Докажите теорему А:

Пусть t является целой функцией с периодом единица, отличной от константы.
Пусть S означает множество коплексных чисел z таких, что 0 < Re( z ) < 1 .
Тогда: Для любого комплексного числа p в домене S, за исключением, быть может, одного значения, существует решение u уравнения J(u)=p,
и это решение не единственно.

Докажите нижеследующую Теорему B:

Пусть C обозначает множество комплексных чисел z таких, что |Im(z)|>0 и/или z>-2.
Тогда Существует единственная голоморфная на C функция F такая, что
F(z^*)=F(z)^* для всех z из C , и
exp(F(z))=F(z+1) для всех z из C
и F(0)=1.
Существует только одна такая функция.

Предложите алгоритм для вычисления этой функции.

Задача на построение A

Пусть C обозначает множество комплексных чисел z таких, что Im(z)>0 или z>1.
Построить голоморфную на C функцию h такую, что
h(z^*)=h(z)^* для всех z из C, и
h(h(z))=z! для всех z из C , и
при больших |z|, |h(z)| растет медленнее, чем exp(|z|).
Исследуйте единственность этой функции. Предложите алгоритм для ее вычисления.

Задача на построение B

Для вещественного d>0, пусть B обозначает множество комплексных чисел z таких что по крайней мере одно из условий ниже выполнено:
|z| < 1 или { Re(z)>0 , |Im(z)|<d } .
Пусть C обозначает множество комплексных чисел, которые не принадлежат B.
Построить пример целой функции F, такой что F(0)=1 и |F(z)|<|z| для всех z из C.
Предложите алгоритм для вычисления этой функции.

Целая функция с логарифмической асимптотой

Построить целую функцию, которая при больших положительных значениях вещественной части аргумента и/или при больших значениях мнимой части аргумента верет себя как логарифм.

External links:
http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html Tanya Khovanova. "Coffins". Here is a collection of difficult math problems with elegant solutions that possess a unique history. (2008)
Related topics:
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml Наука
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mathematicsr.shtml Математика
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/ackermannr.shtml Функции Аскермана
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mathematicalproblems.shtml English version of this text