Путенихин Петр Васильевич. О количестве информации на горизонте Черной дыры

Утверждается, что информация в чёрной дыре измеряется площадью её поверхности, что энтропия чёрной дыры определяется площадью её горизонта, что горизонт является местом их хранения. И, напротив, в объёме чёрной дыры информация не содержится. Все это крайне интересно, поскольку весьма странно. Ясно, что площадь горизонта прямо связана с объемом черной дыры. Почему же информация "выдавливается" на её поверхность? Что вообще это означает? В сущности, горизонт событий Черной дыры - это материально ничем не примечательное место в пространстве, главной особенностью которого является лишь некоторое специфическое значение гравитационного потенциала. Действительно, пространства чуть выше или чуть ниже горизонта различаются только этим, и свободно падающий наблюдатель никак не сможет увидеть, почувствовать разницу между ними.

Описание явления можно легко найти в интернете. Но весьма простое и весьма развернутое доказательство этого явления приведено в популярной книге Сасскинда [1]. Конечно, оно не является строгим научным описанием, однако, выводы все-таки сформулированы достаточно четко и однозначно. Авторитет автора не вызывает никаких сомнений - это один из ведущих физиков современности. И здесь возникла интересная ситуация. Простая попытка уточнить, почему же все-таки объём черной дыры не содержит информации, привела к неожиданному результату. По сути, вышло, что утверждение Сасскинда неверное. Во-первых, тезис о равенстве информации в черной дыре площади её горизонта не подтверждается. Разница почти в 8 раз. Во-вторых, объем черной дыры явно связан с объемом содержащейся в ней информации. Как-то это странно выглядит: при добавлении информации объем черной дыры возрастает по строгой функциональной зависимости. Связь имеется, но почему отрицается наличие в этой связи информации?

Очень простое доказательство приведено на 155 странице книги [1]. Вкратце оно выглядит следующим образом. Автор предлагает вычислить, насколько увеличится площадь горизонта черной дыры при добавлении к ней одного бита информации. Сначала вычисляется увеличение энергии черной дыры от добавления этого бита, затем по формуле Эйнштейна определяется увеличение её энергии, которая после этого переводится в массу. По изменившейся массе черной дыры определяется новый гравитационный (шварцильдовский) радиус черной дыры и по его величине определяется прирост площади горизонта дыры.

Опустим все предварительные рассуждения и сразу перейдем к основному выражению. После добавления черной дыре одного бита информации её масса увеличилась на величину:

Здесь Δm - увеличение массы черной дыры, R_s - её исходный гравитационный радиус, с - скорость света, а h - постоянная Планка. Продолжим выкладки, не сильно отклоняясь от рассжудений автора, и вычислим новую массу ЧД:

По этой массе, равной исходной массе плюс её приросту, найдем новый гравитационный радиус ЧД:

Здесь ΔR_s и есть прирост гравитационного радиуса. Можно сравнить, у автора получился точно такой же результат [1]:

Однако, как мы предположили выше, есть хитрость, которая состоит в том, что объем и радиус сферы однозначно взаимосвязаны. А, поскольку объем информации пропорционален площади сферы, то, выходит, он также должен быть пропорционален и её объему. Новый объем сферы черной дыры после поглощения бита информации равен сумме исходного объема и его прироста за счет увеличения радиуса:

И её площадь

Исходные объем и площадь сферы равны:

Пропорции увеличения объема и площади заметно не равны. Площадь увеличилась в:

Объем увеличился в:

Самое интересное и вместе с тем опасное - это трактовки полученных результатов. Как видим, при увеличении информации на 1 бит площадь возрастает как квадрат, а объем - как куб некоторой величины. Пока неясно, что это означает. Рассмотрим два параметра сферы:

Пусть радиус сферы увеличится в k раз, тогда:

Первая очевидность, бросающаяся в глаза, это степенная пропорциональность. При увеличении информации в черной дыре её площадь и объем увеличиваются согласно соответствующим степеням увеличения радиуса. Но почему возникает такая интересная связь - пропорциональность между информацией и площадью поверхности черной дыры (горизонта)? На каком основании сформулировано правило:

"Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу". [1]

Выше мы (и автор книги) нашли, что прирост радиуса черной дыры от добавления к ней 1-го бита составил:

И, как утверждается, эта величина приводит к увеличению площади горизота, равной, в сущности, константе, поскольку правило имеет вид универсальной формулировки. Однако, это не совсем очевидное утверждение. Действительно, R_s - это радиус некоторой черной дыры. Но эта величина определённо не является константой. Поэтому на один бит информации прирост площади горизонта вследствие прироста радиуса черной дыры, вполне может быть в каждом случае разным! Попробуем вычислить его, найдя разницу исходной площади и увеличившейся:

Раскрываем скобки и производим тривиальные преобразования

Согласно сформулированному правилу, это уравнение показывает, что при увеличении информации в черной дыре, её площадь увеличивается на величину, все-таки зависящую от размеров черной дыры. Вынесем константы за скобку:

Оценим значение правого слагаемого в скобках, оставив только их порядок:

К нашей радости, одна из неудобных величин в скобках оказалась очень малой по сравнению с единицей. Учитывая порядок малости, отбрасываем это слагаемое, поэтому:

Выражение предельно упростилось, с подавляющей точностью превратившись в константу. Оценим и её величину:

Это и есть прирост площади горизонта при добавлении к черной дыре одного бита информации. Для сравнения с ним вычислим квадрат планковской величины:

Конечно, как видим, в смысле пропорциональности правило выполняется с удовлетворительной точностью, поскольку все-таки 2,6 заметно не равно 20. Различаются они почти в 8 раз. Поэтому тезис Бекенштейна является более точным:

"Энтропия черной дыры, измеренная в битах, пропорциональна площади ее горизонта, измеренной в планковских единицах".[1]

При этом коэффициент пропорциональности является константой, равной примерно 7,7:

Конечно, можно, как автор книги сказать более кратко, но это будет совсем уж неточно:

"Информация равна площади" [1]

Правильнее было бы сказать, что информация в 8 раз больше площади.

Однако, задачу нельзя считать решенной окончательно, не рассмотрев все эти же выкладки теперь уже в отношении объема черной дыры. Для этого сравним исходный и конечный объемы, где ΔV, V_Δ и V - прирост объема черной дыры, её увеличившийся объем и исходный объем, соответственно:

Вынесем, какие возможно, константы (дробь) за скобку:

Упростим выражение:

Вспомним вновь о порядке малости и удалим лишние слагаемые во внешних скобках:

Оценим величину полученного выражения и сравним его с планковской площадью:

Этому выражению можно дать весьма простую, наглядную трактовку. Как видим, это параллелепипед с площадью основания, равной планковской площади и высотой, равной примерно 4 радиусам черной дыры. Другими словами, добавление одного бита к черной дыре увеличивает её объем пропорционально её радиусу, умноженному на планковскую площадь. В сущности, это должно быть понятно, ведь с ростом радиуса объем сферы растет медленнее площади её поверхности ровно в треть радиуса раз:

Откуда:

В нашем случае подобное же правило выполняется и для приращений этих величин вследствие добавления к черной дыре одного бита информации:

Откуда:

Получилось, что и площадь горизонта черной дыры и её объём при добавлении одного бита информации возрастают строго синхронно и с четко определенной пропорциональной зависимостью. Другими словами можно сказать, что в этом случае увеличение площади черной дыры и её объема пропорциональны планковской площади с коэффициентами, равными примерно 7,7 и 3,85R_s, соответственно. Конечно, можно было бы сказать, что главный ответ по-прежнему неясен: почему площадь дыры пропорциональна информации в единицах планковской площади:

"Каким-то образом в принципах квантовой механики и общей теории относительности скрыта загадочная связь между невидимыми битами информации и кусочками площади планковского размера" [1]

Однако, с учетом приведенных вычислений правильнее было бы задать вопрос в более развернутом виде: почему они различаются в 7,7034 раза. Поскольку все-таки она ей не равна, в математическом смысле сформулированное правило не совсем точное:

"если взять черную дыру земной массы (размером с клюквину) или черную дыру в миллиард раз массивнее Солнца? Попробуйте -- с числами или с формулами. Каков бы ни был исходный размер черной дыры, всегда выполняется правило" [1]

И более того, полученный весьма абстрактный коэффициент несколько меняет интригу: уж не новая ли это мировая космологическая или информационная константа?

В приведенных вычислениях использованы следующие значения величин:

Постоянная Планка, h = 6,6162х10^-34

Шварцшильдовский радиус черной дыры, R_s = 3000 м

Скорость света, с = 299'792'458 м/сек

Гравитационная постоянная, G = 6,67384x10^-11

Литература

1.Сасскинд Леонард, Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики. -- СПб.: Питер, 2013. -- 448 с.

Комментарии: 1, последний от 16/08/2018. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 01/10/2016, изменен: 16/04/2018. 12k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 33 шт.		Ваша оценка:
Аннотация: Действительно ли информация в черной дыре хранится на её поверхности и отсутствует внутри?

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

О количестве информации на горизонте Черной дыры