# Динамические диаграммы Пенроуза - обмен световыми сигналами

Петр Васильевич Путенихин

Рассмотрены сущность диаграмм Картера-Пенроуза, механизм их построения и пример использования. Приведена анимированная, динамическая диаграмма Пенроуза для случая обмена световыми сигналами между неинерциальными и инерциальными системами

Сущность диаграмм Пенроуза


Диаграммы Пенроуза позиционируются как конформное отображение бесконечного пространства на ограниченное пространство диаграммы. Главным достоинством конформного отображения при этом провозглашается сохранение углов при таком отображении. Однако, легко заметить на диаграмме, что сохраняется только один-единственный угол - светоподобный. Ни один другой угол в результате конформного преобразования диаграммы Минковского в диаграмму Пенроуза не сохраняется. Действительно, на диаграмме Минковского мировые линии равномерно движущихся событий на всём протяжении имеют неизменный угол между собой. Здесь же этого нет. Даже для событий неподвижных в пространстве мировые линии, которые в этом случае совпадают с вертикальными дуговыми линиями сетки диаграммы, явно не параллельны как на диаграммах Минковского. Пример диаграммы Пенроуза приведен на рисунке:


Рис.1 Анимированная диаграмма Пенроуза. Изображены мировые линии, уравнения которых приведены справа вверху диаграммы.


Опишем некоторые базовые обозначения на диаграмме. Традиционно нанесены обозначения граней и углов:

𝕵+ -светоподобная (или нулевая) бесконечность будущего;

𝕵- - светоподобная (или нулевая) бесконечность прошлого;

i+ - времениподобная бесконечность будущего;

i0 - пространственноподобная бесконечность;

i- - времениподобная бесконечность прошлого" [1].


Светоподобные бесконечности также помечены как бесконечные значения радиуса-вектора r = +∞. Этим же граням соответствуют и бесконечные значения времени t = +∞, знак совпадает со знаком светоподобных бесконечностей. Дугообразные вертикальные линии ярко-бирюзового цвета обозначают линии r = const. Цвет подобран таким образом, чтобы не затенять мировые линии на диаграмме. Дугообразные горизонтальные линии, то есть, линии протянутые между пространственноподобными бесконечностями i0, обозначают линии t = const.

Линия оранжевого цвета - это линия настоящего, то есть линия, соответствующая текущему моменту времени. Понятно, что в динамике любые мировые линии могут начинаться в любой точке диаграммы ниже этой линии, а заканчиваться на ней. Никаких событий выше линии настоящего не может быть, только ожидаемые, предполагаемые, которые могут произойти в будущем.

На традиционных диаграммах Минковского могут быть нанесены еще два вида характерных линий, которые названы изохронами, то есть, линиями равного времени, прошедшего при движении от начала координат, для всех без исключения ИСО на диаграмме и изотрасами, то есть, линиями равных расстояний для этих ИСО, то есть, их удаленности от начала координат [2]. Подобные линии на диаграммах Пенроуза имеет смысл наносить только в случае инерциального движения всех участников, поскольку лоренцево изменение расстояний и времени при ускоренных движениях определяется иными соотношениями, нежели в СТО.

Можно отметить, что для реализации принципа относительности, довольно просто реализуемого на диаграммах Минковского, нам также следует создавать две различных диаграммы Пенроуза для каждой из инерциальной ИСО. Приведенная выше анимация и нижеследующее её детальное рассмотрение соответствует случаю движения неинерциального движения двух наблюдателей с точки зрения инерциальной, условно неподвижной, лабораторной ИСО, в которой построена эта диаграмма.

Сетка диаграммы выбрана условной, то есть, каждое деление расстояний или времени может подразумевать в любом масштабе. Это могут быть, соответственно, метры и световые метры, километры и световые километры, годы и световые годы. В этом случае горизонты диаграммы, то есть, бесконечности на гранях, образуют квадрат, а объекты, движущиеся со скоростью света, имеют светоподобные мировые линии. Если же мировая линия, геодезическая имеет наклон к горизонтальной оси r меньше 45 градусов, то такая мировая является пространственноподобной и соответствует тахионному движению, движению со сверхсветовой скоростью.

Эти соотношения непосредственно следуют из использованного конформного преобразования вида:


u = arctg(t - r)


v = arctg(t + r)


где u, v - новые значения координат на диаграмме Пенроуза.


Поскольку диапазон изменения u и v простирается от -π/2 до +π/2, стороны квадрата (ромба) диаграммы Пенроуза равны π. Для нанесения координатной сетки сначала для каждого значения t = -n, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., n строится сплошная линия r = -m...m. При этом на диаграмму наносятся дуговые линии, вытянутые от i- к i+. Затем для каждого значения r = -m, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., m строится сплошная линия t = -n...n. При этом на диаграмму наносятся дуговые линии, вытянутые между i0.

В данной работе мы рассматриваем не традиционные диаграммы Картера-Пенроуза, являющиеся статическими изображениями процессов, а эти же диаграммы в динамике. На анимации эти статические изображения являются отдельными кадрами и позволяют рассматривать процесс движения в динамике, что делает картину существенно нагляднее.

На рисунке выше анимация демонстрирует гипотетический случай обмена световыми сигналами между двумя участниками r1 и r2. Траектории движения участников, их мировые линии описываются уравнениями движения, подобными движению снаряда или камня, брошенного вверх в условиях земной гравитации. Участники движутся навстречу друг другу с некоторыми скоростями и тормозящими ускорениями.

Параметры их уравнений движения выбраны достаточно условно, наугад, поэтому оказалось, что на некоторых участках движения их скорости превышают световую.


Рис.2 На начальных участках мировые линии событий имеют сверхсветовые скорости


Мировые линии света для наглядности изображены красным и малиновым цветом. Их уравнения r3 и r4 также помечены соответствующим цветом. Понятно, что уравнения r1 и r2 соответствуют мировым линиям движущихся событий совпадающего цвета - синего и зеленого. В процессе движения в пространстве-времени на динамической диаграмме выводятся соответствующие значения координат этих мировых линий на момент времени t - верхнее уравнение.

Как видно на диаграмме, объекты встретились примерно в момент времени t = -5.36, то есть, в прошлом по отношению к нулевому времени r = 0 (помечено красным кружком).


Рис.3 Встреча событий в момент времени t = -5.36 (в красном кружке)


Следует понимать некоторую условность такой встречи, поскольку объекты (события) движутся определенно по одной линии и такая встреча тождественна столкновению. Через некоторое время, после расхождения событий в противоположных направлениях от события r2 (зеленая мировая линия) в обратном направлении t = -3.28 посылается световой сигнал к r3 (красная мировая линия):


Рис.4 От события r1 отправлен сигнал r3 к событию r2 в момент времени t = -3.28


Следующим примечательным событием на данной диаграмме является получение светового сигнала r3 событием (объектом) r2 и отправка им ответного сигнала r4 к событию (объекту) r1. Как следует из диаграммы этот ответ произошел в момент времени t = 0.29:


Рис.5 Событие r2 отправляет ответный сигнал r4 к событию r1 в момент времени t = 0.29


Последним событием в обмене сигналами является момент времени t = 3.88, когда ответный сигнал r4 от события (объекта) r2 принят событием (объектом) r1:


Рис.6 Событие r1 получает ответный сигнал r4 от события r2 в момент времени t = 3.88


После получения ответного сигнала участники r1 и r2 вновь встречаются в момент времени t = 4.67, как видно на этом же рисунки, и продолжают движение в противоположных направлениях. В дальнейшем можно вновь увидеть у участников сверхсветовое движение. Но это, как отмечено, связано с некорректным составлением уравнений их движения. Эта обязанность лежит на разработчике уравнений, именно он должен вносить в них корректировки, не допускающие сверхсветового движения:


Рис.7 На конечных участках мировые линии событий имеют сверхсветовые скорости


В связи с такими сверхсветовыми скоростями на диаграмме можно заметить интересные моменты. На рис.7 объект (событие) r2 встретился с сигналом r4, который он ранее послал. Если продолжить анимацию до более поздних моментов времени, то такая же встреча произойдет и у объекта (события) r1 - он встретится с сигналом r3, который послал ранее. При этом должен наблюдаться парадокс, который непосредственно на диаграмме незаметен. Как известно, все объекты на диаграмме движутся вдоль одной-единственной линии. Можно это изобразить в виде рисунка:


Рис.8 Эквивалентное изображение диаграмм Пенроуза


На рисунке показаны те самые 2-сферы, которые обозначаются точками на диаграмме Пенроуза. Кстати, это изображение можно применить и к диаграммам Минковского. Вся диаграмма Пенроуза представляет собой полярную систему координат с радиус-вектором r. Но ни на самой диаграмме и нигде в описаниях нет упоминаний о других координатах этой системы. Для трехмерного пространства недостает ещё двух координат - углов. Поскольку на диаграммах они не упоминаются, то это тождественно тому, что их значение может быть любым. А это и означает, что все возможные направления радиус-вектора r отождествляются в одно направление. Это направления и изображено на рисунке. Реально на диаграмме, таким образом, отображаются, условно говоря, единичные точки на каждой 2-сфере. Иными словами, любое движение по радиус-вектору r предполагает пересечение, столкновение объектов-событий. То есть, в некоторые моменты времени два разных события могут физически находится в одной точке пространства. При равных скоростях эти события движутся как одно целое. Таким образом, на диаграмме рис.7 однозначно есть точки, в которых, например, событие r2 (объект) движется с той же скоростью, что и событие r3 (свет).

Эту ситуацию можно экстраполировать на сюжет из кинофильма, в котором рядом с быстро мчащимся автомобилем движется пуля, неподвижно зависая рядом с водителем. Здесь же событие r2 (объект) точно так же может "высунуть руку из окна" и потрогать летящий рядом с ним фотон r3.


Определение точки пересечения


При построении диаграмм Пенроуза, как отмечено, обязанность просчитывать все особенности мировых линий лежит на разработчике их уравнений. Понятно, что можно просто, от руки нарисовать любую линию, соблюдая правило световых конусов. Но такие художественные изображения не позволяют увидеть и показать на диаграммах точного соответствия, поведения мировых линий. В отдельных случаях полагаться на угадывание, где линии пересекутся и пересекутся ли вообще, не лучшее решение.

Следует, между прочим, заметить, что диаграммам Пенроуза в шутку можно вполне обоснованно дать называние "королевство кривых зеркал". Действительно, изобразить на диаграммах математически прямую не светоподобную линию - задача не тривиальная. Нам известно, что оси "скомпрессированы" по закону тангенсов. Попробуем изобразить некую времениподобную мировую линию, которая была бы на диаграмме прямой.


Рис.9 Попытки получить аналитическое уравнение прямой мировой линии


Поскольку для конформного преобразования использовалась функция арктангенса, то логично предположить, что и уравнение прямой не светоподобной линии могло бы содержать эту функцию или её прямой аналог - тангенс. Кроме того, можно предположить, что такую мировую линию могли бы образовать функции, подобные функциям светоподобных мировых линий, то есть, содержащие параметр времени в первой степени.

К сожалению, предположения не оправдались и все мировые линии, как видно на рисунке, сильно искривлены. Конечно, можно этот вопрос исследовать более тщательно, но, как отмечено, вопрос не тривиальный.

Впрочем, есть более конкретная задача для рассмотренных диаграмм: определение точек пересечения мировых линий. В сущности, на этот раз задача является тривиальной. У нас есть аналитические уравнения и нам нужно найти точку их пересечения. Найдем, например, точку испускания второго луча. Эта точка определяется пересечением двух известных мировых линий, поэтому необходимо просто решить систему уравнений:

r2 = x0 + v0(t - t0) + g(t - t0)2/2

r3 = a3 - t

Здесь считается, что первое уравнение - это мировая линия r2 - зеленое событие, а r3 - мировая линия принятого сигнала. Решаем уравнение в общем виде, после чего просто подставим числовые значения. После несложных преобразований находим:

gt2 + 2t(1 + v0 - gt0)+2( x0 - a3 - v0t0) + gt02 = 0

Находим его корни:


t1 = (-b + -D)/2a


t2 = (-b + -D)/2a


где

a = g

b = 2(1 + v0 - gt0)

c = 2(x0 - a3 - v0t0) + gt02

D = b2 - 4ac

Из второго уравнения системы находим координату пересечения:

r3 = a3 - t1,2

В заключение отметим, что картина обмена световыми сигналами на диаграмме Пенроуза в принципе мало чем отличается от такой же картины на традиционной диаграмме Минковского [2]. Различия, главным образом, заключаются в том, что на диаграмме Пенроуза все мировые линии могут быть продолжены сколь угодно в пространстве-времени диаграммы, а мировые линии инерциальных наблюдателей на диаграммах Минковского являются строго прямыми линиями.


Инерциальное движение - ИСО


Как отмечено, диаграммы Пенроуза являются конформным преобразованием диаграмм Минковского. Чаще всего диаграммы Пенроуза используются в общей теории относительности при рассмотрении неинерциального (с ускорением) движения или движения с учетом гравитационных сил, например, действия космологических Черных дыр. Однако, нет никаких препятствий для использования их и для исследования инерциальных систем отсчета - ИСО.

В этом случае следует формировать столько диаграмм, сколько на ней имеется инерциальных участников движения. Рассмотрим случай обмена световыми сигналами теперь уже для двух таких ИСО - А и В. Анимированные диаграммы представлены ниже:


Рис.10 Диаграммы Пенроуза для двух ИСО, обменивающихся световыми сигналами


На рисунке представлены диаграммы, полностью соответствующие диаграммам Минковского. Слева - ситуация с точки зрения неподвижного наблюдателя ИСО В, справа - ИСО А.

При построении правой диаграммы для ИСО А мы задали произвольную точку отправки светового сигнала r3, задав время t = -1.8. Мировая линия ИСО В описывается в данном случае уравнением rB = 2 + 0.2t. Поэтому точка испускания света в пространстве равна

r = 2 + 0.2t = 2 - 0.2*1.8 = 1.64

Далее таким же образом мы находим и точку встречи этого луча наблюдателем ИСО А. В этот же момент времени он отправляет ответный световой сигнал r4. Через какое-то время этот сигнал достигает ИСО В.

Все точки в пространстве-времени излучения и приема сигналов легко рассчитываются по уравнениям мировых линий и точке излучения первого сигнала.

Теперь мы переходим в локальную систему наблюдателя ИСО В. Уравнение движения ИСО А относительно него зеркально меняется: rА = -2 - 0.2t. Для проверки принципа относительности мы находим явным порядком координаты всех известных нам точек излучения и получения сигналов. При этом мы знаем, что отрезки времени в ИСО В сократились по сравнению с отрезками в ИСО А. Мы можем вычислить и точку начала отсчета, когда две ИСО находились рядом, и коэффициент лоренцева сокращения. Поскольку скорость равна 0.2с (пятая часть скорости света), то коэффициент сокращения близок к единице - ок.0,98. Используя эти значения, мы наносим на левую часть диаграммы точки испускания и поглощения света. Понятно, что направления лучей остаются такими же, а сами лучи - светоподобные.

После внесения в алгоритм программы этих точек и запуска программы, мы видим, что все в точности соответствует описанной картине в ИСО А. Сначала из ИСО В излучается луч r3, после получения которого в ИСО А излучается ответный сигнал r4. Все точки находятся на мировых линиях участников, никаких разрывов нет.

Таким образом, видим, что диаграммы Пенроуза полностью соответствуют диаграммам Минковского [2].


Литература

1. Фиткевич М.Д., Диаграммы Пенроуза, сайт "Блог друга Винера", 2015, URL:

https://theormax.wordpress.com/2015/09/15/диаграммы-пенроуза

2. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Минковского на примере обмена световыми сигналами, 2014, URL:

http://econf.rae.ru/article/9643

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ddm-light.shtml


Автор: Путенихин Петр Васильевич

26.10.2016