А. К. Толстой. Песня о походе Владимира на Корсунь (1869)
1) Существующая этимология
а) Викисловарь
Корень: -бельмес-. Значение: в связке "ни бельмеса не" ничего (обычно о незнании языка, реже о некомпетентности).
Этимология по Максу Фасмеру
Происходит от тат., тур. bilmas "он не будет знать" (от bilmak) или тур. bilmaz "несведущий". (???)
б) Этимологический словарь русского языка. - М.: Прогресс М. Р. Фасмер 1964-1973: "Бельмес, только в выражении ни бельмеса не понимает. Из тат., тур. bilmas "он не будет знать" (от bilmak) или тур. bilmaz "несведущий"; см. Корш, AfslPh 9, 491; Бернекер 1, 40; Ше;льд, ZfslPh 5, 392". (???)
в) Толковый словарь В. Даля
Бельмес, м. татарск. балбес, дурень, болван, ничего не смыслящий. Более употреб. в поговорке: Он ни бельмеса не смыслит, ни аза в глаза. Не смыслит ни бельмеса, а суется бесом. (???)
г) ЭСБЕ/Бельмес
Бельмес. - Происходит от татарского и турецкого глагола бельмек - знать, от которого 3-е лицо настоящего времени будет бильмес или бильмез (не знает); у нас превратилось в бельмес. Отсюда выражение: ни бельмеса не понимает. (???)
д) Словарь иностранных слов. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865: "Тур. belmez. Употребляется в выражении: он ни бельмеса не знает, т. е., он аза в глаза не знает". (???)
2) Применение термина в русском языке. Национальный корпус русского языка
* С. П. Жихарев. Записки современника (1806-1809): "а зачем же на вечерах у Марьи Алексеевны проповедуешь ты эту чепуху барыням и барышням, которые ни бельмеса не смыслят в нашей драматической поэзии?".
* Н. Г. Чернышевский. Что делать? (1863): "Синий чулок с бессмысленною аффектациею самодовольно толкует о литературных или ученых вещах, в которых ни бельмеса не смыслит, и толкует не потому, что в самом деле заинтересован ими, а для того, чтобы пощеголять своим умом (которого ему не случилось получить от природы), своими возвышенными стремлениями (которых в нем столько же, как в стуле, на котором он сидит) и своею образованностью (которой в нем столько же, как в попугае)".
* А. Ф. Писемский. Люди сороковых годов (1869): "И вообразите, кузина, - продолжал Павел, - с месяц тому назад я ни йоты, ни бельмеса не знал по-французски".
* А. П. Чехов. Дочь Альбиона (1883): "Все одно, ни бельмеса по-русски не смыслит".
* А. Д. Галахов. Из "Сороковых годов" (1892): "Господь с вами, Авдотья Петровна: да я ни бельмеса не знаю, по-немецки; ваше чтение будет не в коня корм".
3) Обобщение и вывод
Термин "бельмес" в русской литературе зафиксирован с 1806 года, в Словаре церковнославянского и русского языка 1847 г. статья: "Бельмесъ. Означение совершенного невежества. Онъ ни бельмеса не смыслитъ"; т.е. НИЧЕГО, НИЧТО, НИ О ЧЕМ. Более раннее применение слова установить не удалось.
Нет никаких примеров применения слова в "тюркских" (татарский, турецкий) языках - текстов с указанием времени появления термина на турецком или татарском языках. Вся этимология основана на том, что слово существует в этих языках, но оно также существует и в русском языке, и мы определили нижнюю границу времени появления слова - 1806 год.
Из материалов Национального корпуса русского языка ясно, что термин в литературу ввели крупные русские писатели, А.С. Пушкин, Н.В. Гоголь и другие.
Вывод
Невозможно высказывать мнение о татарской или турецкой этимологии "bilmak, bilmaz" не имея древних письменных источников - текстов.
Целесообразно рассмотреть термин в связи с терминологией иврита и библейскими образами. Известно, что до прихода татар в бассейн Волги (XIII в.), там существовал Хазарский каганат (VIII-XII вв.), государственная религия - иудаизм, государственный язык - иврит. Есть логическое и историческое основание для анализа термина и подтверждения гипотезы.
4) Терминология иврита и библейский образ
а) Терминология
Приведем термин в форму близкую к грамматике иврита, удалим гласные (согласные по традиции принадлежат Богу) и выделим корень.
русск. БЕЛЬМЕСЪ = без гласных Б.Л.М.С. = Б.Л.М. + С.; у нас сразу же появляется корень иврита Б.Л.Й.М. - ничто.
* Примечание
Википедия/Ь ерь: "Древнее значение - сверхкраткий вариант звука И"; по другим версиям Е.
Общий вид
Русск. БЕЛЬМЕСЪ = Б.Л.М. + С. = ивр. без огласовок Б.Л.Й.М. + С окончание или ивр. Зе - это; с гласными БЕЛИМА בְּלִימָה ничто + З זֶה это, этот; т.е. БЕЛЬМЕЗ = ничто это.
б) Источник
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому; https://www.obohu.cz/bible/index.php?hs=H1099&k=Oz...
Hомер Стронга: H1099. Оригинал: בְּלִימָה. Произношение: бэлима. Часть речи: Существительное мужского рода. Этимология: от H1097 и H4100 - ничто.
* См. Еврейский и халд. этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878, БЕЛИМА, с. 65.
в) Библейский образ
Иов 26:7: "Он распростер север над пустотою, повесил землю ни на чем (БЕЛИМА ничто, ни на чем не основан Синодальный перевод).
В иврите существует выражение - БЕЛИМАТ ПЕ בְּלִימָת־פֶּה молчание, затыкание рта; также ТАЛУИ АЛЬ БЕЛИМА ни на чем не основан.
Таким образом, используя терминологию иврита и библейский образ, мы получили разумное содержание термина, его можно помыслить и провести с ним логические операции мышления (анализ, синтез и т.д.) в системе общей идеологии (религии) и терминологии. Слово "привязано" к сакральному языку иудеохристианства, в отличие от предлагаемой необъяснимой турецкой и татарской этимологии.