляют MF. Тогда число [долей] BN равно числу [долей] MF, в противном случае, как мы показали это во введении к книге, число [долей] BN больше, поскольку отношение АВ к CD является большим. Но то, что число [долей] BN является большим, нелепо, так же как выше, и число [долей] BN необходимо равно числу [долей] MF.
То же относится к числам всех остатков. Но мы предположили, что отношение АВ к CD больше отношения HF к KL, откуда из свойства большего отношения необходимо следует, что число остатков CD меньше числа остатков KL, что нелепо, или что число остатков АВ больше числа остатков HF, что также нелепо. Отсюда следует, что [ и в истинном смысле] отношение АВ к DC не больше отношения HF к KL. Это то, что мы хотели доказать.
Помни, что отношения одной и той же величины к двум равным величинам - это одно и то же отношение, так же как отношения двух равных величин к одной и той же величине; эти два случая не нуждаются в доказательстве. Но то, что, если отношение двух величин к одной и той же величине есть одно и то же отношение, эти [две] величины равны, - нуждается в доказательстве. И также нуждается в доказательстве то, что, если (93б) отношение одной и той же || величины к двум величинам есть одно и то же отношение, - эти две величины равны.
Величина AG относится к DE так же, как к ВС в истинном смысле. Я утверждаю, что ВС равна DE.
Доказательство. Если бы они не были равны, одна из них должна быть больше. Пусть это будет ВС. Предположим, что AG меньше каждой из них. Если бы AG было больше каждой из них, доказательство было бы тем же самым, так же как во всех предшествующих предложениях.
Далее отложим на DE все кратные AG, пусть это будет НЕ, также отложим на BD все кратные AG, пусть это будет FD. Тогда НЕ равно FC и BF больше DH и их разность равна разности ВС и DE. Далее отложим на AG все кратные BF, пусть это будет MG, а также отложим на AG все кратные DH, пусть это будет NG. Тогда MG необходимо больше NG, так как число этих кратных равно. Далее отложим на BF все кратные AM, пусть останется BL, и отложим на DH все кратные AN, пустй останется DK. Тогда BL должно быть больше DK и их разность должна быть больше, чем разность ВС и DE, так как разность BF и СН равна разности ВС и DE, и AM меньше AN и, следовательно, FL меньше KН и разность BL и DK больше первой разности.
Рис.18 стр.137
Точно так же, применив то же еще раз, мы найдем, что разность остатков BL больше разности остатков DК и, следовательно, каждая разность будет больше предыдущей разности и так до бесконечности.
Предположим теперь, что величина ВС превышает DE на величину, || меньшую ее. Тогда отложим на ВС часть, большую ее половины, пусть это будет FC, далее отложим на BF часть, большую ее половины, пусть это будет FL, и тоже сделаем с DE. Мы можем откладывать таким образом на каждом остатке часть, большую его половины, до тех пор, пока не получим величину, меньшую, чем разность ВС и DE. Но мы показали выше, что разности постепенно увеличиваются, т.е. каждая разность, являющаяся остатком другой разности, больше предыдущей разности и каждый раз значительно больше разности ВС [и DE], так что ВС неограниченно больше DE, что нелепо. Поэтому ВС не может быть ни больше, ни меньше DE и, следовательно, равна ей. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Рис.19 стр.137
Обратное [предложение] о том, что если отношения двух [величин] к некоторой [величине] равны, то и сами они равны, доказывается сходным образом.
А относится к В, как С к D в истинном смысле, и это отношение не числовое. Я утверждаю, что в этом случае А относится к В, как С к D в известном смысле.
Доказательство. А относится к В, как С и Е в известном смысле. Мы доказали выше, что для всех величин имеет место правило, которое находится по закону искусства98. Поэтому А относится к В, как С к Е в истинном смысле, откуда С относится к Е, как С к D в истинном смысле и, следовательно, они [Е и D] равны, и величины [А, В, С и D] пропорциональны в известном смысле. Это и есть то, что требовалось.
Мы изложили правила истинной пропорции и доказали, что известная пропорция, изложенная Евклидом, является одним из ее свойств, т.е. все [величины], пропорциональные в известном смысле, пропорциональны и в истинном смысле и все [величины], пропорциональные в истинном смысле, пропорциональны и в известном смысле
(94б) Теперь изложим правила неравенства отношений || в истинном смысле.
Если первая [величина] относится ко второй, как третья к четвертой в истинном смысле, эти отношения в точности совпадают. Но если отношения третьей к четвертой больше или меньше отношения пятой к шестой, отношение первой ко второй будет больше [или меньше] отношения пятой к шестой в истинном смысле. Этот случай не нуждается в доказательстве, хотя Евклид приводит доказательство, но он упускает [из виду] истинный смысл и отклоняется от истины и сущности вещи к ее свойству, не являющемуся очевидным и нуждающемуся в доказательстве.
Так, если имеются две различные величины, то отношение третьей величины к большей величине меньше отношения той же величины к меньшей величине в истинном смысле. Точно так же отношение большей к указанной величине больше отношения меньшей величины к указанной величине в истинном смысле. Эти случаи нисколько не нуждаются в доказательстве, но Евклид приводит доказательство99, так как он отклонился от истинного смысла большего отношения к известному смыслу.
Но [предложение о том, что] если отношение данной величины к одной из двух данных величин больше отношения этой величины к другой из этих величин в истинном смысле, то первая данная величина меньше второй, так же как обратное [предложение], нуждается в доказательстве. Приведем его.
Даны две величины АВ, DC и величина EG, причем отношение EG к АВ меньше ее отношения [EG] к CD [в истинном смысле]. Я утверждаю, что АВ больше CD.
Рис.20 стр.138
Доказательство. Если АВ не больше CD, то они могут быть равны, откуда следует, что EG относится к АВ, как EG к CD, но так как этого нет, || они не равны. Поэтому может быть, что [АВ] меньше [CD]. Так как мы предположили, что отношение EG к АВ меньше отношения EG к CD, число остатков EG на остатках АВ больше числа остатков EG на остатках CD или число остатков CD на EG больше числа остатков АВ на EG, так как таковы свойства неравенства отношений и другие его свойства, которые ты можешь понять при небольшом размышлении, в особенности если обдумаешь то, что мы объясняем.
Предположим, что EG меньше каждой из этих двух величин,так как если она больше их, или равна одной из них, или меньше, или больше другой, доказательство является таким же, а в некоторых случаях еще легче. Ты можешь понять это при небольшом размышлении.
Отложим на АВ все кратные EG, получится остаток AF, и точно так же отложим на CD все кратные EG, получится остаток СН. Тогда НС равна BF: если бы они не были равны, то в силу неравенства отношений BF была бы больше HD, а это невозможно, так как CD больше АВ. Поэтому HD равна BF и СН больше AF. Отложим на EG все кратные СН, полечится остаток ЕК, отложим также на EG все кратные AF, пол>чится остаток [LE]. Тогда число этих остатков [на EG] одинаково,- иначе, как и в первом случае, быть не может. Ибо если числа остатков не равны, а различны, и число таких остатков, как НС на HG, больше || [числа] таких остатков, как AF на LG, то (95б) КL больше AF, но EL меньше ее, что нелепо, а если число таких остатков, как НС на KG, меньше числа таких остатков, как AF на LG, и отношение EG к CD будет меньше ее отношения к АВ, что нелепо, так как мы предположили противоположное. Потому число таких остатков, как СН на KG, равно числу таких остатков, как AF на LG.
Точно так же необходимо, чтобы число [последовательных] остатков CD на [последовательных] остатках EG было равно числу остатков АВ на остатках EG, так же как число остатков EG на [остатках] CD равно числу остатков EG на [остатках] АВ, так как в противном случае мы получим указанную выше нелепость.
Поэтому остатки EG после отнимания остатков CD будут становиться постепенно меньше остатков EG после отнимания остатков АВ, и точно так же остатки CD после отнимания остатков EG будут становиться больше остатков АВ после отнимания остатков EG. Но это противоречит предположению о том, что отношение EG к А В меньше отношения EG к CD, что нелепо. Поэтому CD не больше АВ и не равна ей, т.е. меньше ее. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Это предложение обладает различными случаями. Мы разобрали самый трудный из этих видов; остальные ты можешь вывести при помощи этого, но мы оставим их, чтобы избежать многословия. Если ты предложишь эти виды тому, кто обладает хорошей интуицией и проницательным умом, он, с помощью уже изложенного нами, постигнет их доказательства за весьма малое время. Точно так же и в предшествующих предложениях имеется (96а) разнообразие случаев || и положений, пути [разрешения] которых, если ты хочешь их узнать, таковы же, как мы показали. В большинстве геометрических предложений имеется разнообразие случаев. Имеются люди, которые трудятся над этими многословными вещами, снижают цену искусства и уменьшают свой авторитет; но это только скучное и пустое мучение. По этой причине мы воздержимся от этого.
Отношение величины А к величине В больше отношения величины С к величине D в известном смысле. Я утверждаю, что оно больше также в истинном смысле. ,
Рис.21 стр.140
Доказательство. Если это не так, оно равно или меньше. Если они равны [в истинном смысле], то А относится к В, как С к D в известном смысле, но мы уже сказали, что оно [отношение А к В] больше его [отношения С к D] [в известном смысле], что нелепо. Если оно [отношение Л к Б] меньше его [отношения С к D] в истинном смысле, то предположим, что А относится к В, как С к Е в истинном смысле, и поэтому отношение С к Е меньше отношения С к D в истинном смысле и больше D в истинном смысле, как мы доказали в предыдущем предложении, но отношение А к В больше отношения С к D в известном смысле, отношение С к В больше отношения С к D в известном смысле и D больше В, в то время как раньше Е была больше D. Так как это нелепо, отношение А к В не меньше отношения С к D. Поэтому отношение А к В больше отношения С к D. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Обратное этому предложению: отношение величины А к В больше отношения С к D в истинном смысле. Я утверждаю, что то же имеет место в известном смысле.
Рис.22 стр.140
Доказательство. Если это не так, то отношения не могут быть равны, так как в противном случае мы получим указанную выше нелепость. Пусть отношение А к В меньше || отношения С к D в известном смысле и предположим, что А относится к В, как D к Е в известном смысле. Поэтому отношение С к Е меньше отношения С к D и Е больше D. Но так как А относится к В, как D к Е в известном смысле и, следовательно, и в истинном смысле, отношение С к Е больше отношения С к D в истинном смысле и, следовательно, Е меньше D; но раньше Е была больше С. Так как это нелепо, отношение А к В больше отношения С к D и в известном смысле. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Таким образом, мы доказали, что все, что Евклид изложил об определении неравенства отношений, необходимо относится и к неравенству отношений в истинном смысле, а именно: отношение большее в известном смысле в то же время больше и в истинном смысле; и то же относится к меньшему отношению. Обратно, всякое большее отношение [в истинном смысле] больше и в известном смысле; и точно так же меньшее отношение. Другие случаи, например присоединенное отношение, выделенное отношение, переставленное отношение, перевернутое отношение, отношение по равенству100 и другие правила, приведенные Евклидом во введении к V книге или в самой этой книге, зависят от этого; и точно так же все, что он [Евклид] доказал, опирается на это, поэтому все сказанное необходимо относится к отношению в истинном смысле, пропорции в истинном смысле, а также к неравенству отношений в истинном смысле.
Что же касается составления и разложения отношений, то они не нужны в V книге: они нужны в VI книге, и об этом мы скажем в третьей книге этого трактата.
Вторая книга по милости Аллаха и с его прекрасной помощью завершается. Хвала Аллаху.
![Рис.1 стр.117 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris1str117.jpg)
![Рис.2 стр.120 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris2str120.jpg)
![Рис.3 стр.121 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris3str121.jpg)
![Рис.4 стр.121 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris4str121.jpg)
![Рис.5 стр.123 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris5str123.jpg)
![Рис.6 стр.124 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris6str124.jpg)
![Рис.7 стр.125 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris7str125.jpg)
![Рис.8 стр.125 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris8str125.jpg)
![Рис.9 стр.126 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris9str126.jpg)
![Рис.10 стр.126 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris10str126.jpg)
![Рис.11 стр.127 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris11str127.jpg)
![Рис.12 стр.132 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris12str132.jpg)
![Рис.13 стр.133 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris13str133.jpg)
![Рис.14 стр.134 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris14str134.jpg)
![Рис.15 стр.134 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris15str134.jpg)
![Рис.16 стр.135 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris16str135.jpg)
![Рис.17 стр.135 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris17str135.jpg)
![Рис.18 стр.137 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris18str137.jpg)
![Рис.18 стр.137 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris19str137.jpg)
![Рис.20 стр.138 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris20str138.jpg)
![Рис.21 стр.140 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris21str140.jpg)
![Рис.22 стр.140 []](/img/j/ja_l_g/otrudnvedenevklida/ris22str140.jpg)