Омар Ал-Хаййами Ан-Найсабури. О Доказательствах Задач Алгебры И Алмукабалы

Омар Ал-Хаййами Ан-Найсабури
О Доказательствах Задач Алгебры И Алмукабалы

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]

Ссылки:

Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками

Типография Новый формат: Издать свою книгу

© Copyright Омар Ал-Хаййами Ан-Найсабури Размещен: 25/03/2021, изменен: 22/04/2025. 98k. Статистика. Статья: Естествознание Омар Хайям Иллюстрации/приложения: 32 шт.
Аннотация: ТРАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО МУДРЕЦА ГИЙАС АД-ДИНА`ОМАРА АЛ-ХАЙЙАМИ АН-НАЙСАБУРИ, да освятит Аллах его драгоценную душу, О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ

ТРАКТАТЫ

ПЕРЕВОД

ТРАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО МУДРЕЦА ГИЙАС АД-ДИНА (la)

`ОМАРА АЛ-ХАЙЙАМИ АН-НАЙСАБУРИ, да освятит Аллах

его драгоценную душу,

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ

АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ¹

|| Во имя Аллаха милостивого, милосердного. (1б)

Хвала Аллаху, господину миров, и благословение всем его пророкам.

Один из поучительных вопросов, необходимый в разделе философии, называемом математикой² , это искусство алгебры и алмукабалы, имеющее своей целью определение неизвестных, как числовых, так и измеримых³ . В нем встречается необходимость в некоторых очень сложных видах предложений, в решении которых потерпело неудачу большинство этим занимавшихся. Что касается древних, то до нас не дошло сочинение, в котором они рассматривали бы этот вопрос: может быть, они искали решение и изучали этот вопрос, но не смогли преодолеть трудностей, или их исследования не требовали рассмотрения этого вопроса, или, наконец, их труды по этому вопросу не были переведены на наш язык⁴ . Что касается позднейших, то среди них ал-Махани⁵ предложил проанализировать предпосылку, принятую Архимедом⁶ в четвертом предложении второй книги его "Книги о шаре и цилиндре"⁷ , при помощи алгебры⁸ . Он пришел к уравнению, содержащему кубы, квадраты и числа, которое ему не удалось решить, несмотря на то что он долго размышлял о нем. Поэтому считалось, что это решение невозможно, пока не явился Абу Джа'фар ал-Хазин⁹, решивший это уравнение при помощи конических сечений¹⁰ . После него некоторые из этих видов были нужны многим геометрам, и один геометр решал один из этих видов, а другой - другой. Но никто из них не говорил ничего ни о перечислении этих видов, ни об изложении случаев каждого вида, ни об их доказательствах, за исключением двух видов, которые я укажу.

Я же, напротив, всегда горячо стремился к тому, чтобы исследовать все эти виды и различить среди этих видов возможные и невозможные случаи, основываясь на доказательствах, так как я знал, насколько настоятельна необходимость в них в трудностях задач. Но я был лишен возможности систематически заниматься этим делом и даже не мог сосредоточиться на размышлении о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию (2а) и углублению своей науки. Большая часть || из тех, кто в настоящее время имеет вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими. Тот запас знаний, которым они обладают, они используют лишь для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек¹¹ . Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибежище.

Поскольку всевышний Аллах даровал мне благо, я хочу посвятить себя его сиятельству [нашему славному и несравненному господину, судье судей имаму господину Абу-Тахиру¹² , да продолжит Аллах его возвышение и повергнет тех, кто питает против него зависть и вражду]¹³ . Я отчаялся увидеть столь совершенного во всех практических и теоретических качествах человека, сочетающего в себе и проницательность в науках и твердость в действиях и усилиях делать добро всем людям. Его присутствие расширило мою грудь, его общество возвысило мою славу, мое дело выросло от его света и моя спина укрепилась от его щедрот и благодеяний. Благодаря моему приближению к его высокой резиденции я почувствовал себя обязанным восполнить то, что я потерял из-за превратностей судьбы, и кратко изложить то, что я изучил до мозга костей из философских вопросов. И я начал с перечисления этих видов алгебраических предложений, так как математические науки более всего заслуживают предпочтения. Я ухватился за веревку помощи всевышнего Аллаха, надеясь, что он дарует мне успех в доведении до конца размышлений как по этому вопросу, так и по вопросу, которым занимались передо мной в науках более важных, чем другие. Я опираюсь на его прочную поддержку, потому что он господин исполнения молитв и к нему нужно прибегать [во всех случаях].

Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины¹⁴ , являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество или отношение, не связанное ни с чем другим. В это ты должен глубоко вникнуть. Цель этого искусства состоит в нахождении соотношений, связывающих его предмет с указанными данными. Совершенство этого искусства состоит в знании методов изучения, посредством которых можно постигнуть способ определения упомянутых неизвестных, || как числовых, так и геометрических. (2б)

Величин, т.е. непрерывных количеств, имеется четыре вида: линия, поверхность, тело и время, как это изложено кратко в "Категориях"¹⁵ и подробно в "Первой философии"¹⁶ . Некоторые рассматривают место как подразделение поверхности, подчиненное роду непрерывного [количества], но исследование опровергает это мнение и подтверждает, что место есть поверхность в некотором положении и обстоятельствах, определение которых - вне нашего предмета¹⁷ . Время не принято считать предметом алгебраических задач, но если бы это было сделано, это было бы допустимо.

Обычно алгебраисты¹⁸ называют неизвестную, которую хотят определить, вещью¹⁹ , ее произведение на себя - квадратом²⁰ , произведение ее квадрата на нее - кубом²¹, произведение ее квадрата на себя - квадрато-квадратом²², произведение ее куба на ее квадрат - квадрато-кубом²³, произведение ее куба на себя - кубо-кубом²⁴ и так далее сколько угодно²⁵. Из книги Евклида²⁶ "Начала"²⁷ известно, что все эти степени пропорциональны, т.е. единица относится к корню, как корень к квадрату и как квадрат к кубу²⁸; следовательно, число относится к корням, как корни к квадратам, как квадрат к кубам [и как кубы] к квадрато-квадратам и так далее сколько угодно.

Следует знать, что этот трактат может быть понят только теми, кто хорошо знает книги Евклида "Начала" и "Данные"²⁹, так же как две книги сочинения Аполлония³⁰ "Конические сечения"³¹. Тот, для кого один из этих путей к знанию закрыт, не сможет проложить путь к его изучению. Мне с трудом удалось ограничиться в этом трактате ссылками только на три названные мной сочинения.

Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнения одних степеней другим. Если алгебраист пользуется квадрато-квадратом в вопросах измерения, то это следует понимать метафорически, а не в прямом смысле, так как нелепо, чтобы квадрато-квадрат принадлежал к числу величин. К величинам относится прежде (3а) всего || одно измерение, т.е. корень или сторона по отношению к своему квадрату. Затем два измерения, т.е. плоская фигура³²; квадрат также относится к величинам, так как является плоской фигурой, [имеющей форму] квадрата. И, наконец, три измерения, т.е. тело; куб также относится к величинам, так как он является телом, ограниченным шестью квадратами. Так как других измерений нет, к величинам не могут относиться ни квадрато-квадрат, ни, тем более, высшие степени³³. Если же говорят, что квадрато-квадрат относится к величинам, то это говорится о том, что измеримы некоторые его части, а не о том, что он сам измерим, - между этими двумя вещами - большая разница³⁴. Квадрато-квадрат не относится к величинам ни по своей сущности, ни по акциденции³⁵, как, например, четное и нечетное, относящиеся к величинам по акциденции в соответствии с числом, разрывающим непрерывность величин четным или нечетным образом.

В сочинениях алгебраистов из уравнений, содержащих эти четыре геометрических количества, т.е. абсолютные числа, стороны, квадраты и кубы, приводятся три уравнения, содержащие числа, стороны и квадраты³⁶. Мы же предложим методы определения неизвестной в уравнении, содержащем все четыре степени, о которых мы сказали, что только они относятся к измеримым количествам, а именно: число, вещь, квадрат и куб³⁷.

То, что можно доказать при помощи свойств круга³⁸, т.е. книг Евклида "Начала" и "Данные", доказывается чрезвычайно просто. То, что можно доказать только при помощи конических сечений, доказывается, как в двух книгах "Конических сечений". Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством³⁹. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первых степени, а именно число, вещь и квадрат. Для того, что доказывается при помощи сочинений Евклида, я укажу и числовое доказательство. И знай, что доказательство геометрическим способом отделяется от числового доказательства, когда предметом задачи является число, а не измеримая величина. Ты ведь знаешь, что Евклид, доказав в пятой [книге] (3б) своего сочинения некоторые предложения || о пропорциональности величин, затем доказывает те же самые предложения о пропорциональности в седьмой [книге], когда их предметом является число⁴⁰.

Уравнения, содержащие эти четыре степени, бывают либо простые, либо сложные. Простых уравнений имеется шесть видов:

1) число равно корню;

2) число равно квадрату;

3) число равно кубу;

4) корни равны квадрату;

5) квадраты равны кубу;

6) корни равны кубу⁴¹.

Три из этих видов упоминаются в сочинениях алгебраистов⁴². Они говорят: вещь относится к квадрату, как квадрат к кубу, отсюда необходимо следует, что уравнение, содержащее квадрат и куб, равносильно уравнению, содержащему вещь и квадрат⁴³. Точно так же число относится к квадрату, как корень к кубу, но они не доказали этого геометрически. Если число равно кубу, то в случае числовой задачи его ребро может быть найдено только посредством последовательного подбора⁴⁴, а в случае геометрической задачи - только при помощи конических сечений⁴⁵.

Сложные уравнения бывают тройные и четверные. Видов тройных уравнений двенадцать, [три] первые из которых суть:

1) квадрат и корни равны числу;

2) квадрат и число равны корням;

3) корни и число равны квадрату⁴⁶.

Эти три вида упоминаются в сочинениях алгебраистов и доказываются там геометрическим, а не числовым способом⁴⁷.

Вторые три вида суть:

1) куб и квадраты равны корням;

2) куб и корни равны квадратам;

3) корни и квадраты равны кубу⁴⁸.

Алгебраисты говорят, что три вторых вида пропорциональны трем первым, каждый - своему соответственному, т.е. уравнение: куб и корни равны квадратам - равносильно уравнению: квадрат и число равны корням⁴⁹, - и также по отношению к двум другим. Но они не доказали этого, когда предметы задач суть измеримые количества. Для случая, когда предмет задач есть число, это ясно из трактата "Начала". Я же докажу это и в геометрическом случае.

Остальные шесть видов из двенадцати суть:

1) куб и корни равны || числу; (4а)

2) куб и число равны корням;

3) число и корни равны кубу;

4) куб и квадраты равны числу;

5) куб и число равны квадратам;

6) число и квадраты равны кубу⁵⁰.

Ни один из этих видов не имеется в сочинениях алгебраистов, за исключением отдельного исследования одного из них⁵¹. Я же их исследую и докажу геометрическим способом, но не числовым. Доказательство этих шести видов возможно только при помощи свойств конических сечений.

Что касается сложных четверных уравнений, то их имеется две разновидности: во-первых, те, в которых три степени равны одной степени. Это четыре вида:

1) куб, квадраты и корни равны числу;

2) куб, квадраты и число равны корням;

3) куб, корни и число равны квадратам;

4) куб равен корням, квадратам и числу⁵².

Вторая разновидность содержит те [виды], в которых две степени равны двум степеням. Этих видов три:

1) куб и квадраты равны корням и числу;

2) куб и корни равны квадратам и числу;

3) куб и число равны корням и квадратам⁵³.

Таковы 7 четверных видов. У нас нет другого способа для их исследования, кроме геометрического. Частный случай одного из [этих видов], который я укажу, был нужен одному из наших предшественников⁵⁴. Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений.

Теперь рассмотрим один за другим все эти двадцать пять видов и, если пожелает Аллах, докажем их.

Первый простой вид: корень равен числу. Здесь корень известен поневоле, что одинаково и для числа и для величин.

Второй вид: число равно квадрату. Здесь известен числовой квадрат, равный известному числу. Его корень может быть найден числовым способом только посредством последовательного подбора, а не по закону искусства. Мы не будем по этому вопросу (4б) обращать внимание на то, что говорят || те из мужей этого искусства, которые держатся другого мнения. У индийцев имеются методы нахождения сторон квадратов и ребер кубов, основанные на небольшом последовательном подборе и на знании квадратов девяти цифр, т.е. квадрата одного, двух, трех и т. д., а также произведений одной из них на другую, т.е. произведения двух на три [и т.д.]⁵⁵. Нам принадлежит трактат о доказательстве правильности этих методов и того, что они действительно приводят к цели. Кроме того, мы увеличили число видов, т.е. мы показали, как определять основания квадрато-квадратов, квадрато-кубов, кубо-кубов и так далее сколько угодно, чего раньше не было⁵⁶. Доказательства, которые я даю по этому вопросу, - числовые доказательства, основанные на числовых книгах "Стихий"⁵⁷.

Рис.1 (стр.74)

Геометрическое доказательство второго вида следующее: предположим, что линия АВ дана и равна данному числу и что АС равна единице и перпендикулярна АВ. Дополним плоскую фигуру AD⁵⁸. Известно, что мера плоской фигуры AD есть данное число. Построим квадрат, равный фигуре AD, как показал Евклид в 14-м предложении II книги своего сочинения⁵⁹; пусть это будет квадрат Е. Квадрат Е будет, таким образом, равен данному числу и будет известен, и его сторона также будет известна. Обрати внимание на доказательство, которое дал Евклид. Это и есть искомое.

Всякий раз, когда в этом трактате мы будем говорить: число равно плоской фигуре, мы будем понимать под числом прямоугольную фигуру, одна из сторон которой есть единица, а другая - линия, мера которой равна данному числу, так что каждая доля этой меры равна второй стороне, т.е. той, которую мы приняли за единицу⁶⁰

(5а)

Рис.2 стр.75

Третий вид: число равно кубу. Если предмет задачи - число - будет известен куб этого числа. Нет другого средства найти его ребро, кроме последовательного подбора. Это относится и ко всем числовым степеням, как квадрато-квадрат, квадрато-куб, кубо-куб, о чем мы говорили выше.

В || геометрическом доказательстве предположим, что квадрат AD есть квадрат единицы, т.е. АВ равна BD и каждая из этих двух сторон равна единице. Далее восставим к плоскости AD в точке В перпендикуляр ВС, как это показал Евклид в XI книге его сочинения⁶¹, и сделаем этот перпендикуляр равным данному числу. Дополним тело ABCDEGH⁶². Известно, что мера этого тела равна данному числу. Далее построим куб, равный этому телу. Однако построение этого куба производится только с помощью свойств [конических] сечений. Поэтому мы отложим это до тех пор, пока не приведем предварительных предложений, относящихся к этим свойствам.

Всякий раз, когда мы будем говорить: число равно телу, мы будем понимать под числом тело с параллельными гранями и прямыми углами, имеющее основанием квадрат единицы и высоту, равную данному числу.

Четвертый вид: квадрат равен пяти своим корням. Здесь число корней есть корень из квадрата. Числовое доказательство состоит в том, что корень, умноженный на самого себя, образует квадрат и что тот же корень, умноженный на пять, равным образом образует квадрат, поэтому он равен пяти. Геометрическое доказательство аналогично: предполагают, что плоская фигура [имеющая форму] квадрата, равна пяти своим сторонам.

Пятый вид: вещи равны кубу. Если эта задача числовая, очевидно, что этот вид равносилен виду: число равно квадрату. Например, в силу указанной выше пропорции [сказать, что] четыре корня равны кубу - все равно, что сказать: число четыре равно квадрату.

Рис.3 стр.76

В геометрическом доказательстве предположим, что мера куба ABCDE равна четырем его ребрам, и пусть его ребро будет АВ. Тогда его ребро АВ, умноженное на четыре, образует куб ABCDE, и в то же время его ребро, умноженное на свой квадрат, т.е. квадрат АС, образует куб: поэтому квадрат АС равен четырем.

Шестой вид: квадраты равны кубу. Это || то же, что число равно корню.

Числовое доказательство состоит в том, что число относится к корню как квадраты к кубу, как это показано в VIII [книге] "Начал"⁶³.

В геометрическом доказательстве предположим, что куб ABCDE равен числу своих квадратов, например равен двум квадратам. Квадрат его ребра есть АС. Поэтому плоская фигура АС, умноженная на два, образует куб ABCDE, и в то же время умноженная на BD, т.е. на свою сторону, она образует куб ABCDE. Поэтому BD, т.е. ребро куба, равно двум. Это и есть искомое.

Всякий раз, когда мы будем говорить в этом трактате: квадраты куба, мы будем понимать под этим выражением квадраты его ребер.

Изложив простые виды, рассмотрим теперь три первых из двенадцати тройных видов.

Первый вид из них: квадрат и десять корней равны числу тридцать девять. Умножь половину [числа] корней на себя. Прибавь это произведение к числу и вычти из корня из этой суммы половину [числа] корней. Остаток есть корень квадрата⁶⁴.

Числовая задача нуждается в двух условиях: во-первых, число корней должно быть четным, чтобы у него была половина, во-вторых, чтобы квадрат половины [числа] корней и число вместе образовали бы квадратное число. В противном случае эта задача в числовом случае невозможна. В геометрическом случае здесь нет невозможных задач.

Рис.4 стр.77

Числовое доказательство этого просто, если представить себе геометрическое доказательство. Вот это [геометрическое доказательство]: предположим, что квадрат АС вместе с десятью своими корнями равен числу тридцать девять, а десять его корней являются плоской фигурой СЕ. Поэтому линия DE равна десяти. Разделим ее пополам в точке G. Тогда, так как линия DE разделена пополам в точке G и к ней прибавлена в ее направлении АD, произведение ЕА на АD, равное плоской фигуре BE⁶⁵, вместе с квадратом DG равно квадрату GA⁶⁶. Но квадрат DG, являющийся половиной [числа] корней, известен, и плоская фигура BE, || являющаяся данным числом, также известна. Поэтому [квадрат] GA известен и линия GA известна. Тогда мы отнимаем от нее GD, и остаток АD известен⁶⁷.

рис.5 стр.77

Другое доказательство этого. Предположим, что ABCD - квадрат. Продолжим ВА до Е и сделаем ЕА равной четверти [числа] корней, т.е. двум с половиной. Продолжим DА до G, сделав GA равной четверти [числа] корней. Продолжим таким же образом линии изо всех углов квадрата и дополним плоскую фигуру HF. Она будет квадратом, так как GE - квадрат, АС - квадрат и СЕ - квадрат, как доказано в VI [книге "Начал"]⁶⁸. Каждый из четырех квадратов в углах большого квадрата равен квадрату двух с половиной, т.е. их сумма равна двадцати пяти или квадрату половины [числа] корней. Плоская фигура GB равна двум с половиной корня квадрата АС, так как GA равна двум с половиной. Поэтому эти четыре фигуры вместе равны десяти корням квадрата АС. Но, по предположению, квадрат АС вместе с десятью его корнями равен числу 39. Поэтому квадрат HF равен 64. Берется корень из этого и отнимается от него 5. Остается АВ⁶⁹.

Предположим еще, что дана линия АВ, равная 10, и ищется квадрат, который, будучи сложен с произведением своей стороны на АВ, равнялся бы данному числу. Предположим, что данное число есть плоская фигура Е с параллельными сторонами и прямыми углами, как мы говорили выше. Приложим к линии АВ плоскую фигуру с параллельными сторонами, равную фигуре Е с избытком в виде квадрата, как это показал Евклид в VI [книге] "Начал"⁷⁰. Пусть это будет плоская фигура BD, а избыточный квадрат будет AD; сторона АС этого квадрата будет известна, как это показано в "Данных"⁷¹.

Рис.6 стр.78

Второй вид из них: квадрат и число равны корням. В этом (6б) случае необходимо, чтобы число не было бы больше || квадрата половины [числа] корней, в противном случае задача невозможна. Когда число равно квадрату половины [числа] корней, половина [числа] корней сама равна корню квадрата. Когда число меньше, отнимают его от квадрата половины [числа] корней, берут корень из остатка и складывают с половиной [числа] корней или отнимают от нее. Сумма при сложении и остаток при вычитании есть корень квадрата⁷².

Числовое доказательство этого представляется его геометрическим доказательством. Предположим, что к квадрату ABCD приложена [плоская фигура] ED, являющаяся числом со стороны AD. Поэтому плоская фигура ЕС равна, например, 10 сторонам⁷³ квадрата АС и, следовательно, ЕВ равна 10. В первом случае АВ равна половине ЕВ, во втором больше ее половины, а в третьем меньше ее половины. В первом случае АВ равна 5, а во втором и третьем случаях разделим ЕВ в точке G таким образом, что линия ЕВ разделена в точке G пополам, а в точке А - на две неравные части. Поэтому плоская фигура на ЕА и АВ вместе с квадратом GA равна квадрату GB, как это доказано во II [книге] "Стихий"⁷⁴. Плоская фигура на ЕА и АВ, равная данному числу, известна. Поэтому, когда ее отнимают от квадрата [линии] GB, являющейся половиной [числа] корней, в остатке получается известный квадрат GA. В третьем случае, отнимая GA от GB, а во втором случае прибавляя ее к ней, получают в виде [суммы] или разности АВ. Это и есть искомое.

Рис.7 стр.79

Если хочешь, можешь доказать это и другими способами, но мы ограничимся этим, чтобы избежать многословия. Предположим, что данная линия АВ равна десяти и требуется отнять от нее такую линию, что, если умножить ее на АВ, произведение будет равно квадрату этой линии вместе с другой плоской фигурой, не большей квадрата половины АВ, т.е. вместе с данным числом, являющимся плоской фигурой Е. Таким образом, мы хотим отнять от АВ такую линию, квадрат || которой вместе с фигурой Е (7а) был бы равен произведению АВ на эту линию. Поэтому приложим к известной линии АВ плоскую фигуру, равную известной фигуре [Е] с недостатком в виде квадрата, что возможно, так как фигура Е не больше, чем квадрат половины АВ, как это показал Евклид в VI [книге] "Стихий"⁷⁵. Пусть это будет фигура AG, а недостающий квадрат - фигура CD. Тогда сторона СВ будет известна, как это доказано в "Данных"⁷⁶. Это и есть то, что мы хотели доказать.

Рис.8 стр.79

Этим показано, что у этого вида имеются различные случаи⁷⁷, среди которых имеется невозможный⁷⁸. Ты можешь узнать условия его разрешимости в числах, подобно тому, как мы объяснили в случае первого вида.

Третий вид: число и корни равны квадрату. Прибавляют квадрат половины [числа] корней к числу, берут корень из этой суммы и прибавляют половину [числа] корней, и то, что получается, есть корень квадрата⁷⁹.

Доказательство. Пусть квадрат АВСН равен пяти своим корням и числу шесть. Отнимем от него число, являющееся плоской фигурой AD. Остается фигура ЕС, т.е. корни, число которых пять. Поэтому линия ЕВ равна пяти. Разделим ее пополам в точке G. Таким образом, линия ЕВ будет разделена на две равные части в точке G и в то же время к ней прибавлена ЕА в ее направлении. Тогда плоская фигура на ВА и АЕ, т.е. [известная] фигура AD, вместе с известным квадратом EG равна квадрату GA⁸⁰. Поэтому квадрат GA и [сама] GA известны. Но GB известна. Следовательно, и АВ известна.

Рис.9 стр.80

Для этого имеются доказательства другими способами; потрудись над этим сам.

Предположим также, что линия BE равна [числу] корней и что требуется найти такой квадрат и его сторону, чтобы он был равен данному числу его сторон вместе с данным числом. Пусть данное число есть плоская фигура [F₁], а Н - квадрат, равный этой фигуре. Построим квадрат, равный квадрату Н вместе с квадратом [линии] EK, равной половине числа сторон. Пусть это будет квадрат G. Сделаем KC равной стороне G и дополним квадрат ABCD. Квадрат ABCD и есть искомое.

Рис.10 стр.80

(7б) Этим показано, что в этом || третьем виде, так же как и в первом виде, нет невозможного в отличие от второго вида, в котором имеется как невозможное, так и разнообразие случаев, чего нет в этих двух видах.

Докажем теперь, что вторые три из этих видов пропорциональны первым трем видам.

Первый вид из них: куб и квадраты равны корням⁸¹. Построим куб ABCDE, продолжим AB в ее направлении до G, сделаем AG равной числу квадратов и дополним тело AGHFCD на продолжении куба АЕ, как это делается обычно. Тело AF будет равно числу квадратов, и тело BF, равное кубу вместе с данным числом квадратов, будет равно данному числу корней. Построим [плоскую фигуру] К, равную данному числу корней: корень - это ребро куба, т.е. AD. Поэтому плоская фигура К, умноженная на AD, будет равна данному числу ребер. Плоская фигура НВ, умноженная на AD, образует ее куб вместе с данным числом квадратов. Но два тела - тело BF и тело, построенное на К и имеющее высотой АD, - равны. Следовательно, их основания будут обратно пропорциональны их высотам⁸², и так как их высоты равны, их основания необходимо также равны. Но основание НВ равно квадрату СВ вместе с [плоской фигурой] НА, которая равна такому числу корней, каково данное число квадратов. Поэтому K, являющаяся данным числом корней, равна квадрату и такому числу корней, каково данное число квадратов. Это и есть то, что мы хотели [доказать].

Рис.11 стр.81

Вот пример этого рода: куб и три квадрата равны десяти корням; это то же, что квадрат и три корня равны числу десять.

Второй вид из них: куб вместе с двумя корнями равен трем квадратам. Это то же, что квадрат || вместе с двумя равен трем корням. (8a)

Рис.12 стр.81

Доказательство. Построим куб ABCDE, который вместе с двумя его корнями равен трем квадратам. Построим далее квадрат, равный H, и [линию] К, равную трем. Тогда произведение H на К равно трем квадратам куба АЕ. Построим на AС плоскую фигуру, равную двум, и дополним тело AGCFD; оно будет равно числу корней. Но когда умножают линию GB на квадрат AC, получают тело BF; но тело AF равно числу ребер; следовательно, тело BF будет равно кубу [c] тем, что равно числу его ребер. Поэтому тело BF будет равно числу его квадратов. Линия GB, подобно тому как это показано в предыдущем предложении, равна трем. Плоская фигура ВL равна квадрату и числу два. Следовательно, квадрат и число два равны трем корням, так как фигура ВL есть произведение АВ на три. Это и есть то, что мы хотели доказать.

Третий вид из них: куб равен квадрату и трем корням. Это то же, что: квадрат равен корню и числу три.

Рис.13 стр.82

Построим куб АВСDЕ, равный своему квадрату с тремя своими ребрами. Отнимем от линии АВ, являющейся ребром куба, линию АG, равную числу квадратов, т.е. единицу, и дополним тело АGFНС; тогда тело АGFНС будет равно данному числу квадратов. Поэтому остается тело GЕ, равное данному числу ребер. Одно из этих тел относится к другому, как основание [GС к основанию] GL, как это было показано в XI [книге] "Начал", так как их высоты равны. Но плоская фигура GС равна одному (8б) корню || квадрата CВ, и фигура GL есть число корней, т.е. три. Поэтому квадрат СВ будет равен одному корню с числом три.

Это и есть то, что мы хотели [доказать].

Пока ты не понял этих доказательств, проведенных этим способом, искусство [алгебры] не будет [для тебя] научным, хотя этот метод доказательства и содержит некоторые трудности.

Теперь, после изложения тех видов [уравнений], которые могут быть доказаны при помощи свойств круга, т.е. при помощи книги Евклида, займемся рассмотрением тех видов, доказательство которых может быть дано только при помощи конических сечений. Это 14 видов: [один простой] число равно кубу, 6 оставшихся тройных и 7 четверных.

Предпошлем этому рассмотрению несколько предложений, основанных на сочинении "Конические сечения", для того чтобы подготовить изучающего, а также для того чтобы этот наш трактат не нуждался в более чем в трех указанных сочинениях, а именно в двух сочинениях Евклида "Начала" и "Данные" и в двух книгах сочинения "Конические сечения".

Мы хотим найти две линии между двумя другими линиями таким образом, чтобы эти четыре линии были пропорциональны⁸³. Пусть АВ и ВС - две прямые линии; расположим их так, чтобы они заключали прямой угол В. Построим параболу⁸⁴, вершина которой⁸⁵ - точка В, а стрела⁸⁶ и прямая сторона⁸⁷ - ВС. Это будет парабола BDE, известная по положению, так как ее вершина и стрела известны по положению, а ее прямая сторона известна по величине⁸⁸. Она касается линии ВА, так как угол В прямой и, следовательно, равен координатному углу, как это доказано в 33-м предложении книги "Конических сечений"⁸⁹. Подобным же образом мы построим вторую параболу, вершина которой точка В, а стрела и прямая сторона - АВ, которая будет параболой BDG, как это показал Аполлоний в 56-м предложении ( 9а) I книги⁹⁰. || Парабола BDG будет касаться линии ВС. Поэтому эти две параболы необходимо пересекутся. Пусть они пересекаются в точке D. Тогда точка D будет известна по положению, так как эти две параболы известны по положению. Опустим из точки D два перпендикуляра DH, DF на ВС, АВ. Они будут известны по величине, как это показано в "Данных"⁹¹. Я утверждаю, что четыре линии АВ, ВН, BF, ВС пропорциональны.

Рис.14 стр.83

Доказательство. Квадрат HD равен произведению ВН на ВС, так как линия DH - координатная линия параболы BDE⁹². Следовательно, ВС относится к HD, равной BF, как BF к НВ. Линия DF - координатная линия параболы ВDG.

Поэтому квадрат DF, равной ВН, равен произведению ВА на BF. Следовательно, BF относится к ВН, как ВН к ВА. Поэтому эти четыре линии непрерывно пропорциональны и линия DH известна по величине, так как она проведена из точки, известной по положению, к линии, известной по положению, под углом, известным по величине. Подобным же образом DF также известна по величине. Отсюда следует, что две линии ВН, BF известны по величине. Но они средние пропорциональные между двумя линиями АВ, ВС, т.е. АВ относится к ВН, как ВН к BF и как BF к ВС Это и есть то, что мы хотели доказать⁹³.

Рис.15 стр.83

Даны квадрат ABCD, являющийся основанием тела ABCDE с параллельными гранями и прямыми углами, и квадрат МН, и мы хотим построить на основании МН тело с параллельными гранями и прямыми углами, равное данному телу ABCDE. Пусть АВ относится к MG, как MG к К, и АВ относится к К, как GF к BD. Проведем GF перпендикулярно плоской фигуре МН в точке G и дополним тело MGFH. Я утверждаю, что это тело равно (9б) данному || телу.

Доказательство. Квадрат AС относится к квадрату МH, как АВ к К. Поэтому квадрат АС относится к квадрату EGH, как GF, высота [тела] MFH, к DE, высоте тела BE⁹⁴. Поэтому эти два тела равны, так как их основания обратно пропорциональны их высотам, как это показано в XI [книге] "Начал"⁹⁵.

Всякий раз, когда мы будем говорить "тело", это будет обозначать тело с параллельными гранями и прямыми углами, так же как всякий раз, когда мы говорим "плоская фигура", это обозначает плоскую фигуру с параллельными сторонами и прямыми углами.

[Дано] тело ABCD, основание АС которого - квадрат, и мы хотим построить тело, основание которого является квадратом, а высота равна данной [линии] EF и которое равно данному телу ACD. Пусть EF относится к BD, как АВ к K, и возьмем между АВ и К среднюю пропорциональную линию EL. Проведем EL перпендикулярно [линии] EF и дополним [плоскую фигуру]. Далее проведем ЕН перпендикулярно [плоской фигуре] FL и равную EL и дополним тело HEF[L]. Я утверждаю, что тело F, основание которого - квадрат HL, а высота - данная [линия] EF, равно данному телу D.

Рис.16 стр.84

Доказательство. Квадрат АС относится к квадрату HL, как АВ к K. Поэтому квадрат АС относится к квадрату HL, как EF к К⁹⁶. Так как основания этих двух тел обратно пропорциональны высотам, эти тела равны. Это то, что мы хотели доказать.

После этого перейдем к третьему виду из простых: куб равен числу.(10a) || Положим число равным телу ABCD, основание которого квадрат единицы, как мы об этом говорили, так что его длина равна данному числу. Мы хотим построить равный ему куб.

Рис.17 стр.85

Возьмем между двумя линиями АВ, BD две средние пропорциональные. Тогда, как мы показали, они будут известны по величине⁹⁷. Это будут [линии] Е, G. Проведем НF, равную линии Е, и построим на ней куб FHKL. Тогда этот куб и его ребро будут известны по величине. Я утверждаю, что этот куб равен телу D.

Рис.18 стр.85

Доказательство. Квадрат АС находится с квадратом FK в двойном отношении АВ к НК, а двойное отношение АВ к НК равно отношению АВ к G, первой к третьей из четырех линий и, следовательно, равно отношению НК, являющейся второй, к BD, являющейся четвертой⁹⁸. Поэтому основания [FK, АС] куба L и тела D обратно пропорциональны их высотам [НК, BD]. Отсюда следует, что эти тела равны. Это и есть то, что мы хотели доказать.

После этого займемся шестью оставшимися тройными видами. Первый вид: куб и его ребра равны числу. Положим [линию] АВ равной стороне квадрата, равного числу корней, тем самым она дана.

Построим способом, указанным нами выше⁹⁹, тело, основание которого равно квадрату АВ, а высота равна ВС и которое равно данному числу, и сделаем ВС перпендикулярной АВ. Известно, что у нас понимается под телесным числом: это тело, основание которого - квадрат единицы, а высота равна данному числу, т.е. линии, отношение которой к стороне основания тела равно отношению данного числа к единице. Продолжим АВ до G и построим параболу, вершина которой есть точка В, стрела - (10б) BG, а прямая сторона-АВ. Это будет || парабола HBD. Она известна по положению, как мы это показали выше¹⁰⁰, и касается линии ВС. Построим на ВС полукруг: он необходимо пересечет параболу. Пусть он пересекает ее в D. Опустим из D, которая, как мы знаем, будет известна по положению, два перпендикуляра DG, DE на BG, ВС. Они будут известны по положению и величине. Так как линия DG - координатная линия параболы, ее квадрат равен произведению BG на АВ; следовательно, АВ будет относиться к DG, равной BE, как BE к ED, равной СВ. Но BE относится к ED, как ED к ЕС. Поэтому четыре линии АВ, BE, ED, ЕС пропорциональны и квадрат АВ, являющейся первой, относится к квадрату BE, являющейся второй, как АЕ, являющаяся второй, к ЕС, являющейся четвертой. Тогда тело, основание которого есть квадрат АВ, а высота ЕС, равно кубу BE, так как их высоты обратно пропорциональны их основаниям. Прибавим к ним обоим тело, основание которого есть квадрат АВ, а высота - ЕВ. Куб BE вместе с этим телом будет [равен телу], основание которого есть квадрат АВ, а высота - ЕВ, которое мы положили равным данному числу. Но тело, основание которого есть квадрат АВ, равный числу корней, а высота - ЕВ, являющаяся ребром куба, будет равно данному числу ребер куба ЕВ. Следовательно, куб ЕВ вместе с данным числом его ребер равен данному числу¹⁰¹. Это и есть искомое.

У этого вида нет многообразия случаев и невозможных задач¹⁰². Он был решен при помощи свойств круга и параболы.

Второй вид из шести тройных видов: куб и число равны ребрам. Предположим, что [линия] АВ есть сторона квадрата, равного (11а) числу || корней, и построим равное данному числу тело, основание которого есть квадрат АВ. Пусть высота этого тела будет ВС и пусть она будет перпендикулярна АВ. Построим параболу, вершина которой - точка В, стрела имеет направление АВ и прямая сторона есть АВ. Это будет [парабола] АВ, известная по положению. Далее построим гиперболу¹⁰³, вершина которой - точка С, стрела имеет направление ВС, а обе стороны, прямая и поперечная¹⁰⁴, равны ВС. Это будет [гипербола] ECG. Она будет известна по положению, как это показал Аполлоний в 58-м предложении I книги¹⁰⁵. Эти два конических сечения или пересекаются, или не пересекаются. Если они не пересекаются, задача невозможна. Но если они пересекаются, касаясь в одной точке или пересекаясь в двух точках, эта точка будет известна по положению. Пусть они пересекаются в точке Е. Опустим из Е два перпендикляра ЕF, ЕН на линии BF, ВН. Эти два перпендикуляра необходимо известны по положению и величине. Линия EF есть координатная линия [гиперболы], и, следовательно, квадрат EF относится к произведению BF на FC, как прямая сторона к поперечной стороне, как это показал Аполлоний в 20-м предложении 1 книги¹⁰⁶. Но [прямая] и поперечная стороны равны, поэтому квадрат EF будет равен произведению BF на FC. Отсюда следует, что BF относится к FE, как FE к FC. С другой стороны, квадрат ЕН, равной BF, равен произведению ВН на ВА, как это доказано в 12-м предложении I книги сочинения "Конические сечения"¹⁰⁷, следовательно, АВ относится к BF. как BF к ВН и как ВН, равная EF, к FC. Поэтому эти четыре линии пропорциональны и квадрат АВ, являющейся первой, относится к квадрату BF, являющейся второй, как BF, являющаяся второй, к FC, являющейся четвертой. Таким образом, куб BF равен телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота - CF. Прибавим к ним обоим тело, основание которого есть квадрат АВ а высота - ВС, которое мы сделали равным данному числу. Тогда куб BF вместе с данным числом будет равен телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота - BF, т.е. число ребер куба¹⁰⁸.

Рис.19 стр.87

Рис.20 стр.87

|| Этим показано, что у этого вида (11б) имеется многообразие случаев, а среди задач этого вида имеются невозможные¹⁰⁹. Он был решен при помощи свойств двух конических сечений - параболы и гиперболы.

Третий вид: куб равен ребрам и числу. Положим [линию] АВ равной стороне квадрата, равного числу ребер, и построим равное данному числу тело, основание которого есть квадрат АВ. Пусть высота этого тела будет ВС и пусть она будет перпендикулярна АВ. Затем продолжим АВ и ВС в их направлениях и построим параболу, вершина которой - точка В, стрела имеет направление АВ, а прямая сторона которой есть АВ. Это будет [парабола] DBE; она будет известна по положению и будет касаться линии ВН в соответствии с тем, что показал Аполлоний в 33-м предложении I книги¹¹⁰. Затем построим другое коническое сечение, гиперболу, вершина которой - точка В, стрела имеет направление ВС, а обе стороны, прямая и поперечная, равны ВС. Это будет гипербола GBE, Она будет известна по положению и будет касаться линии АВ. Эти два конических сечения необходимо пересекутся. Пусть они пересекаются в точке Е. Эта точка также известна по положению. Опустим из точки Е два перпендикуляра EF, ЕН. Они будут известны и по положению и по величине. Линия ЕН - координатная линия [гиперболы], и, как показано выше, ее квадрат будет равен произведению СН и ВН. Поэтому СН будет относиться к ЕН, как ЕН к НВ. Но ЕН, равная BF, относится к НВ, равной EF, которая есть ордината другого конического сечения, как EF к АВ, являющейся прямой стороной параболы. Эти четыре линии пропорциональны: АВ относится к НВ, как НВ к BF и как BF к СН, и квадрат АВ, являющейся первой, относится к квадрату НВ, являющейся второй, как НВ, являющаяся второй, к СН, являющейся || четвертой. Следовательно, куб НВ будет равен телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота - СН, так как их высоты обратно пропорциональны их основаниям. Но это тело равно телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота ВС, которое мы сделали равным данному числу вместе с телом, основание которого есть квадрат АВ, а высота ВН, равная данному числу ребер куба ВН. Поэтому куб ВН равен данному числу вместе с данным числом его ребер. Это и есть искомое¹¹¹.

Рис.21 стр.88

Этим показано, что у этого вида нет многообразия случаев и что в его задачах нет ничего невозможного¹¹². Он был решен при помощи свойств параболы и гиперболы.

Четвертый вид из шести тройных видов: куб и квадраты равны числу. Положим линию АВ равной числу квадратов и построим куб, равный данному числу. Пусть ребро этого куба будет Н. Продолжим АВ прямо и сделаем BF равной Н. Дополним квадрат BFDC и проведем через точку D гиперболу, которую не встречают [линии] ВС и BF¹¹³. Это будет гипербола EDN, как это известно в силу 4 и 5-го предложений II книги и 59-го предложения I книги¹¹⁴. Гипербола EDN будет известна по положению, так как точка D известна по положению и линии ВС, BF известны по положению. Построим параболу, вершина которой - точка А, стрела - AF, а прямая сторона - ВС. Это будет парабола АК. Тогда парабола АК известна по положению, и эти два конических сечения [необходимо] пересекутся. Пусть они пересекаются в точке Е. Тогда Е будет известна по положению. Опустим из этой точки перпендикуляры EG, EL на линии AF, ВС. Они будут известны по положению и величине. Я утверждаю, что невозможно, || чтобы парабола AEK пересекала гиперболу (12б) EDN в такой точке, что перпендикуляр, опущенный из этой точки на линию AF, падает на [точку] F или за ней. Пусть, если возможно, он упадет на F; тогда его квадрат будет равен произведению AF на FB, равную ВС, но этот перпендикуляр равен перпендикуляру DF, поэтому квадрат FD будет равен произведению AF на FB, а с другой стороны, он будет равен произведению BF на себя, что нелепо; поэтому перпендикуляр не может упасть на F. И точно так же он не может упасть за F, так как тогда этот перпендикуляр был бы меньше FD, что еще более нелепо. Поэтому перпендикуляр необходимо упадет на точку между А и F, как это имеет место для EG.

Квадрат EG равен произведению AG на ВС, поэтому AG относится к EG, как EG к ВС, и плоская фигура ЕВ равна фигуре DB, как это доказано в 8-м предложении II книги "Конических сечений"¹¹⁵, и EG относится к ВС, как ВС к BG. Поэтому четыре линии AG, EG, ВС, BG пропорциональны. Следовательно, квадрат BG, являющейся четвертой, относится к квадрату ВС, являющейся третьей, как ВС, являющаяся третьей, к AG, являющейся первой. Куб ВС, который мы сделали равным данному числу, будет равен телу, основание которого есть квадрат BG, а высота -AG. Но это тело, основание которого есть квадрат BG, а высота - AG, равно кубу BG вместе с телом, основание которого есть квадрат BG, а высота - АВ. Но тело, основание которого есть [квадрат BG], а высота - АВ, равно данному числу квадратов. Следовательно, куб вместе с данным числом квадратов равен данному числу. Это и есть то, что мы хотели доказать¹¹⁶.

В этом виде нет многообразия случаев и среди его задач нет невозможных¹¹⁷. Он был решен при помощи свойств параболы и гиперболы.

(13а) || Пятый вид из шести остававшихся тройных видов: куб и число равны квадратам. Предположим, что [линия] АС равна числу квадратов, и построим куб, равный данному числу. Пусть ребро этого куба будет H. Линия H может быть либо равна линии АС, либо же быть больше ее или меньше. Если H равна АС, задача невозможна, так как тогда ребро искомого куба будет необходимо либо равно H, либо же меньше или больше. Если они равны, произведение AС на квадрат этого ребра будет равно кубу H, тогда это число будет равно числу квадратов без того, чтобы добавить к нему куб. Если искомое ребро меньше H, произведение АС на квадрат этого ребра будет меньше данного числа, и тогда число квадратов будет меньше данного [числа] без того, чтобы что-нибудь к нему добавить, и, наконец, если ребро больше H, его куб будет больше произведения AС на его квадрат, без того, чтобы добавить к нему число.

Рис.22 стр.90

Если, далее, H больше АС, эти три случая тем более невозможны. Поэтому необходимо, чтобы H была меньше АС, иначе задача будет невозможной.

Поэтому отложим на AС [линию] ВС, равную H. Линия ВС будет либо равна АВ, либо же больше ее или меньше. Пусть она на первом чертеже равна, на втором - больше ее, а на третьем - меньше. Дополним на этих трех чертежах квадрат DС и проведем через точку D гиперболу, которую не встречают [линии] АС, СЕ. Это будет на первом чертеже DG, на втором и третьем - DF. Построим затем параболу, вершина которой - точка A, стрела - AС, а прямая сторона - ВС. Это будет на первом чертеже AF, на втором - AL, а на третьем - AК. Эти два конических сечения будут известны по положению. На первом чертеже парабола пройдет через точку D, так как квадрат DB равен произведению АВ на ВС и D расположена на дуге параболы. Она пересечет [гиперболу] еще в другой точке, что ты можешь определить при небольшом размышлении. На втором чертеже точка D будет расположена вне параболы, так как квадрат DB здесь будет больше произведения АВ на ВС. Поэтому, если эти два конических сечения встретятся в другой точке, || касаясь или пересекаясь, перпендикуляр, (13б) опущенный из этой точки [на АС], необходимо упадет между точками А и В, и задача возможна; в противном случае она невозможна. На это касание или пересечение не обратил внимания досточтимый геометр Абу-л-Джуд¹¹⁸, который решил, что если ВС больше АВ, то задача невозможна, и упустил этот случай. Этот вид есть тот из шести видов, в познании которого оказался бессильным ал-Махани. На третьем чертеже точка D расположена внутри параболы, так что два конических сечения пересекаются в двух точках.

Во всех этих случаях опустим из точки встречи перпендикуляр на АВ. Пусть это будет на втором чертеже FG. Точно так же опустим из этой точки другой перпендикуляр на СЕ; это будет FK. Плоская фигура FC будет равна плоской фигуре DC, и поэтому GC будет относиться к ВС, как ВС и FG. Но FG - координатная линия параболы AFL и ее квадрат равен произведению AG на ВС; поэтому ВС относится к FG, как FG к GA. Тогда эти четыре линии пропорциональны, GC относится к СВ, как СВ к FG и как FG к GA. Поэтому квадрат GC, являющейся первой, будет относиться к квадрату ВС, являющейся второй, как ВС, являющаяся второй, к GA, являющейся четвертой, и, следовательно, куб ВС, равный данному числу, будет равен телу, основание которого есть квадрат GC, а высота - GA. Прибавим к обоим куб GC. Тогда куб GC вместе с данным числом будет равен телу, основание которого есть квадрат GC, а высота АС и которое равно данному числу квадратов. Это и есть искомое¹¹⁹. Аналогичны этому два остальных случая, причем в третьем случае необходимо получаются два куба, так как каждый из перпендикуляров отсечет от СА ребро куба, как мы это только что доказали.

Этим показано, что у этого вида имеется || многообразие случаев и [среди его задач] имеются невозможные¹²⁰. Он был решен при помощи свойств параболы и гиперболы.

Шестой вид из шести остававшихся тройных видов: куб равен квадратам и числу.

Предположим, что линия АВ равна числу квадратов, и построим равное данному числу тело, высота которого есть АВ, а основание - квадрат. Пусть сторона этого основания будет ВС и пусть она перпендикулярна АВ. Дополним плоскую фигуру DB и проведем через точку С известную по положению гиперболу, которую не встречают [линии] АВ, AD. Это будет гипербола CEG. Построим другое коническое сечение, параболу, вершина которой - точка В, стрела имеет направление АВ, а прямая сторона - АВ. Это будет [парабола] ВЕН. Эти два конических сечения необходимо пересекаются. Пусть они пересекаются в точке Е. Тогда Е известна по положению. Опустим из этой точки два перпендикуляра EF, ЕК на АВ, AD. Плоская фигура ЕА будет равна [плоской фигуре] СА, и АК будет относиться к ВС, как АВ к ЕК. Поэтому их квадраты также будут пропорциональны. Но квадрат ЕК равен произведению КВ на АВ, так как ЕК есть координатная линия параболы ВЕН, и, следовательно, квадрат АВ будет относиться к квадрату ЕК, как АВ к ВК. Поэтому || квадрат ВС будет относиться к квадрату АК, как ВК к АВ, и тело, основание которого есть квадрат ВС, а высота - АВ, равно телу, основание которого есть квадрат АК, а высота - КВ, так как основания и высоты этих тел обратно пропорциональны. Добавим к ним обоим тело, основание которого есть квадрат АК, а высота - АВ, тогда куб АК будет равен телу, основание которого есть квадрат ВС, а высота - АВ, и которое мы сделали равным данному числу вместе с телом, основание которого есть квадрат АК, а высота - АВ и которое равно данному числу квадратов. Таким образом, куб АВ будет равен данному числу квадратов вместе с данным числом¹²¹.

(14б)

Рис.23 стр.92

В этом виде нет многообразия случаев и среди его задач нет невозможных¹²². Он был решен при помощи свойств параболы и гиперболы.

Изложив тройные виды, перейдем к рассмотрению [четырех] четверных видов, каждый из которых состоит в равенстве трех [членов] одному [члену]. Первый вид из четырех четверных: куб, квадраты и ребра равны числу.

Положим [линию] BE равной стороне квадрата, равного данному числу ребер, и построим тело, основание которого есть квадрат BE и которое равно данному числу. Пусть его высота будет ВС и пусть она перпендикулярна BE. Поместим BD, равную данному числу квадратов, на продолжении ВС и построим на DC как на диаметре полукруг DGC. Дополним плоскую фигуру ВК и проведем через точку С¹²³ гиперболу, которую не встречают линии BE, ЕК. Она пересечет круг в точке С, так как она пересекает СК, касательную к кругу; тогда гипербола необходимо пересечет круг во второй точке. Пусть они пересекаются в G. Тогда G будет известна по положению, так как круг и гипербола известны по положению. Опустим из G || два перпендикуляра GF на GA.

(15а)

Рис.24 стр.93

Плоская фигура GE будет равна плоской фигуре BK. Если отнять от обеих частей общую часть EL, останется плоская фигура GB, равная плоской фигуре LK. Поэтому GL будет относиться к LC, как ЕВ к BL, так как ЕВ равно FL, и их квадраты также будут пропорциональны. Но квадрат GL относится к квадрату LC, как DL[к LC], по причине [свойств] круга. Поэтому квадрат ЕВ будет относиться к квадрату BL, как DL к LC, и тело, основание которого есть квадрат ЕВ, а высота - LC, равно телу, основание которого есть квадрат BL, а высота - DL. Но это последнее тело равно кубу BL вместе с телом, основание которого есть квадрат BL, а высота - BD и которое равно данному числу квадратов. Добавим к обоим тело, основание которого есть квадрат BE, а высота - BL и которое равно числу корней. Тогда тело, имеющее основанием квадрат ЕВ, а высотой ВС, и которое мы сделали равным данному числу, равно кубу BL вместе с данным числом его ребер и данным числом его квадратов. Это и есть то, что мы хотели доказать¹²⁴.

Рис.25 стр.93

В этом виде нет многообразия случаев и среди его задач нет невозможных¹²⁵. Он был решен при помощи свойств гиперболы и круга.

Второй вид из четырех четверных видов: куб, квадраты и число равны ребрам.

Положим [линию] АВ равной стороне квадрата, равного числу ребер, а ВС равной данному числу квадратов и перпендикулярной АВ. Построим тело, основание которого есть квадрат АВ, и которое равно данному числу, и пусть его высота (15б) BD || находится на продолжении ВС. Дополнив плоскую фигуру BE, проведем через точку D гиперболу, которою не встречают [линии] АВ, АЕ. Это будет гипербола GDH. Построим затем другую гиперболу, вершина которой - точка D, стрела - на продолжении BD, а прямая и поперечная стороны равны каждая DC. Пусть это будет [гипербола] FDH. Эта гипербола необходимо пересечет первую в D. Тогда, если возможно, чтобы эти две гиперболы встретились еще в одной точке, задача возможна, в противном случае она невозможна. [Эта встреча в виде касания или пересечения в двух точках основана на IV книге "Конических сечений", но мы обещали ссылаться только на две книги этого сочинения. Во всяком случае это нисколько не вредит [нам], так как, если только эти две гиперболы встречаются, то безразлично, происходит ли это при касании или пересечении. Пойми это]¹²⁶. Таким образом, встреча может быть касанием или пересечением; при этом если одна из этих гипербол пересекает другую в точке, отличной от D, то она необходимо пересекает ее в двух точках.

Во всяком случае опустим из точки пересечения или встречи, какой бы она ни была, - пусть это будет точка Н, - два перпендикуляра НМ, KHL. Они будут известны по положению и величине, так как точка Н известна по положению. Тогда плоская фигура АН равна плоской фигуре AD. Отнимем их общую часть ЕМ, остается MD, которая равна ЕН. Затем прибавим к обеим DH; тогда ML равно EL, и стороны, так же как квадраты сторон этих поверхностей, будут обратно пропорциональны. Поэтому квадрат АВ будет относиться к квадрату BL, как квадрат НL к квадрату LD; но квадрат HL относится к квадрату LD, как CL к LD, как мы это уже показывали несколько раз. Поэтому квадрат АВ будет относиться к квадрату BL, как CL к LD, и тело, высота которого есть LD, а основание - квадрат АВ, равно телу, основание которого есть квадрат BL, а высота LС. Но это последнее тело равно кубу BL вместе с телом, основание которого есть квадрат BL, а высота ВС и которое равно данному числу квадратов. Добавим к обоим тело, основание которого есть квадрат АВ, а высота BD и которое мы сделали равным данному числу. Таким образом, куб BL вместе с данным числом квадратов и данным числом будет равен телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота - BL, которое равно данному числу ребер куба BL. Это и есть то, что мы хотели доказать¹²⁷.

Тем самым показано, что у этого вида имеется многообразие случаев: [иногда] в его задачах находят два ребра двух кубов, а часто в его задачах имеется || невозможное¹²⁸. Этот вид был решен при помощи свойств двух гипербол. Это то, что мы хотели показать. (16a)

Третий вид из четырех четверных: куб, ребра и число равны квадратам.

Рис.26 стр.95

Предположим, что линия BE есть данное число квадратов, а ВС - сторона квадрата, равного числу ребер, и ВС перпендикулярна BE. Построим равное данному числу тело, основание которого есть квадрат ВС. Пусть высота АВ этого тела находится на продолжении BE. Построим на АЕ полукруг AGE.

Точка С будет находиться либо внутри круга, либо на его окружности, либо вне круга.

Пусть сначала она находится внутри круга. Продолжим ВС в ее направлении до пересечения с кругом в точке G; дополним плоскую фигуру АС и построим на GC плоскую фигуру, равную фигуре АС. Это будет СН. Точка Н будет известна по положению, так как фигура СН известна по величине, ее углы также известны по величине, а линия GC известна по положению и величине. И она может находиться внутри круга, или на его окружности, или вне его. Пусть сначала она находится внутри круга. Проведем через точку Н гиперболу, которую не встречают [линии] GC, GМ. В этом положении она необходимо пересечет круг в двух точках. Пусть они пересекаются в точках L и N, они будут известны по положению. Опустим из этих точек перпендикуляры LK, NP на АЕ и из точки L перпендикуляр LF на BG. Плоская фигура LC будет равна фигуре СН, а СН равна СА. Прибавим к обеим частям СК. Получим, что DK равна FK, поэтому стороны, а также квадраты сторон этих двух плоских фигур обратно пропорциональны. Но квадрат LK относится к квадрату KА, как ЕК к КА в силу [свойств] круга. Поэтому квадрат ВС необходимо относится к квадрату ВК, как ЕК к КА; поэтому тело, основание которого есть квадрат ВС, а высота - КА, равно телу, основание которого есть квадрат ВК, а высота - КЕ. Но первое из этих двух тел равно данному числу ребер куба (16б) ВК вместе с данным числом, || Прибавим с той и другой стороны куб ВК. Тогда тело, основание которого есть квадрат ВК, а высота BE, равное данному числу квадратов куба ВК, будет равно кубу ВК вместе с данным числом его ребер и данным числом. То же относится к кубу ВР в силу такого же доказательства. Это в том случае, когда точки С, H находятся внутри круга.

Если мы построим гиперболу в том случае, когда Н находится вне круга, она может встретить круг, касаясь или пересекая его [это тот случай этого вида, который упоминался Абу-л-Джудом в решении задачи, о которой мы сейчас будем говорить]¹²⁹, и это приводит к тому, о чем мы уже говорили. Но если гипербола не встречает круга, мы всегда можем построить плоскую фигуру на линии меньшей или, в другом случае, большей, чем GC. Тогда, если гипербола не встречает круга, задача невозможна. Доказательство ее невозможности состоит в обращении того, что мы сказали.

Когда С находится на окружности или вне круга, мы продолжим CG в ее направлении и построим плоскую фигуру, один из углов которой находится в точке С, и, если провести через угол, противоположный углу С, гиперболу указанным выше способом, она встретит круг, касаясь или пересекая его. Это узнают посредством легкого сравнения, которое я опустил, предоставляя его в качестве упражнения читателям этого трактата, так как тот, кто не будет достаточно силен, чтобы найти это самому, не поймет ничего в этом трактате, основанном на трех указанных сочинениях.

Мы докажем невозможность невозможных случаев этого вида путем обращения доказательства, указанного нами для возможных случаев. Для этого установим сначала, что ребро куба должно необходимо быть меньше ЕВ, являющейся данным числом квадратов, так как если бы ребро куба было бы равно числу квадратов, этот куб был бы равен данному числу квадратов без добавления чего-либо другого - числа или ребер, а если ребро куба было бы больше числа квадратов, куб сам был бы больше данного тела квадратов без добавления чего-либо другого. Этим доказано, что ребро куба должно быть меньше BE. Поэтому (17а) отнимем от BE равную ему часть, - || пусть это будет ВР, - и восставим в Р перпендикуляр до окружности круга. Затем обратим указанное нами доказательство. Этим будет доказано, что вершина перпендикуляра будет находиться на дуге гиперболы, о которой мы сказали, что она не может пересекаться с кругом. Но это невозможно.

Однако я придерживаюсь мнения, что эти испытания могут быть трудны для некоторых из читателей этого трактата, вследствие чего мы отбросим все предыдущее и предложим правило, не нуждающееся в таком испытании. Оно состоит в построении на произвольной линии, взятой на продолжении ВС, каково бы ни было положение точки С, вне или внутри круга, плоской фигуры, один из углов которой находится в точке С, и равной ей плоской фигуры АС, стороны которой будут необходимо известны по величине и положению и в проведении через вершину, противоположную углу гиперболы, которую не встречают [линии] GC, СМ, последняя из которых является перпендикуляром [к GC] в точке С. Тогда, если гипербола встретит круг, касаясь или пересекая его, задача возможна, в противном же случае она невозможна. Доказательство невозможности будет такое же, как я указал выше¹³⁰.

Геометр, который нуждался в этом виде, решал его, но не доказывал многообразия случаев, и ему не приходило в голову, что иногда решение невозможно, как мы это показали. Итак, заметьте это и заметьте особенно последнее правило, относящееся к построению этого вида, а также различие между возможными и невозможными случаями¹³¹. Этот вид был решен при помощи свойств круга и гиперболы; это и есть то, что мы хотели доказать. Задача этого вида, которая была нужна одному из позднейших ученых, состоит в том, что требуется разделить десять на две части таким образом, что сумма квадратов обеих частей вместе с частным от деления большей части на меньшую равна семидесяти двум. Он положил одну из этих двух частей равной вещи, а другую - десяти без вещи, как это принято у алгебраистов при подобных делениях. Это || приводится [алгебраическими] действиями (17б) к [уравнению]: куб вместе с числом пять и тринадцатью с половиной его ребрами равен десяти квадратам. В этом примере точки С, Н находятся внутри круга¹³². Этот ученый решил эту задачу, которая не поддавалась усилиям нескольких ученых Ирака, в числе которых был Абу Сахл ал-Кухи¹³³. Но даже автору этого решения, несмотря на его ученость и величину заслуг в математике, не пришло в голову это многообразие случаев, а также то, что среди задач этого вида имеются невозможные. Этим ученым был Абу-л-Джуд или аш-Шанни¹³⁴.

Четвертый вид из четырех четверных уравнений: число, ребра и квадраты равны кубу.

Предположим, что BE есть сторона квадрата, равного числу ребер, и построим равное данному числу тело, основание которого есть квадрат BE. Пусть высота этого тела будет АВ и пусть она будет перпендикулярна BE. Предположим, что ВС равна числу квадратов и находится на продолжении АВ, и дополним [плоскую фигуру] АЕ. [Отложим] на продолжении BE [линию] ЕМ и построим па этой линии ЕМ, являющейся данной, плоскую фигуру, равную АЕ. Пусть это будет плоская фигура ЕН. Точка H тогда будет известна по положению. Проведем через Н гиперболу, которую не встречают [линии] ЕМ, ES, это будет [гипербола] HFК. Она будет известна по положению. Затем построим вторую гиперболу, вершина которой есть точка С, стрела - на продолжении ВС, а прямая и поперечная стороны равны каждая АС. Это будет гипербола LCF. Она будет известна по положению и необходимо пересечет гиперболу HFK. Пусть они пересекаются в точке F. Тогда F будет известна по положению. Опустим из F два перпендикуляра FG, FN на ВС, ВМ. Они будут известны по величине и положению и [плоская фигура] FE будет равна ЕН, которая равна ЕА. Прибавим к обеим EN. Тогда AS будет равна FB. Стороны этих плоских фигур и их квадраты будут обратно пропорциональны. Но квадрат FN относится к квадрату AN, как NC к AN, как мы уже показывали несколько раз, в силу [свойств] гиперболы LCF. Следовательно, квадрат BE будет относиться к квадрату BN, как NC к NA, и тело, основание которого есть квадрат BE, а высота - AN, будет равно телу, основание которого есть квадрат BN, а высота - CN. Но первое из этих тел (18а) равно телу, || основание которого есть квадрат BN, а высота - АВ, и которое мы сделали равным [данному] числу, вместе с телом, основание которого есть квадрат BE, а высота - BN и которое равно данному числу ребер куба BN. Прибавим к обоим тело, основание которого есть квадрат BN, а высота - ВС и которое равно данному числу квадратов куба BN. Тогда куб BN необходимо будет равен данному числу его квадратов вместе с данным числом его ребер и данным числом. Это и есть то, что мы хотели доказать¹³⁵.

Рис.27 стр.98

У этого вида нет многообразия случаев и среди его задач [нет] невозможных¹³⁶.

Изложив четыре четверных вида, рассмотрим три вида, каждый из которых состоит из двух членов, равных двум [членам].

Первый вид из трех оставшихся четверных уравнений: куб и квадраты равны ребрам и числу.

Положим BD равной стороне квадрата, который равен данному числу ребер, а СВ - равной данному числу квадратов и перпендикулярной BD. Построим равное данному числу тело, основание которого есть квадрат ВD. Пусть высота его будет S. Линия S может быть либо больше ВС, либо меньше ее, либо равна ей.

Рис.28 стр.99

Пусть сначала S меньше ВС. Отложим на ВС отрезок АВ, равный S, дополним АD и построим на продолжении BD произвольную [линию] DG. Построим на DG плоскую фигуру, равную АD, пусть это будет ED. [Точка] Е будет известна по положению, а стороны плоской фигуры ED будут известны по положению и величине. Проведем через точку Е гиперболу, которую не встречают [линии] GD, || DO. Это будет гипербола ЕН, [гипербола] ЕН будет известна по положению. Затем построим вторую гиперболу, вершина которой есть точка А, стрела АВ, а прямая и поперечная стороны равны каждая АС. Это будет гипербола АНF, и она [необходимо] пересечет другую гиперболу. Пусть они пересекаются в [точке] Н. [Тогда Н] будет известна по положению. Опустим из Н два перпендикуляра НК, HL. Оба они будут известны по положению и величине, и плоская фигура НD будет равна ED, которая равна АD. Прибавим к обеим [плоскую фигуру] DK. Тогда плоская фигура НВ будет равна AM. Отсюда следует, что их стороны и квадраты их сторон будут обратно пропорциональны. Но квадрат НК относится к квадрату КА, как СК к AК, в силу [свойств] гиперболы AHF, как мы это показывали несколько раз. Поэтому квадрат BD будет относиться к квадрату КВ, как СК к АК, и тело, основание которого есть квадрат BD, а высота - АК, будет равно телу, основание которого есть квадрат ВК, а высота - СК. Но это последнее тело равно кубу ВК вместе с телом, основание которого есть квадрат ВК, а высота - ВС и которое равно данному числу квадратов. Первое из этих двух тел равно телу, основание которого есть квадрат BD, а высота - АВ и которое мы сделали равным данному числу, вместе с телом, основание которого есть квадрат BD, а высота - ВК и которое является данным числом ребер куба. Следовательно, куб ВК вместе с данным числом своих квадратов равен данному числу вместе с данным числом своих ребер. Это и есть искомое. Если S равна ВС, то BD будет ребром искомого куба.

Доказательство. Тело, основание которого есть (19а) квадрат BD, || а высота также BD и которое является числом ребер куба BD, равно кубу BD. Тело, основание которого есть квадрат BD, а высота - ВС, являющееся данным числом квадратов куба, равно телу, основание которого есть квадрат BD, а высота - S и которое является данным числом. Поэтому куб BD вместе с данным числом своих квадратов равен данному числу вместе с данным числом ребер. Это и есть искомое. Но известно, что в этом случае куб BD вместе с данным числом будет равен данному числу квадратов вместе с данным числом ребер этого куба; отсюда вытекает, что этот случай входит в третий вид: куб и числа равны квадратам и ребрам.

Если S больше ВС, построим АВ, равную S, и проведем через С вторую гиперболу, обе стороны которой [прямая и поперечная] равны АС. Она необходимо пересечет другую гиперболу. Ребро куба будет также ВК и остальная часть построения и доказательство будут такими же, как и выше, за исключением того, что здесь квадрат НК относится к квадрату КС, как АК к КС¹³⁷. Этим доказано, что у этого вида имеется многообразие случаев и разновидностей и что одна из этих разновидностей входит в третий вид; но среди задач этого вида нет невозможных¹³⁸. Его решение было осуществлено при помощи свойств двух гипербол.

Второй вид из трех оставшихся четверных видов: куб и ребра равны квадратам и числу.

Положим ВС равной данному числу квадратов, a BD равной (19б) стороне квадрата, который равен числу || ребер и перпендикулярной ВС. Построим равное данному числу тело, имеющее основанием квадрат BD. Пусть высота его будет S. Линия S меньше ВС, либо равна ей, либо больше ее.

Пусть сначала [S] будет меньше ВС. Отложим на ВС [линию] ВА, равную S, дополним плоскую фигуру AD, построим на АС как на диаметре круг АКС, который будет известен по положению, и проведем через точку А гиперболу, которую не встречают [линии] BD, DG. Это будет гипербола HAF, она будет известна по положению. [Гипербола] HAF пересекает AG, касательную к кругу, и, следовательно, пересекает круг, так как, если бы она попала между ним и AG, мы могли бы провести через точку А касательную к гиперболе, как это изложил Аполлоний в 60-м предложении II книги¹³⁹. Тогда эта касательная могла бы либо находиться между кругом и AG, что невозможно, либо находиться за AG таким образом, чтобы AG была прямой линией, находящейся между гиперболой и ее касательной, что также невозможно. Поэтому гипербола FAH не попадает между AG и кругом и, следовательно, пересекает его. Она необходимо пересекает его в другой точке. Пусть они пересекаются в [точке] K. Тогда К будет известна по положению. Опустим из нее два перпендикуляра КМ, КЕ на BD, ВС. Оба они, как ты знаешь, будут известны по положению и величине. Дополним плоскую фигуру KD. Плоская фигура AD будет равна фигуре KD. Отнимем от обеих [плоскую фигуру] MG и прибавим к обеим [плоскую фигуру] АК. Тогда ВК будет равна AL и стороны обеих плоских фигур, так же как квадраты их сторон, будут обратно пропорциональны. Но квадрат КЕ относится к квадрату ЕА, как ЕС к ЕА. Поэтому квадрат BD относится к квадрату BE, как ЕС к ЕА, и тело, основание которого есть квадрат BD и высота - ЕА, равно телу, основание которого есть квадрат BE, а высота - ЕС. Прибавим к обоим куб BE. Тело, основание которого есть квадрат BE, а высота - ВС, будет равно кубу BE вместе с телом, основание которого есть квадрат BD, а высота - ЕА. Но первое (20а) тело равно || данному числу квадратов куба BE. Прибавим к обоим тело, основание которого есть квадрат BD, а высота - ВА и которое мы сделали равным данному числу. Тогда куб BE вместе с телом, основание которого есть квадрат BD, а высота - BE и которое равно данному числу ребер куба BE, будет равно данному числу квадратов вместе с данным числом. Это и есть искомое. Если S будет равна ВС, то ВС будет ребром искомого куба.

Рис.29 стр.101

Доказательство. Куб ВС равен данному числу своих квадратов, и тело, высота которого есть ВС, а основание - квадрат BD, равно данному числу, а также равно данному чиелу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС вместе с данным числом своих ребер равен данному числу своих квадратов вместе с данным числом. Но этот случай входит также в третий вид, так как данное число ребер куба ВС равно данному числу, откуда следует, что куб ВС вместе с данным числом равен данному числу квадратов вместе с данным числом ребер куба.

Если S больше ВС, сделаем ВА равной S и построим круг на АС как на диаметре. Тогда гипербола, которая проходит через точку А, пересечет круг в точке K, как мы это доказали. Опустим из точки К два перпендикуляра КЕ, КМ так же, как мы это делали на предыдущем чертеже. ЕВ будет ребром искомого куба, что доказывается так же, как выше. Отнимем от обеих [плоских фигур AD, KD] плоскую фигуру ED. Стороны плоских фигур ЕМ, ЕG, так же как их квадраты, будут обратно пропорциональны, и доказательство будет совершенно такое же, как предыдущее, без всякого изменения¹⁴⁰. Этим доказано, что этот вид (20б) имеет многообразие случаев || и разновидностей и что одна из этих разновидностей входит в третий вид. Среди его задач нет невозможных¹⁴¹. Он был решен при помощи свойств окружности и гиперболы.

Третий вид из трех [оставшихся] четверных видов: куб и число равны ребрам и квадратам.

Предположим, что ВС равна числу квадратов, a BD перпендикулярна ей и равна стороне квадрата, который равен числу корней. Построим тело, имеющее основанием квадрат BD и равное данному числу. Пусть высота этого тела будет S. Линия S может быть меньше ВС, либо равна ей, либо больше ее.

Пусть сначала [S] будет меньше ВС. Отложим на ВС [линию] ВА, равную S, дополним [плоскую фигуру] BG, проведем через А гиперболу, которую не встречают [линии] BD, DG, это будет гипербола HAF, и построим другую гиперболу, вершина которой - точка С, стрела имеет направление ВС и обе стороны, прямая и поперечная, равны АС. Эта гипербола необходимо пересечет другую гиперболу. Это будет [гипербола] KCL. Пусть гиперболы KCL и HAF пересекаются в точке М. Точка М будет известна по положению, так как обе гиперболы известны по положению. Опустим из этой точки перпендикуляры MN, ЕМО. Они будут известны по величине, плоская фигура DA будет равна плоской фигуре DM и NE равна GE, как мы это показывали несколько раз.

Рис.30 стр.103

Поэтому стороны этих плоских фигур, так же как их квадраты, обратно пропорциональны. Но квадрат ME относится к квадрату ЕА, как СЕ к ЕА, в силу [свойств] гиперболы KCL. Следовательно, квадрат ВD будет относиться к квадрату BE, как СЕ к ЕА, и тело, основание которою есть квадрат BD, а высота - ЕА, будет равно телу, основание которого есть квадрат BE, а высита - СЕ. Прибавим к обоим тело, основание которого есть квадрат ВE, а высота - ВС и которое является числом квадратов куба BE. || Тогда куб BE будет равен данному числу (21a) своих квадратов вместе с телом, основание которого есть квадрат BD, а высота - ЕА. Прибавим к обоим тело, высота которого есть ВА, а основание - квадрат ВА и которое мы сделали равным данному числу. Получится, что тело, основание которого есть квадрат BD, а высота - BE и которое равно данному числу ребер куба BE, вместе с данным числом квадратов куба BE равно кубу BE вместе с данным числом. Если S равно ВС, то ВС будет ребром куба.

Доказательство. Куб ВС равен данному числу своих квадратов, а данное число равно данному числу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС вместе с данным числом равен [данному числу квадратов вместе с] данным числом ребер. Это и есть искомое. С другой стороны, куб ВС вместе с данным числом ребер будет равен данному [числу] своих квадратов вместе с данным числом, откуда следует, что этот случай входит также во второй вид.

Если S больше ВС, сделаем ВА равной S, дополним плоскую фигуру [BG] и проведем первую гиперболу через А и вторую также через А. Они пересекутся. Если они встречаются второй раз, касаясь в одной точке или пересекаясь в двух точках, как это известно по IV книге сочинения "Конические сечения", задача , будет возможна, в противном случае она будет невозможна. Если они пересекаются, опустим из двух точек их пересечения перпендикуляры, которые отсекут ребра двух кубов. Доказательство такое же, как выше, без всякою изменения¹⁴².

(21б) Этим показано, что этот вид имеет различные случаи, некоторые из которых невозможные¹⁴³. Он был доказан || при помощи свойств двух гипербол.

Показано также, что эти три четверных вида входят один в другой, т.е., как мы показали, имеется случай первого вида, являющийся в точности случаем второго вида, случай второго вида, являющийся случаем третьего вида, и случай третьего вида, являющийся в точности случаем второго вида¹⁴⁴.

После того как мы изложили эти двадцать пять видов предложений алгебры и алмукабалы, дополнили их и надлежащим образом нашли частные случаи всех этих видов, предложили правила для распознавания возможных и невозможных случаев для тех задач, среди которых имеются невозможные, и показали, что среди большей части этих видов не имеется невозможных¹⁴⁵, перейдем к долям.

Доля вещи есть число, которое относится к единице как единица к этой вещи¹⁴⁶. Таким образом, если вещь есть 3, ее доля есть треть, если вещь есть треть, ее доля есть 3. Точно так же, если вещь есть 4, ее доля есть четверть, если вещь есть четверть, ее доля есть 4, и вообще доля произвольного числа - это доля, именуемая по этому числу, как треть по 3, когда это число целое, и как три по трети, когда это [число] дробное. Точно так же доля квадрата есть доля, именуемая по числу, равному квадрату, будет ли это число целым или дробным; то же самое относится к доле куба. Чтобы сделать это более наглядно ясным, расположим эти доли в виде таблицы:

доля куба	доля квадрата	доля корня
1	1	1
8	4	2

единица	корень	квадрат	куб
1	2	4	8

Доля куба относится к доле квадрата, как доля квадрата к доле корня, как доля корня к единице, как единица к корню, как корень к || квадрату, как квадрат к кубу. Таким (22а) образом, эти 7 последовательных степеней находятся в одном и том же отношении. Мы будем говорить только об уравнениях, содержащих эти степени. Что касается доли квадрато-квадрата, доли квадрато-куба и доли куба-куба и так далее, то они также пропорциональны. Но нам нет нужды упоминать их, так как нет средств решить уравнения, содержащие эти другие степени.

Знай, что если ты рассматриваешь одну восьмую, являющуюся долей куба [как куб], то ее долей является 8, т.е. куб перевернутого¹⁴⁷. То же самое правило применяется к другим долям, так что четыре степени - доля куба, доля квадрата, доля корня и единица - таковы, как куб, квадрат, корень и единица. Например, если говорят: доля квадрата равна половине доли корня, это то же, как если бы сказали: квадрат равен половине корня. Тогда этот квадрат есть четверть, но в действительности он является долей квадрата и искомый квадрат есть 4, его доля - четверть и доля его корня половина¹⁴⁸. Это правило для простых [видов].

Что касается сложных [видов], то когда говорят: доля квадрата и две доли корня равны одному с четвертью, это то же, как если бы сказали: квадрат и два корня равны одному с четвертью. Тогда, применяя изложенный выше способ, мы нашли бы, что корень равен половине, а квадрат равен четверти. Но так как спрашивается о доле квадрата и двух долях корня, четверть, которая сначала была квадратом, будет долей искомого квадрата и [искомым квадратом] будет 4¹⁴⁹.

То же самое для четверных [видов]. Когда говорят: доля куба вместе с 3 долями квадрата и 5 долями корня равны 3 и 3 восьмым, это то же, как если бы сказали: куб вместе с 3 квадратами и 5 корнями равен 3 и 3 восьмым. При помощи изложенного выше способа, основанного на конических сечениях, мы определим ребро куба, которое будет долей искомого корня. Поэтому положим, что это ребро относится к данной единице, как данная единица к другой линии. Эта линия и будет искомым ребром куба¹⁵⁰.

Очевидно, что имеется 25 видов уравнений, содержащих эти четыре степени, аналогичные двадцати пяти предыдущим видам.

(22б) || Что касается умножения одной из этих степеней на другую, то это достаточно известно из сочинении алгебраистов, и ты легко можешь это понять, вследствие чего мы не будем останавливаться на этом¹⁵¹. Что же касается уравнений, содержащих эти четыре степени и четыре предыдущие степени, то это я сейчас покажу. Когда говорят: куб равен десяти долям куба, т.е. десяти долям его самого, то куб есть первая из этих семи степеней, а доли куба - седьмая. Поэтому умножь одну на другую и возьми корень из произведения. Результат будет средней степенью, т.е. четвертой, и будет равен искомому кубу¹⁵². Для большей точности заметим, что каждое число, умноженное на долю, именуемую по нему, образует единицу, [число], умноженное на две своих доли, образует два, а число, умноженное на 10 своих долей, образует число 10¹⁵³. Поэтому наш пример такой же, как если бы сказали: какой куб, умноженный на себя, равен десяти; искомым кубом будет корень из десяти. Далее определение ребра этого куба производится изложенным выше способом при помощи конических сечений. Точно так же, когда говорят: какой квадрат равен 16 долям, именуемым по нему? - умножь единицу на 16 и возьми корень из произведения, т.е. 4; это и будет искомый квадрат. Согласно предыдущему правилу, это то-же, как если бы сказали: какой квадрат, умноженный на себя, равен 162¹⁵⁴. И точно так же, когда говорят, какой корень равен четырем своим долям? - это то же, как если бы сказали: какое число, умноженное на себя, образует 4? Это - число 2¹⁵⁵.

Но когда говорят: какой квадрат равен некоторому числу долей куба его стороны? - то решение этой задачи не может быть выполнено при помощи изложенного нами, так как оно зависит от определения 4 [средних пропорциональных] линий между двумя данными линиями, так, чтобы эти 6 линий последовательно находились в одном отношении¹⁵⁶. Это было показано Абу 'Али ибн ал-Хайсамом¹⁵⁷. Это построение весьма трудно, и мы не можем привести его в нашей книге. Точно так же, когда говорят: какой куб равен некоторому числу долей квадрата своего ребра? - нуждаются в том же предложении, и невозможно решить зачу нашими способами. И вообще, когда первая из этих семи степеней умножена на шестую¹⁵⁸, нуждаются в определении четырех линий между двумя данными линиями, так, чтобы [эти 6 линий] последовательно находились в одном и том же отношении, как это было показано Абу 'Али ибн ал-Хайсамом.

И если говорят: какой куб || равен 16 долям своего ребра? (23а) - первая степень умножается на пятую, и корень из корня произведения будет ребром искомого куба¹⁵⁹. То же правило применяется всегда, когда одна из семи степеней приравнена к такой, которая, считая от нее, является пятой в [одном и том же] отношении¹⁶⁰. Что касается сложных видов, например: корень равен единице вместе с двумя долями корня, то он равносилен [виду]: квадрат равен корню вместе с числом два, так как три последние степени пропорциональны трем предыдущим. Мы решаем изложенным выше способом, и квадрат будет равен числу 4, которое действительно равно своему корню вместе с числом 2. Корень из этого квадрата и есть искомое; этот корень есть 2, и он действительно равен единице вместе с двумя долями этого корня¹⁶¹. Точно так же, если говорят: квадрат и два его корня равны единице вместе с двумя долями корня, то это равносильно [тому, чтобы сказать]: куб и два квадрата равны корню и двум. Мы определим ребро куба, как мы это показали, при помощи конических сечений, и квадрат этого ребра будет искомым квадратом¹⁶². Точно так же, если говорят: корень и число 2 и 10 долей корня равны 20 долям квадрата, то это равносильно [тому, чтобы сказать]: куб и два квадрата и 10 корней равны числу 20. Мы определим ребро куба при помощи конических сечений, и это будет искомый корень¹⁶³. Вообще произвольные четыре последовательные степени из этих семи степеней можно рассматривать как один из рассмотренных выше двадцати пяти видов.

Но когда этот ряд достигнет 5, 6 или 7 степеней, совсем не существует способа для решения [задачи]. Например, когда говорят: квадрат и два корня равны числу 2 и двум долям квадрата, то это невозможно решить, так как квадрат есть вторая из этих степеней, а доля квадрата - шестая, так что ряд распространяется на 5 степеней¹⁶⁴. Это будет служить правилом и для других случаев.

Совокупность простых видов, содержащих эти семь степеней, состоит из 21 вида, 2 из которых не могут быть решены при помощи нашего метода, но требуют предпосылки Ибн ал-Хайсама; так что остается 19 видов, разрешимых таким методом, одни при помощи свойств круга, другие - при помощи свойств конических сечений¹⁶⁵. Совокупность тройных видов, содержащих 3 последовательные степени, состоит из 15 видов; они разрешимы при помощи свойств круга¹⁶⁶. Совокупность тройных видов, (23б) содержащих 4 последовательные степени, состоит из 24 || видов: они разрешимы при помощи свойств конических сечений¹⁶⁷. Совокупность четверных видов, содержащих четыре последовательные степени, состоит из 28 видов; они разрешимы при помощи конических сечений¹⁶⁸. Таким образом, совокупность видов, содержащих эти семь степеней и разрешимых при помощи методов, изложенных нами, состоит из 86 видов, причем из них были упомянуты в сочинениях предшественников только 6 видов. Для того, кто опирается на изложенные предложения и в то же время обладает природной силой ума и опытом в задачах, не будет ничего скрыто в задачах, представлявших трудности для предшественников. На этом нам пора окончить этот трактат, вознося хвалу всевышнему Аллаху и благословляя всех его пророков.

Это [нужно добавить]. Через пять лет после составления этого трактата один человек, мало сведущий в геометрии, рассказал мне, что геометр Абу-л-Джуд Мухаммад ибн ал-Лайс написал трактат о перечислении этих видов и об анализе большинства из них при помощи конических сечений, однако без полного рассмотрения их случаев и без различения возможных задач от невозможных, излагая только то, к чему приводит рассмотрение отдельных задач этих видов. Это весьма вероятно, так как два вида, о которых мы говорили, что они принадлежат одному [из моих предшественников], приписываются ему. Ты можешь найти их среди сочинений Абу-л-Джуда, переписанных ал-Хазими ал-Хорезми¹⁶⁹.

Один из этих видов - тройной, а именно: куб и число равны квадратам. В нем имеются различные случаи, причем эти случаи подчинены некоторым условиям, как показано в этом трактате. Но он не излагает этих условий полностью, а затем он снова ошибается в связи с этим видом, утверждая, что если ребро куба, равного данному числу, больше половины числа квадратов, задача невозможна. Но это не так, как мы это доказали. Причина этого состоит в том, что он не заметил, что два конических сечения в этом случае могут касаться или пересекаться.

Второй вид - четверной, а именно: куб вместе с числом и ребрами равен квадратам, и, клянусь жизнью, он знал эту задачу (24а) лучше всех, тогда || как геометры были бессильны перед этой задачей. Однако эта задача является частной, и у этого вида имеются различные случаи, в зависимости от условий, и среди его задач имеются невозможные. Но он не дал полного изложения, которое следовало дать. Я сказал все это для того, чтобы те, кому встретятся оба трактата, - если только то, что мы рассказали об этом ученом, точно, - смогли бы сравнить этот мой трактат с тем, который приписывается этому ученому.

Я думаю, что я не пренебрег никаким усилием для того, чтобы сделать мое изложение полным и в то же время кратким, чтобы избежать многословия. Если бы я захотел, я легко мог бы дать примеры каждого вида и их частных случаев, но, боясь многословия, я ограничился изложением общих правил, так как я доверяю уму учащегося, и тот, кто хорошо усвоил этот трактат, не будет остановлен ни частными примерами, ни их общими закономерностями. К успеху приводит содействие Аллаха, он - наше прибежище во всех случаях.

Добавлю [следующее]. Один из наших друзей настойчиво просил нас изложить ошибку Абу-л-Джуда Мухаммада ибн ал-Лайса при рассмотрении пятого из шести тройных видов, разрешимых с помощью конических сечений. Это: куб и число равны квадратам.

Абу-л-Джуд говорит: положим число квадратов равным линии АВ и отложим на ребро куба, равного числу, это ВС. Линия ВС будет либо равна СА, либо больше ее, либо меньше.

Рис.31 стр.109

Он говорит: когда СА равна ВС, дополним [квадратную] плоскую фигуру СЕ и проведем через D гиперболу, которую не встречают [линии] АВ, BE. Построим также параболу, вершина которой- точка А, стрела АВ, а прямая сторона - ВС. Эта парабола необходимо пройдет через точку D, как мы это доказали. Далее он думал, что два конических сечения касаются в точке D. Но в этом он ошибался, так как они необходимо пересекаются.

Доказательство. Сделаем BG равной ВА и соединим AG. Тогда AG необходимо пройдет через точку D и будет [своей частью AD] внутри параболы. Угол || ADB будет прямым и (24б) угол ABD будет равен углу GBD. Известно, что стрела гиперболы делит угол, охватывающий гиперболу¹⁷⁰, пополам. Поэтому линия BDF есть стрела гиперболы, проходящей через D. Но линия AD параллельна координатным линиям [гиперболы], вследствие чего она касается гиперболы. Отсюда необходимо следует, что парабола пересекает гиперболу и не может находиться между гиперболой и касательной к гиперболе, так как если бы парабола касалась этой касательной к гиперболе, линии, проведенные из точки D к произвольной точке дуги AD [параболы], попали бы между параболой и ее касательной, что невозможно. Отсюда с необходимостью следует, что парабола пересекает гиперболу еще в другой точке, находящейся между А и D. Это то, что мы хотели показать. Таким образом, этот ученый ошибся, считая, что эти два конических сечения необходимо касаются в точке D.

Рис.32 стр.110

Что же касается слов: когда ВС больше СА, задача невозможна, так как эти два конических сечения не встречаются, - то это утверждение ошибочно. Напротив, они вполне могут встретиться, пересекаясь или касаясь, в одной или двух точках, находящихся между А и D, как мы показали выше. Для этого имеется более общее доказательство, чем то, которое мы предложили: пусть число квадратов будет АВ, ребро куба, [равного данному числу], ВС, причем оно больше половины АВ. Дополним [плоскую фигуру] СЕ и построим два конических сечения способом, который ты уже знаешь. Пусть АВ равна десяти, a GB- шести. Произведение ее квадрата на GA равно 144. Это будет данное число; его ребро¹⁷¹ будет ВС, и ВС необходимо будет больше пяти, так как куб 5 есть 125. Тогда тело, основание которого есть квадрат GB, а высота - GA, равно кубу ВС. Поэтому их основания обратно пропорциональны их высотам, т.е. квадрат GB относится к квадрату ВС, как ВС к GA. Восставим в G перпендикуляр, который пересечет гиперболу в точке Н, и дополним [плоскую фигуру] НВ. Фигура НВ будет равна СЕ. Поэтому их стороны будут обратно пропорциональны, т.е. GB относится к ВС, || как ВС к GH. Поэтому квадрат GB относится к квадрату (25а) ВС, как GB к GH. Но это отношение было равно отношению ВС к GA, и GB относится к GH, как ВС к GA. Поэтому, если применить переставление¹⁷², четыре линии GB, ВС, GH, GA будут последовательно пропорциональны и квадрат GH будет равен произведению ВС на GA. Но ВС есть прямая сторона параболы, для которой В - стрела, а А - вершина. Следовательно, GH есть координатная линия этой параболы и точка Н будет необходимо находиться на ее дуге. Но Н уже находилась на дуге гиперболы, следовательно, эти два конических сечения встречаются, и этим обнаружена ошибка Абу-л-Джуда [утверждавшего, что] эти два конических сечения не встречаются. Это и есть искомое.

Для того чтобы сделать это более ясным, положим АВ равной восьмидесяти и ВС, являющуюся ребром куба, равного данному числу, равной сорока одному, так что она будет больше АС. Точка D будет находиться вне параболы. Пусть парабола проходит через точку L. Тогда линия LC будет равна корню из 1599, что немного меньше сорока. Сделаем FC равной СВ, ВН равной BF и соединим FH. Тогда, как мы доказали, FH будет касательной к гиперболе. Отложим [линию] АК, равную четверти АС, и восставим в К перпендикуляр, который пересечет параболу в точке М. Квадрат LC будет относиться к квадрату КМ, как АС к АК, так как первые две линии являются координатными линиями параболы, что было доказано Аполлонием в 19-м предложении I книги¹⁷³. Поэтому КМ будет половиной LC, т.е. равна двадцати без малого. Далее CF равно сорока одному, АК - девяти и трем четвертям, a AF - двум. Поэтому KG будет равно одиннадцати и трем четвертям, так как KG относится к KF, как НВ к BF, а эти две линии равны. Отсюда следует, что линия GM будет больше восьми. Она находится || по эту (25б) сторону касательной к гиперболе и в этом положении необходимо будет внутри гиперболы, так что эти два конических сечения не встречаются, когда ВС больше СА. Но это не во всех случаях обязательно, и Абу-л-Джуд ошибся в своем утверждении¹⁷⁴. Пойми это. Если хочешь, можешь найти числовые примеры.

Эта задача приводит к задаче приложения к данной линии тела, которое за вычетом куба равно данному другому телу. Поэтому, если ребро куба, равного данному телу, равно половине этой линии или меньше ее, построение необходимо возможно, но если оно больше ее, в задаче может быть невозможное в соответствии с тем, что мы тебе показали¹⁷⁵.

Аллах облегчает разрешение этих трудностей своими благодеяниями и великодушием.

Трактат закончен в полдень воскресенья двадцати третьего [числа] месяца раби'ал-аввал 727 года¹⁷⁶. Хвала Аллаху, единственному и всеудовлетворяющему, и поклон избранным его рабам.

Размещен: 25/03/2021, изменен: 22/04/2025. 98k. Статистика.
Статья: Естествознание

Связаться с программистом сайта.
Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"
Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"

Омар Ал-Хаййами Ан-Найсабури О Доказательствах Задач Алгебры И Алмукабалы

Омар Ал-Хаййами Ан-Найсабури
О Доказательствах Задач Алгебры И Алмукабалы