![[]](/img/k/kartashow_a_s/g5newton/newton_ps.jpg)
"Если я видел дальше других,
Связаться с программистом сайта.
то потому, что стоял на плечах гигантов"
Все знают о законе всемирного тяготения Ньютона, многие читали его "Математические начала натуральной философии", некоторые знакомы с "Оптикой", но мало кто знаком с его работой "Шкала степеней теплоты и холода". Даже из тех, кто читал ее, вряд ли наберется несколько человек, вполне представляющих себе, какую драгоценность они держали в руках. В этой небольшой работе Ньютон сформулировал закон охлаждения нагретых тел, который гласит:
В данной формулировке не проводится различие между количеством теплоты и температурой, но поскольку "вся теплота железа" измерялась тогда термоскопом, закон охлаждения Ньютона следует понимать как пропорциональность отданного телом тепла и его температуры. В такой трактовке утверждение Ньютона представляется в виде уравнения несоизмеримых количеств - сообщенного окружающей среде тепла и температуры нагретого тела: ΔQ=qT. Коэффициент пропорциональности q=Δη, как мы теперь знаем, представляет собой изменение энтропии η. Таким образом, Ньютон впервые вводит в рассмотрение энтропию как фактически измеряемый параметр.
Разрешить данное уравнение, не переходя к соизмеримым количествам - температурам, невозможно. Для этого понадобится ввести дополнительное условие соизмеримости уравниваемых количеств, основанное на понятии теплоемкости C: δQ=CdT, где δQ - бесконечно малое количество переданного тепла. Исчислением бесконечно малых величин Ньютон владел вполне, будучи его создателем наряду с Лейбницем, но о существовании теплоемкости он не имел ни малейшего представления. Тем не менее, он нашел свой путь решения этого уравнения:
Рассмотрим, как ему это удалось. По-видимому, Ньютон понимал количество теплоты и температуру как безусловно соизмеримые количества, иначе бы он не писал о логарифмах, появляющихся в результате решения дифференциального уравнения, которое соответствует сформулированному им закону охлаждения, если перейти к бесконечно малым величинам и учесть направление процесса (потерю тепла): CdT=-dηT - или, что то же самое, dT/T=-[(dη/dt)/C]dt. В этом уравнении наличие теплоемкости или ее отсутствие (C=1) не меняет существа дела при том дополнительном условии, которое ввел в рассмотрение Ньютон: времена охлаждения принимаются равными, - т.е. dt=Δt=const. При таком условии решение дифференциального уравнения имеет вид
ln(T/T0)=-(1/Δt) ∫(Δη/C)dt+const.
Теплоемкость здесь играет роль только масштабного фактора для изменения энтропии, который не имел для Ньютона никакого значения, поскольку в своих опытах он измерял безразмерное число, установив экспериментально, что при равномерной шкале времени имеет место геометрическая прогрессия температуры: Ti=BTi-1, где B - коэффициент прогресии, i=0, 1, 2,...n - натуральный ряд чисел. Из решения дифференциального уравнения для промежутка времени Δt=ti-ti-1 непосредственно следует связь коэффициента прогрессии с энтропией:
B=exp(-Δη/C).
Постоянство коэффициента прогрессии при любом временном шаге i означает, что безразмерный параметр q=Δη/C в законе охлаждения Ньютона также должен быть постоянным. Поскольку сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов, складывая логарифмы температур от i=0 до i=n - шаг за шагом, приходим к выводу, что температура Tn, спустя время t=nΔt после начала процесса охлаждения t0, действительно "может легко быть найдена по таблице логарифмов", если известен параметр q=Δη/C:
ln(T0/Tn)=nq.
По глубине и изящности эта формула не уступает второму закону динамики и закону всемирного тяготения. Явное наличие в нем целочисленного времени n со всей очевидностью устанавливает, что процесс охлаждения тел есть не что иное, как обыкновенные часы - они буквально тикают! Левая часть уравнения не может убывать, поскольку правая часть, при постоянстве отношения изменения энтропии к теплоемкости для равных промежутков времени, является кратным возрастающему ряду натуральных чисел. Таким образом, Ньютон в своих опытах по охлаждению тел, измеряя с помощью термоскопа изменение температуры T относительно некоторго начального значения T0 за единицу времени n=1 (скажем, за минуту) и переходя затем к логарифмической шкале температур, определял по сути дела отношение изменения энтропии к теплоемкости (q=Δη/C) на заданном промежутке времени Δt. Опытное определение этого параметра и установление его постоянства для тех материалов, с которыми он экспериментировал, и для той шкалы измерения температуры, которую он использовал, давало возможность рассчитать в дальнейшем изменение температуры в любой момент времени n по таблице логарифмов без привлечения понятия теплоемкости. Более того, в области температур, выходящих за пределы измерительных возможностей термоскопа (т.е. превышающих температуру расплавленного олова) Ньютон использовал в качестве измерительного прибора обыкновенные часы, определяя время охлаждения кусочков различных плавких металлов, положенных на раскаленный чугун, и пользуясь логарифмической шкалой для определения изменения температуры чугуна по мере его охлаждения по измеренным данным о времени охлаждения этих металлов.
Онтология эмпирического параметра q, определяющего логарифмическую шкалу температур, была Ньютону неизвестна, так как он не принимал во внимание различия между количеством теплоты и температурой и не имел представления об энтропии, но само открытие логарифмической "шкалы степеней теплоты и холода" следует отнести к фундаментальным достижениям этого великого физика наряду с законом всемирного тяготения, ибо оно имеет прямое отношение ко второму началу термодинамики. К сожалению, это не было в свое время, да и не могло быть, по-видимому, оценено должным образом наукой, которая далеко не всегда выбирает прямые пути. В связи с этим, работа Ньютона "Шкала степеней теплоты и холода" не оказала существенного влияния на развитие термодинамики, и до сих пор она традиционно относится историками науки к рядовым прикладным теплофизическим исследованиям, имеющим лишь историческое значение. Однако если посмотреть на закон охлаждения нагретых тел Ньютона с точки зрения второго начала термодинамики, то он оказывается эквивалентным открытию фундаментального значения: пропорциональности скорости изменения энтропии и теплоемкости.
Действительно, теплоемкость отличается от энтропии только тем, что она представляет собой относительную характеристику тел по температуре C=δQ/dT, тогда как энтропия - абсолютную (dη=δQ/T); во всем остальном - они схожи, поэтому пропорциональность скорости изменения энтропии и теплоемкости автоматически означает логарифмическую шкалу температуры при равномерной шкале времени. Таким образом, Ньютон мыслил намного глубже других ученых прошлого, - даже такого выдающегося ученого XVIII века как Джозеф Блэк, который первым ввел понятие теплоемкости и провел четкое различие между температурой и количеством теплоты. В одной из своих лекций Блэк, в частности, отметил: "Мысль Ньютона о том, что теряемое нагретым телом количество теплоты, пропорциональное избытку температуры этого тела над окружающей средой, нашла себе поддержку и проверку в опытах талантливого профессора Рихмана..." (сотрудника М.В. Ломоносова). Современные историки науки также считают, что "Рихман рассмотрел проблему значительно шире Ньютона, полагая, что процесс теплообмена между телами представляет сложный комплекс явлений, зависящий как от разности температур между поверхностью нагретого тела и среды, так и от геометрических факторов" (Я.М. Гельфер. История и методология термодинамики и статистической физики. 1981).
Спору нет, и Рихман, и сам Блэк сделали очень много для развития калориметрии и значительно расширили научные представления о теплоотдаче и теплообмене тел, однако ни ими, ни последующими поколениями теплофизиков в этой небольшой работе Ньютона не было усмотрено самое главное. Ньютон был глубоко религиозным человеком и в любых частных физических явлениях он всегда стремился к абсолютным, богом данным истинам, - в этом была суть его научного менталитета, который и привел его к величайшим достижениям. В какой бы области науки он ни работал, его никогда не занимали прикладные проблемы сами по себе, насколько бы актуальными они ни казались другим ученым. Поэтому и в области теплофизики он смотрел на проблему теплоотдачи намного глубже других. Для него прикладной вопрос о том, какова окружающая среда, не имел большого значения, поэтому в своей логарифмической шкале он рассматривал не избыток температуры, а "всю теплоту" - т.е. "абсолютную" температуру металла, показав, благодаря такому подходу, непосредственную связь процессов теплообмена со временем и предвосхитив тем самым не только второй закон термодинамики, но даже и третий.
По сути дела, открытый Ньютоном закон представляет собой иную форму записи формулы для энтропии, выведенной Больцманом статистическим путем только спустя два века. Если в исследованном Ньютоном процессе охлаждения железа выразить из логарифмической шкалы температур в явном виде изменение энтропии Δη=(C/n)ln(T0/Tn) и переобозначить ln(T0/Tn)=(n/a)ln(w) и C=ak, где a - некоторый числовой коэффициент, зависящий от свойств материала, а k - постоянная с размерностью теплоемкости, то получится формула Больцмана: Δη=kln(w), где w=(T0/Tn)a/n - термодинамическая вероятность изменения состояния n, которая, очевидно, должна быть больше единицы, так как T0>T при охлаждении. Суммирование логарифмов вероятности w по натуральному ряду чисел от единицы до n приводит в итоге к больцмановской энтропии η(P)=klnP. Заметим, что таким путем мы приходим к статитике через физику, а не наоборот, как это сделал Больцман (за что подвергся жесточайшей критике со стороны физиков, ставшей одной из причин его самоубийства в 1906 году).
В основе статистического обоснования второго начала термодинамики Больцмана физика, конечно, присутствовала. Во-первых, вместо непрерывного распределения молекул по энергиям использовалась гистограмма, что позволяло перейти от бесконечно малых величин к конечным интервалам энергии и открывало путь к статистике - подсчету различных сочетаний молекул по координатам и импульсам, реализующих то или иное дискретное энергетическое состояние, а во-вторых, принималась гипотеза о равновероятности этих сочетаний. Но дальше уже начиналась чистая статистка и теория вероятностей, а физика (механика) отходила на второй план: "проблема механической теории тепла - это проблема исчисления вероятностей" - так по этому поводу писал Больцман. Именно статистический характер второго начала был козырной картой Больцмана, которой он бил "карты" своих оппонентов и, прежде всего, возражение Цермело, основанное на теореме Пуанкаре о квазипериодичности механических систем, согласно которой "любая механическая система, состоящая из конечного числа тел, движущаяся так, что все ее обобщенные координаты и импульсы находятся между конечными пределами, спустя достаточно долгое время обязательно должна будет еще раз сколь угодно близко подойти к своему начальному состоянию". Больцман не отрицал, что возвращение механической системы к начальному состоянию, (а, следовательно, и убывание энтропии) возможно, но вероятность такого события, как он подсчитал, была ничтожно мала.
Между прочим, связь между энтропией и вероятностью имеет совершенно элементарное обоснование, на что указал в свое время Планк. Если P1 и P2 - вероятности состояний двух термодинамических систем, а η(P1) и η(P2) - соответствующие энтропии, то можно сказать, что с вероятностью P1P2 объединение этих систем приведет в конечном итоге к равновесному состоянию с энтропией η(P1P2). Поскольку энтропия, как всякая функция, обладает свойством аддитивности, должно выполняться соотношение: η(P1)+η(P2)=η(P1P2). Но таким свойством обладает как раз однородная логарифмическая функция, так что можно смело записать η(P)=klnP.
Вероятность Больцмана P определяется количеством способов, которыми реализуется данное термодинамическое состояние n. Если допустить, что натуральное число n в соотношении для вероятности w некоторым образом (комбинаторно) определяет количество способов изменения термодинамического состояния на соответствующем временном шаге, то такое условие, очевидно, будет однозначно определять взаимосвязь количества способов, возникающих в течение всего времени протекания процесса t=nΔt, с масштабом времени Δt, тем самым, устраняя исходную неоднозначность этого масштаба. При этом очевидно, что суммарная термодинамическая вероятность P будет включать в себя все возможные способы изменения состояний на каждом временном шаге n, выражаемые вероятностью w. Отличие в подсчете вероятности в данном случае заключается в том, что дискретизирется время, тогда как Больцманом, а впоследствии и Планком в спектре равновесного излучения, дискретизировалась энергия. От дискретизации времени, между прочим, всего один шаг до квантов времени (планковского масштаба) и далее - к квантам энергии. При этом ньютоновский подход непосредственного квантования времени, в отличие от квантования энергии, представляющей собой инвариант во времени, снимает все вопросы оппонентов Больцмана (в том числе и современных) о фундаментальности закона возрастания энтропии со временем.
Действительно, если Tn имеет ненулевой предел Tmin при n стремящемся к бесконечности, тогда термодинамическая вероятность w=(T0/Tn)a/n, определяющая изменение энтропии на заданном промежутке времени Δt, со всей очевидностью стремится к единице - т.е. к своему минимальному значению, логарифм которого равен нулю. Следовательно, процесс охлаждения любого материала имеет своим пределом ненулевую температуру и нулевое значение изменения энтропии (последнее обстоятельство было установлено Планком; он же, кстати, ввел и размерную постоянную k, которая, тем не менее, называется постоянной Больцмана). Отсюда следует, во-первых, что если больцмановская термодинамическая вероятность P эквивалентна сумме логарифмов вероятности W, то она должна стремиться в пределе к максимальному значению, так что энтропия, соответственно, асимптотически неуклонно стремится к своему максимуму (второе начало термодинамики Клаузиуса), - но никогда его не достигнет в силу бесконечности натурального ряда чисел, - и во-вторых, что существует абсолютный нуль температур (третье начало термодинамики Нернста), определяемый, согласно газовым законам, значением Tmin=-273oС. И все это - в одном флаконе научной "аптеки" Ньютона, который веками пылился на полке, оказавшись невостребованным наукой!
Кроме того, закон охлаждения Ньютона, а вместе с ним и закон возрастания энтропии, необратимы во времени. Перемена знака времени t никоим образом на них не сказывается, поскольку, наряду с изменением знака времени, изменяется и знак интервала времени Δt, так что параметр n не выходит за область натурального ряда чисел, оставаясь в любой системе координат не более чем инструментом счета последовательности термодинамических состояний в процессе охлаждения. В этом состоит принципиальное отличие закона охлаждения Ньютона от его же динамических законов, обратимых во времени. Следовательно, способ подсчета термодинамической вероятности Больцмана, вытекающий из закона охлаждения Ньютона, устраняет из обоснования термодинамики любую, даже ничтожно малую вероятность процессов, которые при достаточно длительном времени приводили бы к уменьшению энтропии.
Таким образом, есть все основания рассматривать Исаака Ньютона, по меньшей мере, как непризнанного предтечу второго начала термодинамики, ибо он первым предложил рассматривать изменение количества теплоты тела в пропорции к его температуре. Из этого фундаментального принципа и логарифмической шкалы температур, открытой им экспериментально, естественным образом следует вся последующая термодинамика, - в том числе и третье начало. Гениальность непостижима для рассудка. Каким образом Ньютон сумел распознать практически на ровном месте то, что стало более или менее понятным (и даже более того) только спустя два-три века, - после чрезвычайно извилистого и запутанного пути, которым пошла термодинамическая наука, не обратив внимания на прямой путь, указанный Ньютоном, - навсегда останется загадкой. Многих частных деталей он, конечно, не знал, но уловил самую суть термодинамики - явную связь процессов охлаждения со временем, - т.е. то, что и до сих пор остается проблемой номер один для науки.
Исаак Ньютон
"Теплота, которую нагретое тело сообщает в заданное время смежным с ним телам, т.е. теплота, которую железо утрачивает в продолжение заданного времени, пропорциональна всей теплоте железа".
"...если времена охлаждения понимать равными, то теплоты будут в геометрической прогрессии и могут легко быть найдены по таблице логарифмов".
|