Шамутдинов Айдар Харисович, старший преподаватель ОмГТУ каф. 'ГМ и ТМ', 15 июня 2011 г.
СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ИНВАРИАНТОВ
Инвариантом или цифровым корнем числа N=a1a2a3...an=10^(n-1)a1+10^(n- 2) a2+...+an называется число(цифра), которая получается последовательным сложением цифр, из которых состоит число, причем сложение идёт до тех пор, пока не получится одна цифра: Inv(N) или i(N)=a1+a2+a3+...+an.
1) Если a1+a2+a3+...+an = N1 = 10^(k-1)b1+10^(k-2)b2+...+bk (где k-количество цифр в числе N1=b1b2b3...bn), то i(N)=b1+b2+b3+...+bk;
2) Если b1+b2+b3+...+bk = N2 = 10^(m-1)c1+10^(m-2)c2+...+cm (где m-количество цифр в числе N2=c1c2c3...cn), то i(N)=c1+c2+c3+...+cm и т.д.
Основное свойство натуральных чисел:
Для любого числа N>0 справедливо: N=i(N)+9k или N=i(N)(mod9)
Пример 1.
Дано число N=137. Инвариант числа будет i(137)=i(1+3+7)=i(11)=1=1=2. Тогда 137=2+9*15
Свойство 1 (коммутативность умножения):
i(N1*N2*...*Nk)=i[i(N1)*i(N2)*...*i(Nk)]
Пример 2.
Найти инвариант произведения 2309*1718*5881, т.е. i(2309*1718*5881)=?
Решение:
По свойству 1 имеем: . i(2309*1718*5881)=i[i(2309)*i(1718)*i(5881)]=i[5*8*4]=i[160]=7
Вычисляем 2309*1718*5881=23329115422 и i(22678)=i(2+3+3+2+9+1+1+5+4+2+2)=i(43)=7
Свойство 2(коммутативность сложения):
i(N1+N2+...+Nk)=i[i(N1)+i(N2)+...+i(Nk)]
Пример 3.
Найти инвариант суммы 2309+1718+5881, т.е. i(2309+1718+5881)=?
Решение:
По свойству 2 имеем: i(2309+1718+5881)=i[i(2309)+i(1718)+i(5881)]=i[5+8+4]=i[17]=8
Вычисляем сумму 2309+1718+5881=9908 и i(9908)=i(9+9+0+8)=i(26)=8
Свойство 3(дистрибутивность умножения относительно сложения):
Из этого примера видно, что конечная сумма числа, независимо от перестановок цифр будет одна и та же и равна инварианту этого числа.
Найдём степени первых 9 натуральных чисел и найдём их инварианты:
а) 1^n=1. Тогда i(1^n)=1;
б) 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^10=1024, 2^11=2048, 2^12=4096 и т.д. Тогда i(2)=2, i(4)=4, i(8)=8, i(16)=7, i(32)=5, i(64)=1, i(128)=2, i(256)=4, i(512)=8, i(1024)=7, i(2048)=5, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(2^n)={2; 4; 8; 7; 5;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);
в) 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729, 3^7=2187, 3^8=6561, 3^9=19683 и т.д. Тогда i(3)=3, i(9)=9, i(27)=9, i(81)=9, i(243)=9, i(729)=9, i(2187)=9, i(6561)=9, i(19683)=9 и т.д. Видно, что i(3^n)={3;9};
г) 4^1=4, 4^2=16, 4^3=64, 4^4=256, 4^5=1024, 4^6=4096 и т.д. Тогда i(4)=4, i(16)=7, i(64)=1, i(256)=4, i(1024)=7, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(4^n)={4;7;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);
д) 5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125, 5^6=15625, 5^7=78125, 5^8=390625, 5^9=1953125, 5^10=9765625, 5^11=48828125, 5^12=244140625 и т.д. Тогда i(5)=5, i(25)=7, i(125)=8, i(625)=4, i(3125)=2, i(15625)=1, i(78125)=5, i(390625)=7, i(1953125)=8, i(9765625)=4, i(48828125)=2, i(244140625)=1 и т.д. Видно, что i(5^n)={5;7;8;4;2;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);
е) 6^1=6, 6^2=36, 6^3=216, 6^4=1296, 6^5=7776, 6^6=46656 и т.д. Тогда i(6)=6, i(36)=9, i(216)=9, i(1296)=9, i(7776)=9, i(46656)=9 и т.д. Видно, что i(6^n)={6;9};
ж) 7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807, 7^6=117649 и т.д. Тогда i(7)=7, i(49)=4, i(343)=1, i(2401)=7, i(16807)=4, i(117649)=1 и т.д. Видно, что i(7^n)={7;4;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);
з) 8^1=8, 8^2=64, 8^3=512, 8^4=4096, 8^5=32768, 8^6=262144 и т.д. Тогда i(8)=8, i(64)=1, i(512)=8, i(4096)=1, i(32768)=8, i(262144)=1 и т.д. Видно, что i(8^n)={8;1}-множество двух повторяющихся чисел (цифр);
и) 9^1=9, 9^2=81, 9^3=729, 9^4=6561, 9^5=59049, 9^6=531441 и т.д. Тогда i(9)=9, i(81)=9, i(729)=9, i(6561)=9, i(59049)=9, 531441)=9 и т.д. Видно, что i(9^n)=9.
Анализирую выражения а)-и) более подробно, можно записать свойства для инвариантов степеней чисел от 1 до 9:
Свойство 6: i(1^n)=1
Свойство 7:
i(2^n)=2, при n=6k-5;
i(2^n)=4, при n=6k-4;
i(2^n)=8, при n=6k-3;
i(2^n)=7, при n=6k-2;
i(2^n)=5, при n=6k-1;
i(2^n)=1, при n=6k;
k=1,2,3...
Свойство 8:
i(3^n)=3, при n=1;
i(3^n)=9, при n>1
Свойство 9:
i(4^n)=4, при n=3k-2;
i(4^n)=7, при n=3k-1;
i(4^n)=1, при n=3k;
k=1,2,3...
Свойство 10:
i(5^n)=5, при n=6k-5;
i(5^n)=7, при n=6k-4;
i(5^n)=8, при n=6k-3;
i(5^n)=4, при n=6k-2;
i(5^n)=2, при n=6k-1;
i(5^n)=1, при n=6k;
k=1,2,3...
Свойство 11:
i(6^n)=6, при n=1;
i(6^n)=9, при n>1
Свойство 12:
i(7^n)=7, при n=3k-2;
i(7^n)=4, при n=3k-1;
i(7^n)=1, при n=3k;
k=1,2,3...
Свойство 13:
i(8^n)=8, при n=2k-1;
i(8^n)=1, при n=2k;
k=1,2,3...
Свойство 14:
i(9^n)=9.
Анализирую степени чисел N>9, можно заметить, что инварианты степеней чисел N>9, будут совпадать с инвариантами степеней чисел от 1 до 9. Другими словами, можно записать ещё одно общее свойство инварианта степени:
Свойство 15: i(N^M)=i[(i(N))^M], где числа N, M>0
Используя свойства 6-15 можно решить множество задач, связанные с числами.
Пример 8.
Найти инвариант числа А=14^17
Решение:
Здесь N=14 и M=17. Находим: i(14)=5. Тогда по свойству 15 имеем: i(14^17)=i[(i(14))^17]=i[5^17]. Используя свойство 10, видим, что М=17=6*3-1, т.е. i=2. Вычисляем А=14^17=30491346729331195904. Тогда i(30491346729331195904)=i(3+0+4+9+1+3+4+6+7+2+9+3+3+1+1+9+5+9+0+4) = i(83)=i(8+3)=i(11)=2
Пример 9.
Найти инвариант числа В=101^15
Решение:
Здесь N=101 и M=15. Находим: i(101)=2. По свойству 15 имеем: i(101^15)=i[(i(101))^15]=i[2^15]. Используя свойство 7, видим, что М=15=6*3-3, т.е. i=8. Вычисляем B=101^15=1160968955369998535166956051501. Тогда i(1160968955369998535166956051501)=i(1+1+6+0+9+6+8+9+5+5+3+6+9+9+9 +8+5+3+5+1+6+6+9+5+6+0+5+1+5+0+1)=i(152)=1+5+2=8.
Для быстрого подсчёта инварианта, как говорится 'в уме', можно воспользоваться свойствами 4 и 5. Например, подсчитать инвариант числа из предыдущего примера 9, не находя суммы цифр. Замечаем, что единиц 5 штук, пятёрок-7. Итого 5*8=40, т.е. по инварианту-это 4. Далее, девятки и нули отбрасываем: 6683683666. Количество шестёрок-6, т.е 6*6=36. Таким образом, все шестёрки отбрасываем (т.к. 3+6=9).Получилось число 8383, т.е. i(8+3)=i(1+1)=2. Итак, 2+2+4=8.
Алгоритм для быстрого подсчёта инварианта числа
1.Отбрасываем нули(0) и девятки(9);
2.Отбрасываем сочетания цифр вида: 18, 27, 36, 45 и их перестановки;
3.Отбрасываем сочетания цифр вида: 117, 126, 135, 144, 225, 234, 333 и их перестановки;
3.Отбрасываем сочетания цифр вида 3^n и 6^n при n>1.