Дельта-Функция на примере бесконечного ускорения

Эта статья писалась для того, чтобы немного пояснить на примере, откуда и как может мгновенно взяться скорость у какого-либо тела. (Да и может ли вообще). И чем такой мгновенный набор скорости для этого тела должен обернутся. Хотя побочно можно будет узнать и о других бесконечных величинах (Приложение 1). Чтобы не возникало путаницы в сознаниях людей, этот текст прочитавших, рассмотренные здесь функции, а так же родственные им функции отдельно расписаны в Приложении 2.

У некоторых людей может возникнуть вопрос, а как это вообще так? Разве такое возможно, чтобы какая-то величина была бесконечной? В частности, как возможно бесконечное ускорение? Конечно, в реальной жизни вряд ли можно такое отыскать. Бесконечное ускорение - это идеализированная ситуация, которую рассмотрим ниже.

Например, может быть кто-нибудь и помнит, как в школьных задачах сталкиваются два шарика, и после столкновения их скорости меняются согласно закону сохранения импульса. Столкновение происходит мгновенно. По крайней мере, в школьных задачах как правило не учитывается, что на изменение шариками скорости уходит какое-то время.

Так и каково приходится таким шарикам? Мы рассмотрим такой шарик, который сначала стоял на месте, а потом, после того как что-то по нему ударило, резко приобрёл скорость.

Чтобы понять, откуда же берётся бесконечное ускорение, вспомним (а кто не знает - то узнаем) что ускорение - это производная от скорости по времени:

a = dv/dt

(Если кто не знает - это такая форма записи производной. dv - бесконечно маленькое приращение скорости, dt - то самое маленькое время, за которое скорость успевает измениться на величину dv).

Чтобы взять эту производную, надо знать, как зависит наша скорость от времени. На первый взгляд - никак не зависит. Вроде как она постоянна. Но это впечатление обманчиво. Ведь сначала она была равна нулю, а потом вдруг стала равна некой постоянной величине v. И произошло это в некоторый момент времени t_a.

То есть зависимость нашей скорости от времени имеет вид:

И нарисуем график зависимости скорости от времени (Рис. 1.):

Рис. 1. Зависимость скорости от времени (Функция-ступенька)

Ну и что тут можно видеть? График, состоящий из двух прямых линий. Круглые белые точки обозначают, что в точке t_a происходит разрыв функции v(t). То есть функция в какой-либо точке своего аргумента не может быть равна сразу двум значениям, поэтому одновременно и у нижней и у верхней линии не может быть точек в момент времени  t_a.

Пояснение: функция должна быть однозначна, то есть одному значению аргумента (в нашем случае аргументы откладываются по горизонтальной оси, и это моменты времени) может соответствовать только одно значение функции (значение по вертикальной оси - это в нашем случае скорости). Да и понятно, что в один и тот же момент времени скорость не может быть равна сразу нескольким величинам.

На самом деле у одной из линий, либо у верхней, либо у нижней можно было бы сделать не пустую точку, но вот кто решит, какая из двух линий лучше и достойна такой чести? На самом деле нам не важно, есть ли у одной из них точка в момент времени t_a или же нет... Мы просто не знаем, чему равна скорость в этот момент, когда она меняется. Лучше если в этой спорной точке у функции вообще не будет никаких значений, чем будет сразу два. А то она не будет функцией.

Интерпретация 1. Взятие производной в точке разрыва не вполне честным методом

Теперь будем брать производную. Производную надо брать отдельно на участке (-∞, t_a) и отдельно на другом участке (t_a, +∞). На этих участках скорость не меняется, поэтому производная равна нулю. А в точке t_a по идее производную вообще брать нельзя, это точка разрыва. Но что делать, если очень надо?

Рассмотрим, как берётся производная.

a = dv/dt

dv и dt - это бесконечно маленькие величины, в пределе они стремятся к нулю, но чтобы найти этот самый предел, надо знать, как зависит одна величина от другой.

Судя по нашему графику, скорость меняется в одной-единственной точке, это как раз и значит, что dt = 0. А dv по идее равно вполне конкретной величине - той, на которую изменилась наша скорость. И величина эта отлична от нуля dv ≠ 0 и мы даже знаем, чему она равна: dv = Δv - равна изменению скорости. Поскольку в рассматриваемом нами случае скорость меняется с нуля до значения v, то как раз Δv = v. Но это уже не столь важно. Наша производная в точке t_a принимает такое вот значение:

a(0) =Δv/0 = ∞

Здесь мы поступили не совсем строго - схалтурили, брать производную в точке разрыва по инструкции не положено. Тем не менее, мы получили вполне осмысленный результат. Более того, можно так сказать - правильный результат, но только для одной точки.

И график такой функции рисуют так (Рис. 2.):

Рис. 2. Зависимость ускорения от времени (функция-всплеск)

Стрелка вверх на рисунке 2 означает, что точка находится в положительной бесконечности (сверху).

Этот способ нам сразу даёт результат - показывает, чему равно ускорение в момент времени t_a. Однако, как известно, если мы имеем зависимость ускорения от времени, то можем найти скорость, которую наберёт тело на некотором отрезке [t₁, t₂] если проинтегрируем ускорение по времени на этом отрезке (возьмём определённый интеграл).

Так вот встаёт вопрос: как интегрировать теперь такую функцию? Сразу надо сказать - что интегрировать предусмотренными математикой способами не получится.

Интегрирование по Риману сводится к отысканию площадей под графиком. Как найти площадь под точкой, которая находится бескоенчно-высоко? Никак, разумеется.

Даже такое интегрирование, когда в спорных точках ищется предел, к которому стремится первообразная, ничего нам, увы не даст. Мы не можем вычислить математически этот самый предел.

Поэтому остаётся просто вспомнить, интегрирование - операция, обратная дифференцированию (взятию производной). Если будем брать неопределённый интеграл, по идее должны получить функцию-ступеньку.

А если определённый - то должны получить величину, на которую меняется скорость.

Но если мы получили в некоторой точке значение, равное бесконечности, как мы тогда узнаем, какой высоты была изначальная ступенька? В каком месте происходил скачок, это понятно - в том самом, в котором наша производная равна бескоречности. А вот на какую величину?

Поэтому была принята такая запись:

v·δ(t - t_a)

Здесь наше изменение скорости v входит в качестве множетеля, а аргумент в скобках (t - t_a) означает, что всплеск происходит в точке t_a. Множетель опускать нельзя.

Называется единичной дельта-функцией или единичной функцией Дирака. Казалось бы, какой смысл домножать эту функцию на v, если всё равно она либо нулю, либо бесконечности? А для того её, собственно, и домножают, чтобы было понятно, чему должен быть равен интеграл от неё. Чтобы пояснить этот момент, рассмотрим другой путь, по которому можно прийти к дельта-функции.

Принято, что интеграл от единичной дельта-функции по всей области определения (или в окрестности всплеска) равен единице, а первообразная такой функции - единичная ступенька. Принято так именно потому, что интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Если у нас физическая величина (в данном случае скорость) меняется на величину, отличную от единицы, то это учитывается в виде множетеля (в нашем случае v), который можно вынести за знак интеграла. Того самого интеграла, который даст нам единицу.

То есть, фактически, не единичная дельта-функция включает два дополнительных параметра - множетель v, отвечающий за то, на какую величину меняется первообразная в точке всплеска и довесок к аргументу t_a, отвечающий за то, в какой точке происходит всплеск.

Интерпретация 2. Рассмотрение реальной ситуации с предельным переходом к бесконечно-быстрому набору скорости

Отвлечёмся от нашей абстракции и рассмотрим, как же всё-таки тело набирает скорость на самом деле. В реальных ситуациях тело не набирают скорость мгновенно, и процесс разгона выглядит примерно так:

Рис. 3. Изменение скорости, характерное для реальных ситуаций

Здесь t₁ - момент времени, когда скорость начинает набираться, t₂ - момент времени когда набор скорости заканчивается и скорость снова становится постоянной, но теперь уже отличной от нуля.

Рис. 4. Ускорение, характерное для реальных ситуаций

То есть, плавный старт соответствует малому значению ускорения. Потом скорость набирается быстее, ускорение растёт, достигает максимального значения, и когда скорость начинает выходить на постоянную величину, ускорение снова уменьшается практически до нуля. Фактически - это и есть график производной от скорости по времени.

Здесь надо отметить один очень важный момент - На рисунке видно, что горка имеет площадь. Вспомним что площадь - это определённый интеграл от функции a(t), от момента времени t₁ до момента времени t₂. Значение определённого интеграла даст нам величину, на которую изменилась наша скорость. Таким образом, плошадь этой горки равна v.

Неопределённый интеграл даёт такую функцию, которая будучи продифференцированной даст нашу же функцию. То есть, если взять первообразную от ускорения, то получим зависимость скорости от времени. Правда, не в исходном виде, а с точностью до некоторой константы v₀:

А если взять определённый интеграл по интервалу [t₁, t₂], то найдём величину скорости, которую набрало наше тело за промежуток времени между моментами  t₁ и t₂:

Здесь в формуле написано Δv, потому что на самом деле мы находим изменение скорости, которое произошло между моментами времени моментами  t₁ и t₂. То есть, если бы наше тело в момент времени t₁ уже имело какую-то скорость v₀, то во время ускорения  скорость увеличилась бы на Δv и стала бы равной Δv + v₀.

Но поскольку наша скорость набиралась с нуля, то у нас Δv = v.

А теперь рассмотрим ситуацию, когда скорость набирается за более короткий промежуток времени:

Рис. 5. Блее стремительное изменение скорости, характерное для реальных ситуаций

Поскольку за этот маленький промежуток времени наше тело по условию набирает ту же самую скорость, что и в первом случае, то площадь под нашим графиком (то есть определённый интеграл по интервалу [t₁, t₂]) должна быть такой же. Значит, поскольку график стал уже, он должен стать выше. И вот это выше как раз и соответствует тому, что ускорение будет больше, чем в первом случае. Да и с другой стороны, если вспомнить, что производная - это наклон кривой, то и наклон-то в случае более быстрого разгона более крутой.

Рис. 6. Более стремительное ускорение, характерное для реальных ситуаций

А теперь перейдём к предельному случаю, когда скорость набирается мгновенно.

Рис. 7. Набор скорости в идеализированной ситуации (мгновенный набор скорости)

Здесь за одно мгновение, то есть за промежуток времени, равный, фактически нулю, скорость должна набраться до нужной величины. То есть должен быть очень-очень узкий и очень-очень высокий пик, ширина которого равна нулю, и при этом площадь под пиком - нашей скорости v.

Рис. 8. Бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости

То есть, на самом деле мы имеем сильно идеализированный, предельный случай очень узкого и очень высокого пика. Поскольку пик бесконечно узок, чтобы площадь под ним была равна чему-то ощутимому, он должен быть очень высоким, при том высоту-то его мы как раз и не знаем, знаем только, что она очень большая. Поэтому и рисуется стрелка, направленная вверх и условно считается, что в этой точке функция равна бесконечности.

Но при этом подразумевается, что мы знаем площадь этого пика, и эту площадь мы отражаем в множетеле перед дельта-функцией:

v·δ(t - t_a)

О единичной дельта-функции (функции Дирака) и единичной ступеньке (функции Хевисайда)

Здесь рассмотрен конкретный физический пример с конкретными величинами.

А в математике рассмотрение начинается именно с единичных функций.

1. Функция Хевисайда - единичная ступенька.

Функция Хевисайда обозначается обычно η(x) или δ₁(x). Поскольку, возможно, в некоторой среде её кто-то обозначает как δ(x), многие и путают её с классической дельта-функцией. В точке 0 эта функция не определена, но определённо её значение лежит где-то между нулём и единицей, поэтому функцию Хевисайда задают как:

График функции Хевисайда выглядит так:

Рис. Функция Хевисайда (δ₁-функция).

2. Единичная дельта-функция (Функция Дирака)

А производная от функции Хевисайда δ₁(x), сама единичная дельта-функция, соответственно, выглядит так:

Рис. Функция Дирака (δ-функция).

И формула для неё такая:

То, что дельта-функция в нуле равна бесконечности - это условность, которая нужна главным образом для физической интерпретации.

Таким вот образом вводится единичная дельта-функция. Если взять от неё неопределённый интеграл, то должна получиться функция δ₁(x) + С, где C - константа, δ₁(x) - функция Дирака ("единичная ступенька"), о которой говорилось выше - первообразная дельта-функции.

Ещё раз об интегрировании дельта-функции: (функции Дирака)

Если считать, что дельта-функция это:

То Правила интегрирования тут нам не помощники и не товарищи. Вычислить первообразную по каким-либо математическим правилам здесь не получится, поэтому тут в ход идут чисто умозрительные соображения насчёт того, что интегрирование - операция, обратная дифференцированию.

Либо, конечно, есть другой способ - математически-честный: начать с пика конечной ширины и конечной высоты, вычислить для него формулу первообразной, а потом совершить предельный переход, посмотреть, что при этом станет с этой самой формулой. Мы этого делать не буедем, поскольку на практике таким вот способом всё равно не пользуются. На практике первообразные смотрят в таблице. Особенно для таких элементарных функций, как эта.

Доп. Примечание: как обращаться с дельта-функцией

Примечание: то, что дельта-функция в одной из точек своей области определения равна бесконечности, ещё не даёт оснований для всякого произвола. То есть, нельзя написать:

δ(x) = v· δ(x)

Ни в коем случае!!!

Бесконечность в математике - тоже определённого рода число, и для бесконечностей действуют свои математические правила. В частности, поскольку мы не знаем, чему именно равна бесконечность, утверждение:

∞ = ∞

нельзя считать справедливым. Здесь надо рассматривать, одна и та же у нас бесконечность, или всё-таки разные?

Что касается дельта-функций, то проведение с ними некоторых математических операций определяется множетелями, стоящими перед ними, например:

Сложение: если всплески обеих дельта-функций в одной точке, можно считать суммарный всплеск:

a·δ(x) + b·δ(x)= (a + b)· δ(x)

Если всплески находятся в разных точках, так делать нельзя, надо оставлять в виде суммы двух разных дельта-функций, поскольку у нас не суммарный всплеск в одной точке, а два разных всплеска в разных точках!

d·δ(x - x₁) + f·δ(x - x₂)

Умножение на константу:

c·(a·δ(x)) = (c·a)· δ(x)

Здесь всё просто.

И главное: интегрирование:

Если в область интегрирования не попадает точка, в которой происходит всплеск, то тогда интеграл от дельта-функции равен нулю.

Свёртка - интеграл от произведения дельта-функции на какую-либо другую функцию f(x)

Интерпретация 3. Наклон касательной в точке разрыва

Это уже для тех, кому всего написанного выше показалось мало. Ещё один аргумент в пользу того, что в точке всплеска дельта-функция равна бесконечности.

,Наклон-то у ступеньки в точке, где происходит скачок, можно считать что равен бесконечности. Если вопреки требованиям математики нарисовать график функции Хевисайда δ₁(x) так, как показано ниже, то есть без разрывов:

То в точке скачка мы видим вертикальную линию, уравнение которой, грубо говоря, вот такое:

y = ∞∙x.

Производная - это наклон касательной. Для прямой линии производная - это множетель перед аргументом. У вертикальной линии производная равна бесконечности.

То видно, что в точке скачка наклон (тангенс угла между этой линией и осью x) равен бесконечности, поскольку здесь у нас угол между прямой и осью x равен 90º.

Бесконечное ускорение и бесконечная сила

Теперь вернёмся к нашей ситуации со скоростями. Мы получили некоторую дельта-функцию, для которой теперь можно написать формулу, используя понятие единичной дельта-функции.

a(t)=v∙δ(t - t_a)

 Вот такое вот бесконечное ускорение. Теперь ещё вспомним, что по закону Ньютона:

F = m∙a

Коли уж у нас в момент времени t_a ускорение равно бесконечности, то и сила тоже будет бесконечной. Это значит, что тело, стартующее с бесконечным ускорением просто сломается.

На практике бесконечных ускорений не бывает, но бывают ускорения очень большие. И как вы поняли из этого примера, чем меньше времени отводится на то, чтобы набрать определённую скорость, тем больше должно быть это самое ускорение, а соответственно, тем больше должна быть действующая сила.

Приложение 1. Другая физическая интерпретация дельта-функции

Дельта-Функция так же применяется в решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (сосредоточенная нагрузка, сосредоточенный заряд и т. д.). Дельта-функция может быть определена как плотность распределения масс, при которой в точке х = 0 сосредоточена единичная масса, а масса во всех остальных точках равна нулю. Поэтому полагают

При том:

То есть, если считать нагрузку, массу, заряд и т. п. по всему пространству, получится единица. По условию задачи, изложенному выше, вся единичная величина сосредоточена в одной точке и поэтому плотность величины в этой точке бесконечна.

Примером бесконечной плотности массы может служить электрон - точечная частица. Масса электрона конечна, а вот размеры стремятся к нулю. Значит, плотность электрона стремится к бесконечности.

То же самое с некоторым приближением можно сказать и об атомном ядре. Хотя плотности атомного ядра приписывают вполне конечную величину - 10¹⁴ г/см³, она очень велика, а само ядро по сравнению с объёмом всего атома очень мало. Поэтому при такой дикой плотности оно остаётся достаточно лёгким.

И ещё один интересный пример - чёрная дыра. По математическим данным, вся масса чёрной дыры сосредоточена в одной точке (даже если это на деле не так, мы об этом ничего не знаем и знать не можем!). Чёрные дыры обладают огромной массой, при том очень маленькими размерами.

О размерах чёрных дыр что-либо говорить трудно, можно говорить только об их гравитационном радиусе, или радиусе сферы Шварцшильда. Сфера Шварцшильда - это граница, попав за которую свет попадает в такое сильное поле тяготения, что уже не может оторваться от чёрной дыры и вылететь обратно. Как известно, свет имеет самую большую скорость в природе, поэтому все остальные тела, попав внутрь сферы Шварцшильда и подавно не вернутся назад. Они будут притягиваться дальше к центру чёрной дыры.

Так вот, гравитационный радиус чёрной дыры, масса которой равна массе Земли, составляет всего-навсего восемь миллиметров. Фактически по астрономическим масштабам это просто точка. Значит, не зависимо от того, как распределена масса внутри чёрной дыры, в некотором приближении можно считать, что в одной точке сосредоточена конечная масса с бесконечной плотностью.

Ещё дельта-функцию могут в некоторых источниках называть бесконечным всплеском единичной интенсивности, а так же функцией, определяемой равенством:

имеющим место для всех непрерывных функций f(x) [1].

Приложение 2. Родословная дельта-функции

Чтобы не было путаницы:

1. Дельта-функция, она же Функция Дирака.

Название официальное, под этим названием можно найти Дельта-функцию как во всеми любимой Википедии [2] (заумно), так же здесь [3] и здесь [4] и даже вот здесь [5] (заумно, не для простых сметных).

С физической точки зрения - это мгновенный всплеск бесконечной амплитуды и единичной интенсивности, либо сосредоточенная в одной точке единичная величина (масса, заряд, сила и т.п.) бесконечной плотности.

2. Функция Хевисайда, она же - единичная ступенька, она же функция дельта-1 (δ1) [7]

Официальное название - функция Хевисайда. Допустимое название - дельта-1-функция или функция дельта-1. Если кто-то её называет дельта-функцией, это сленг или жаргон!!! Если кто-то её обозначает символом дельта - это не значит, что эта функция по праву должна называться дельта-функцией!

3. Функция дельта-2 (δ2) - функция единичного наклона (без спец. названия)

Официальное название: дельта-2-функция или функция дельта-2.

Функция Хевисайда - первая производная функции дельта-2. Дельта-функция (Функция Дирака) - вторая производная функции дельта-два, первая производная от функции Хевисайда.

4. Символ кронкера

Допустимая запись: δ_m,nили δ(m,n). Это булева операция, которая оперирует с двумя (ингда более) числами.

Литература

[1] [Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд. - М.: Сов. энциклопедия, 1969 - 1978., ил.]

[2] Википедия. Дельта-функция. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

[4] Динамические и частотные характеристики систем управления (методические указания к выполнению лабораторной работы по теории управления). Е.В. Никульчев http://www.exponenta.ru/educat/systemat/nikulchev/dinam/theory.asp

[5] Обобщенный принцип наименьшего действия. канд. биол. наук М. П. Иванов, д-р техн. наук В. В. Кашинов. ФНИИ им. А. А. Ухтомского, СПбГУ http://www.laboratory.ru/articl/math/ram030.htm

[6] Delta-function. http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

[7] http://www.chip-news.ru/archive/chipnews/200509/Article_12.pdf