Мы уже несколько раз возвращались к этой теме. И не только мы...
Вопросов было много. И ответов предлагалось не меньше.
Объективных и не очень. Обоснованных и надуманных.
Мне не хочется снова поднимать этот пласт спорных противостояний, в которых есть и правильные ответы. Эти ответы то хотят видеть, то закрывают на них глаза. Это уже превращается в игру. Тут вижу, тут - не вижу. В зависимости от ситуации...
Я решил покопаться сам, и не смотреть те многочисленные исследования этого вопроса, которые уже публиковались на АТ в последние годы. Захотелось разобраться, не отягощая себя уже опубликованными версиями. Я заранее приношу свои извинения всем авторам, занимавшимся этими вопросами. Этих материалов я читал много, но сейчас мы постараемся подойти к ответу максимально самостоятельно.
Формальная статистика.
Мы видим, что в "Началах" задача "о крайнем и среднем отношении... " упоминается или, по крайней мере, мне встретилось в тексте, вот столько раз:
Предложение 2.11.
Определение 6.3.
Предложение 6.17.
Предложение 6.30.
Предложение 10.32 (лемма31).
Предложение 10.60.
Предложение 10.91.
Предложение 13.1.
Предложение 13.2.
Предложение 13.3.
Предложение 13.4.
Предложение 13.5.
Предложение 13.6.
Предложение 13.8.
Предложение 13.9.
Предложение 13.17.
Предложение13.18.
Предложение 14.3.
Предложение 14.6.
Предложение 14.7.
Предложение 14.8.
В номере, через точку: первая цифра - книга, вторая - предложение.
Мы это уже помним.
Причем, здесь не учтены сопряженные с ней задачи, которые определяют применение задачи о крайнем и среднем. Например, предложения 6.16 и 6.29.
Перечисления сделали, теперь можем остановиться на частностях.
Формально вопрос "деления прямой в крайнем и среднем отношении..." рассматривался в начале изложения, в предложениях книги 2. В теории пропорций, в её заключительном разделе, в книге 6. В описании прямоугольного треугольника и квадрата при рассмотрении биномиалей и рационалей в книге 10. И, наконец, в применении к построениям в "платоновых телах", это книги 13 и 14.