Путенихин Петр Васильевич. Парадокс часов на экваторе. Обзор решений, гл.3

Парадокс близнецов - обзор решений, гл.3

Путенихин П.В.

Оглавление, URL:

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/twin00.shtml

3. Парадокс часов на экваторе

Решение в рамках специальной теории относительности

Принцип относительности на экваторе

Выводы

Литература

3. Парадокс часов на экваторе

Следует отметить, что практически полностью тождественным парадоксу близнецов является другой, гораздо реже обсуждаемый тезис, сформулированный Эйнштейном в той же работе и следующий сразу же за первым: тезис об отставании часов на экваторе от часов, находящихся на полюсе Земли. По сути, смыслы обоих тезисов совпадают:

"... часы с балансиром, находящиеся на земном экваторе, должны идти несколько медленнее, чем точно такие же часы, помещённые на полюсе, но в остальном поставленные в одинаковые условия" [1].

На первый взгляд это утверждение может показаться странным, ведь расстояние между часами неизменно и нет относительной скорости между ними. Но на самом деле на изменение темпа хода часов влияет абсолютная скорость, которая, хотя и меняет непрерывно своё направление (тангенциальная скорость экватора), но все они дают в сумме ожидаемое отставание часов. Тезис в работе Эйнштейна о часах на экваторе по смыслу полностью совпадает с тезисом об отставании движущихся часов, что видно из следующих рассуждений. На рис.1a на виде сверху условно показаны часы на полюсе Т1 и часы на экваторе T2.

twin03

Рис.1. Движущиеся по окружности часы отстают от часов, находящихся в центре окружности. Это становится более заметно, если добавить неподвижные часы вблизи от траектории движущихся.

Однако исходная формулировка тезиса имеет некоторые недостатки. С релятивистской точки зрения радиус R экватора должен уменьшиться, согласно парадоксу Эренфеста [2], что создаёт некоторую неопределённость в вычислениях. Напротив, с точки зрения системы отсчёта часов T2 теперь уже движущимися по кругу оказываются часы T3, причём движутся они вместе с рельсами - рис.1b. Поскольку рельсы движутся, то их длина также должна испытать лоренцево сокращение, что вновь приводит к парадоксу Эренфеста. В результате уменьшается до величины R' и их реальный радиус, который мы вычислим далее.

Для того чтобы хотя бы частично исключить подобные неопределённости, преобразуем задачу в эквивалентную форму, известную также как парадокс поезда. Будем считать, что часы T2 движутся в поезде по рельсам в неподвижной ИСО часов T1. В процессе движения длина поезда укорачивается, но с рельсами при этом ничего не происходит. Трассу в виде рельсов со шпалами мы изобразили умышленно: они позволяют увидеть, кто движется, а кто покоится.

Согласно рисунку расстояние между часами T1 и T2 неизменно, то есть, между ними, казалось бы, нет необходимой относительной скорости, которую можно подставить в уравнения Лоренца. Однако добавим третьи часы Т3. Они находятся в ИСО часов T1, и идут, следовательно, синхронно с ними. Но теперь мы видим, что часы T2 явно имеют относительную скорость по отношению к часам Т3, находящимся, скажем, на промежуточной станции, и рельсам: сначала часы T2 находятся на близком расстоянии от часов Т3, затем они удаляются и вновь приближаются. Следовательно, с точки зрения неподвижных часов Т3 движущиеся часы T2 отстают от них и, соответственно, также и от часов T1. Переместим теперь часы Т3 настолько близко к траектории T2, что в какой-то начальный момент времени они окажутся рядом, практически в одной точке. В этом случае мы получаем классический вариант парадокса близнецов и оба тезиса из работы Эйнштейна в равной степени могут служить основой для его традиционной формулировки.

Величина отставания часов в этом случае определяется уравнением Лоренца, в которое мы должны подставить тангенциальную скорость движущихся часов. Действительно, в каждой точке траектории часы T2 имеют скорости, равные по модулю, хотя и разные по направлению. Для того чтобы эти разные скорости внести в уравнение, поместим в каждую точку траектории часов T2 свои собственные неподвижные часы Т3 - рис.1a. Все эти новые часы идут синхронно с часами T1, поскольку все они находятся в одной и той же неподвижной ИСО рельсов и часов T1. Часы T2, проходя каждый раз мимо соответствующих часов Т3, испытывают отставание, вызванное относительной скоростью именно с этими часами. За мгновенный интервал времени по этим часам часы T2 также отстанут на мгновенно малое время, которое можно вычислить по уравнению Лоренца. Здесь и далее мы будем использовать одни и те же обозначения для часов и их показаний:

Проинтегрируем это выражение по всем часам и найдём суммарное время отставания:

twin03 (3.1)

Очевидно, что верхним пределом интегрирования являются показания часов Т3 в момент, когда часы T2 и Т3 вновь встретятся. Как видим, показания часов T2 < T3 = T1 = T. Лоренцев множитель мы выносим из-под знака интеграла, поскольку он является константой для всех часов. Введённое множество часов можно рассматривать как одни и те же часы - "распределённые в пространстве часы". Это "пространство часов", в котором часы в каждой точке пространства идут синхронно, и обязательно некоторые из них находятся рядом с движущимся объектом, с которым эти часы имеют строго определённое относительное (инерциальное) движение.

Теперь определим траекторию часов T3, какой она видится в системе отсчёта часов T2. Поскольку кольцевая трасса, рельсы движутся относительно часов T2, она имеет в их ИСО укороченную длину:

Соответственно и радиус этой трассы виден часам T2 также укороченным:

twin03

В процессе движения часы T3 совершают движение в системе координат x0y часов T2. Рассмотрим рис.2a.

twin03

Рис.2. С точки зрения движущихся часов T2, рядом с ними вращается круг из рельсов с закреплёнными на них часами Т3.

На нём мы немного разнесли часы T3 и T2, чтобы исключить их слияние. На самом деле мы считаем, что расстояние между часами в момент совмещения приближается к нулю. Поэтому считаем, что часы T3 также находятся в точке b. Координаты этой точки равны:

twin03

Перепишем уравнения следующим образом:

twin03

Затем найдём сумму квадратов координат:

twin03

Теперь, просуммировав, мы обнаруживаем, что траекторией часов T3 в системе координат часов T2 является окружность, центр которой смещён на величину радиуса:

Таким образом, мы получаем точно такую же картину кругового движения, как и в исходном варианте. Только в этом случае мимо множества часов в системе отсчёта часов T2 движутся часы T3. Следовательно, как и в исходном варианте, теперь уже часы T3 должны идти с замедлением относительно множества этих условно неподвижных часов T2:

twin03 (3.2)

Но, сравнивая уравнения (3.1) и (3.2), мы обнаруживаем противоречие. Какие же часы на самом деле идут медленнее? Парадокс часов, как отмечено выше, означает, что специальная теория относительности, вроде бы, делает два противоречащие друг другу предсказания. Действительно, как мы вычислили ранее, движущиеся по окружности часы отстают от часов, находящихся в центре окружности. Новый полученный результат для ответного кругового движение должен означать, по всей видимости, что с точки зрения специальной теории относительности в этом случае возникает противоположное отставание часов. То есть, теперь уже T2 > T3 = T. Получается, что и на самом деле специальная теория относительности делает два взаимоисключающих предсказания T2 > T3 и T2 < T3?

Решение в рамках специальной теории относительности

Рассмотрим эту задачу более детально исключительно в рамках СТО. Как уже показано, с точки зрения неподвижных часов, находящихся в центре окружности, движущиеся по кругу часы отстают. При этом мы установили, что движение происходит по рельсам, длина которых при этом неизменна, поскольку они "закреплены" за неподвижной ИСО часов на полюсе, в центре круга. Согласно СТО движущийся наблюдатель T2 "видит" длину окружности, рельсов по которым он движется, укороченной:

Впервые этот эффект описал Эренфест в парадоксе вращающегося цилиндра [2]. Относительная скорость движения является инвариантом, поэтому, соответственно, на один оборот у него уходит время:

twin03

Это соотношение прямо следует из инварианта относительной скорости движения: если часы идут замедленно, то длина пути также должна быть укорочена. С другой стороны, это время он измеряет объективно по показаниям собственных часов. Иначе говоря, траектория движения, трасса для него является традиционным релятивистским движущимся стержнем, который испытывает лоренцево сокращение длины. Ему также известно, что в собственной системе отсчёта этот (криволинейный) стержень не испытывает никакого сокращения. То есть, в собственной системе отсчёта длина этого стержня больше той, что измерил движущийся наблюдатель T2:

twin03

Из этого наблюдатель в движущейся ИСО делает очевидный вывод: для внешних наблюдателей T3 и T1, находящихся в ИСО трассы он совершает полный оборот за соответствующее время:

twin03

И это вновь является прямым следствие инварианта скорости относительного движения. Вроде бы, оба наблюдателя пришли к согласованному мнению о том, чьи часы идут медленнее. Но как быть с принципом относительности? Ведь согласно ему часы во внешней ИСО идут медленнее? Иначе говоря, часы T2 отстают от часов T3, но и T3 также должны отставать от часов T2. И здесь нам следует обратить внимание на важное обстоятельство. Действительное отставание часов T2 от часов T3 мы обнаружили, сравнивая показания движущихся часов T2 и внешних часов T3, находящиеся вблизи траектории движения, окружности.

Чтобы определить и отставание неподвижных, внешних часов T3 от движущихся часов T2, вырежем в каждой из ИСО равные отрезки вдоль трассы движения: AB = CD, как показано на рис.3. Отметим, что эти отрезки равны в состоянии покоя. Для движущихся относительно друг друга ИСО смежный отрезок видится укороченным согласно эффекту Лоренца.

twin03

Рис.3. С точки зрения условно неподвижных часов, смежный путь укорочен

C точки зрения ИСО AB отрезок в смежной ИСО CD имеет длину:

Это означает, что с момента совмещения точек A и C в каждой из ИСО пройдёт одинаковое время, за которое смежные, движущиеся относительно, часы достигнут другого конца отрезка - B и D, соответственно. Однако эти же часы в точках A и C уже в принципе не могут встретиться на этих интервалах движения. Следовательно, в смежной ИСО их "увидят" теперь уже другие часы, которые зафиксируют их отставание строго согласно преобразованиям Лоренца.

Действительно, в начале отсчёта по часам ИСО CD часы C были совмещены с часами A', а в конце отсчёта - с часами B'. Часы C прошли интервал A'B' со скоростью v за время:

twin03

А с точки зрения ИСО AB часы C прошли этот же интервал за время:

twin03

то есть, с точки зрения ИСО AB часы C отстали. В ИСО AB часы A и B идут синхронно и их показания всегда равны, поэтому отставание часов C от часов B' тождественно их отставанию и от часов A'.

Аналогичная картина наблюдается и с часами B. Действительно, в начале отсчёта по часам ИСО AB часы B были совмещены с часами D', а в конце отсчёта - с часами C'. Часы B прошли интервал D'C' со скоростью v за время:

twin03

А с точки зрения ИСО CD часы B прошли этот же интервал за время:

twin03

то есть, с точки зрения ИСО CD часы B отстали. В ИСО CD часы C и D идут синхронно и их показания всегда равны, поэтому отставание часов B от часов C' тождественно их отставанию и от часов D'.

Таким образом, принцип относительности соблюдается: с точки зрения каждой ИСО движущиеся мимо неё часы отстают. Но возникает новый вопрос: если ситуация строго симметрична, что при встрече часы T2 и T3 должны показывать одно и то же время? Но выше мы строго показали, что на самом деле часы T2 отстают. Как же совместить эти два вывода?

Объяснение достаточно простое: относительность одновременности. Дело в том, что вырезая в двух ИСО отрезки равной длины, мы должны вспомнить, что предельная длина отрезков разная. В ИСО T2 предельная длина отрезка равна:

То есть, на менее длинном отрезке пути часы отстанут и на меньшее время: ?T2 > ?T3. Часы T3 движутся вдоль менее длинного отрезка, чем часы T2, поэтому и отстанут на меньшее время. Это довольно интересное явление: от встречи до встречи каждые из часов пройдут разные пути. Добавим, что путь для часов T2 короче по определению, именно это мы задали в начальных условиях. И сразу же заметим, что это добавление подразумевает и другой вариант, другое определение. И оно, действительно, существует.

Принцип относительности на экваторе

Мы задали начальные условия, согласно которым часы на экваторе движутся по траектории, привязанной к системе отсчёта неподвижных часов на полюсе. В результате получили, что движущиеся часы идут медленнее. Отметим более определённо: медленнее идут те часы, которые движутся относительно некоторого неподвижного отрезка. Но мы можем изменить условия задачи и получить прямо противоположный результат: отстающими окажутся часы на полюсе. Для этого нам надо установить, что часы на экваторе движутся вместе с диском, совмещённым с экваториальной плоскостью. Строго говоря, такая формулировка соответствует исходному тезису Эйнштейна. Хотя прямо это не сказано, но "находящиеся на земном экваторе" часы мы имеем полное право рассматривать как находящиеся на экваториальном диске Земли, как вращающиеся вместе с планетой [1]. Для этих часов траектория движения, изображённые на рис.1 железнодорожные пути неподвижны. На них часы T2 мы должны рассматривать как станционные часы, а по железнодорожным путям экватора движутся условно неподвижные в системе полюса часы T3. Из этого следует, что в исходном тезисе Эйнштейна часы на экваторе будут идти быстрее, чем часы на полюсе.

Это принципиально другая задача. В ней возникает эффект парадокса Эренфеста. Поскольку диск вращается, то согласно этому эффекту длина его окружности укорачивается. Корректно решение парадокса Эренфеста [2] показывает, что в этом случае неизбежно укорачивается и радиус диска. Следовательно, с точки зрения часов T2 на диске, на экваторе внешние, считавшиеся ранее неподвижными, часы T3 проходят меньший путь:

Соответственно, при движении со скоростью v показания часов будут различаться:

twin03

Приведённое решение парадоксом не является, поскольку такой исход является прямым следствием принципа относительности.

Дополним наши рассуждения точкой зрения теперь уже условно движущихся часов Т3. Этой картине полностью соответствует рис.2. Только в этом случае рельсы неподвижны относительно часов T2. Следовательно, длина пути для этих часов больше, чем его длина с точки зрения часов T3: на рис.1 R' > R, поскольку эти пути теперь движутся относительно часов T3 и испытывают при этом лоренцево сокращение.

Для вычисления времени в ИСО T3 мы теперь можем расставить в ИСО T2 вдоль всего пути дополнительные часы и затем использовать уравнение (3.2). Также несложно убедиться, что рис.3 и подробное описание к нему тоже соответствуют новым начальным условиям. Как и ранее, здесь в силе принцип относительности, и с точки зрения каждой из рассматриваемых ИСО смежные, движущиеся часы идут медленнее.

Выводы

Парадокс часов на экваторе, являющийся эквивалентом парадокса близнецов, исключительно в рамках специальной теории относительности имеет непротиворечивое решение.

Поскольку решение парадокса в СТО непротиворечиво, следует признать, что в ОТО также должны быть получены решения, полностью соответствующие двум полученным в СТО результатам: отстают часы, движущиеся по орбите экватора (по условным неподвижным железнодорожным путям над экватором), и отстают часы на полюсе по отношению к часам, закреплённым на вращающемся экваториальном диске Земли. Однако здесь ожидается противоречие, поскольку в обоих случаях из-за вращения часы, движущиеся на экваторе (вместе с Землёй) или вдоль экватора, подвержены действию эквивалентной гравитационной силы. С учетом этой силы часы должны идти медленнее, что противоречит рассмотренному случаю движения часов на экваторе, на диске.

Согласно формализму СТО, вращающиеся часы идут медленнее лабораторных, если они движутся по траектории, привязанной к лабораторной, условно неподвижной ИСО. Так движется поезд по кольцевому пути. Но часы идут быстрее лабораторных, если они вращаются на собственном жёстком диске (или обруче), не связанном с лабораторной системой отсчёта.

Формально темп хода часов определяется тем, за какой системой отсчёта закреплена траектория их вращения: за собственной (экваториальный диск Земли, часы спешат) или за внешней (жёсткая орбита вдоль экватора Земли, часы отстают).

Литература

1. Эйнштейн А. "К электродинамике движущихся тел", Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1. Статьи, рецензии, письма. Эволюция физики. М.: Наука, 1965

2. Путенихин П.В., Решение парадокса Эренфеста, журнал "Точная наука", ИД Плутон, вып.36, 2019 г., с.8-22, URL: https://elibrary.ru/contents.asp?id=36825393

Комментарии: 1, последний от 16/10/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 28/06/2019, изменен: 28/06/2019. 20k. Статистика. Статья: Естествознание Парадокс близнецов Иллюстрации/приложения: 24 шт.		Ваша оценка:
Аннотация: Рассмотрены известные решения релятивистского "парадокса близнецов" и предложены новые. Вопреки распространенному мнению, парадокс имеет корректное решение в СТО. Напротив, в ОТО решения парадокса вызывают ряд вопросов. Рассмотрен принципиально новый парадокс близнецов - в тахионной теории относительности.

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Парадокс часов на экваторе. Обзор решений, гл.3