Тельнин Вячеслав Павлович: другие произведения.

Операции и числа

"Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Литературные конкурсы на Litnet. Переходи и читай!
Конкурсы романов на Author.Today

Конкурс фантрассказа Блэк-Джек-21
Поиск утраченного смысла. Загадка Лукоморья
Peклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Идеи введения новых операций и чисел


   Операции и числа
  
   Операции
   1.Первая операция
   Первой операцией назовём операцию сложения. 1+1=2
   Введём обозначение: [1] = +
   Тогда 1 [1] 1=2
   2.Вторая операция
   Второй операцией назовём операцию умножения. 2*3 = 6
   Введём обозначение: [2] = *
   Тогда 2 [2] 3 = 6
   3.Третья операция
   Третьей операцией назовём операцию возведения в степень. 2^3=8
   Введём обозначение: [3] = ^
   Тогда 2 [3] 3 = 8
   4.Как подступаться к четвёртой операции
   Четвёртой операции неизвестно. Но может быть её можно построить? Посмотрим откуда брались первые три операции.
   Операция сложения была всегда. Её неясно из чего строить.
   Операция умножения строилась по операции сложения так:
   2*3 = 2+2+2
   Слева от операции умножения записывается слагаемое, а справа от неё записывается число этих слагаемых.
   Операция возведения в степень строилась по операции умножения так:
   2^3 = 2*2*2
   Слева от операции возведения в степень записывается сомножитель, а справа от неё записывается число этих сомножителей.
   Перепишем теперь эти правила в новых обозначениях:
   2 [2] 3 = 2 [1] 2 [1] 2
   2 [3] 3 = 2 [2] 2 [2] 2
   Операция [n+1] строится по операции [n] так:
   2 [n+1] 3 = 2 [n] 2 [n] 2
   Слева от операции [n+1] записывается операнд для операции [n]. А справа от операции [n+1] записывается число этих операндов.
   5.Четвёртая операция
   Теперь ясно, что строить четвёртую операцию надо по третьей операции:
   2 [4] 3 = 2 [3] 2 [3] 2 = 16
   Но тут возникает особенность - например
   2 [4] 4 = 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2
   Если считать слева направо, то
   ((2 [3] 2) [3] 2) [3] 2 = 16 [3] 2 = 256
   А если справа налево, то
   2 [3] (2 [3] (2 [3] 2)) = 2 [3] 16 = 65 536
   Какой из этих двух способов применить при построении четвёртой операции? Воспользуемся наиболее сильным способом:
   2 [4] 4 = 2 [3] (2 [3] (2 [3] 2)) = 65 536
   6.Пятая операция и следующие за ней
   Операция [n+1] строится по операции [n] так:
   2 [n+1] 4 = 2 [n] (2 [n] (2 [n] 2))
   Возьмём n = 4 и получим определение пятой операции:
   2 [5] 4 = 2 [4] (2 [4] (2 [4] 2)) = 2 [4] 65 536
   И так можно построить любую следующую операцию.
   7.Нулевая операция
   Операция [n+1] связана с операцией [n] так:
   2 [n+1] 3 = (2 [n] 2) [n] 2
   Слева от операции [n+1] записывается операнд для операции [n]. А справа от операции [n+1] записывается число этих операндов.
   Если взять n = 0, то можно выразить нулевую операцию через первую операцию:
   4 = 2 [1] 2 = 2 [0] 2 то есть 2 [0] 2 = 4
   5 = 2 [1] 3 = (2 [0] 2) [0] 2 = 4 [0] 2 то есть 4 [0] 2 = 5
   6 = 2 [1] 4 = ((2 [0] 2) [0] 2) [0] 2 = 5 [0] 2 то есть 5 [0] 2 = 6
   7 = 2 [1] 5 = (((2 [0] 2) [0] 2) [0] 2) [0] 2 = 6 [0] 2 то есть 6 [0] 2 = 7
   8.Минус первая операция
   a [n+1] 2 = a [n] a
   Если взять n = -1 то можно определить минус первую операцию через нулевую операцию:
   4 = 2 [0] 2 = 2 [-1] 2 то есть 2 [-1] 2 = 4
   5 = 4 [0] 2 = 4 [-1 ]4 то есть 4 [-1] 4 = 5
   6 = 5 [0] 2 = 5 [-1] 5 то есть 5 [-1 ]5 = 6
   7 = 6 [0] 2 = 6 [-1] 6 то есть 6 [-1] 6 = 7
   Если последовательно брать n = -2, n = -3, ..., то можно выражать минус вторую операцию через минус первую, минус третью через минус вторую, и так далее.
   Обратные операции
   Пусть у нас задана операция [n]. Тогда можно написать связь трёх чисел a, b, c:
   a [n] b = c
   Отсюда можно определить ещё две операции - обратные к [n]:
   a = c [Ln] b b = c [nR] a
   L - первая буква из слова Left (левый). R - первая буква из слова Right (правый)
   [1] = + [2] = * [3] = ^
   [L1] = [1R] = - вычитание
   [L2] = [2R] = / деление
   [L3] = корень
   [3R] = логарифм
   Числа
   1.Первая операция
   Вначале мы имеем натуральные числа: 1, 2, 3, .... Применяя к ним первую операцию (сложение) получаем тоже натуральные числа c:
   a [1] b = c.
   Но, если применить к натуральным числам обратную операцию [L1]
   a = c [L1] b
   то существуют такие пары натуральных чисел c, b, что a уже не натуральное. Например, c = 1 b = 2. Для них a = 1 [L1] 2 = 1 - 2. А такого числа среди натуральных чисел нет. Появляется возможность ввести новое число a = -1. Перебрав все возможные пары натуральных чисел c, b определим новые числа - отрицательные числа и ноль.
   Если теперь объединить исходные числа (натуральные) с новыми (отрицательными и нулём), то получим целые числа. И уже для любой пары целых чисел c, b результат обратной операции c [L1] b будет тоже целым.
   То есть первая операция породила первый класс чисел - целые числа.
   Возникает предположение, что обратные операции [Ln] и [nR] дают новые числа, которых не было среди исходных для операции [n].
   2.Вторая операция
   Вначале мы имеем натуральные числа a, b. Применяя к ним вторую операцию (умножение) получаем тоже натуральные числа c:
   a [2] b = c
   Но, если применить к натуральным числам обратную операцию [L2]
   a = c [L2] b
   то существуют такие пары натуральных чисел c, b, что a уже не натуральное. Например, c = 1 b = 2. Для них a = 1 [L2] 2 = 1 / 2. А такого числа среди натуральных чисел нет. Появляется возможность ввести новое число a = 1/2. Перебрав все возможные пары натуральных чисел c, b определим новые числа - дробные числа.
   Если теперь объединить исходные числа (натуральные) с новыми (дробными), то получим рациональные числа. И уже для любой пары рациональных чисел c, b результат обратной операции c [L2] b будет тоже рациональным.
   То есть вторая операция породила второй класс чисел - рациональные числа.
   3.Третья операция
   a [3] b = c
   Третья операция определена для натуральных чисел a, b. Тогда c тоже натуральное. Для поиска новых чисел применим обратную операцию [L3]. То есть попробуем определить a для натуральных b, c:
   a [3] 2 = 3
   или
   a = 3 [L3] 2
   Такого числа нет ни среди натуральных, ни среди рациональных. Неразрешимость. Повод ввести новое число - корень второй степени из 3. Такие новые числа назвали иррациональными.
   Попробуем пару целых b, c:
   a [3] 2 = -1
   Такого a нет ни среди целых, ни среди рациональных, ни среди иррациональных. Его назвали мнимой единицей i. Числа вида
   z = a + i*b
   где a, b - любые целые, рациональные или иррациональные - назвали комплексными. Теперь третья операция [3] полностью определена: для любой пары комплексных чисел z1, z2 число z3 тоже комплексное:
   z1 [3] z2 = z3
   И обратная операция [L3] теперь разрешима и в натуральных, и в комплексных числах (для любых комплексных z3, z2 комплексным будет и z1):
   z1 = z3 [L3] z2
   То есть третья операция породила третий класс чисел - комплексные числа.
   4.Остальные целые операции.
   a [n] b = c
   Операции с n = 0 и с n = -1, -2, ... не должны давать чисел новых по сравнению с комплексными числами. А вот от операций с n = 4, 5, ... можно ожидать появления таких чисел. К сожалению эти операции плохо исследованы.
   Но можно указать кратчайший путь, ведущий к новым числам. Возьмём функцию y(x) = x [4] 2 = x [3] x и рассмотрим обратную ей функцию:
   x(y) = y [L4]2. Получим неявную функцию x(y) [3] x(y) = y.
   Например, для [1] и [2] операций: x(y) + x(y) = y При y = 1 имеем x(1) = 1 / 2. x(y) * x(y) = y При y = 2 имеем x(2) = квадратному корню из 2.
   То есть нашлись такие y, что x(y) дали новые числа. Осталось для уравнения x(y) ^ x(y) = y найти такое y, чтобы x(y) было новым числом. То есть, чтобы его не было среди комплексных чисел.
   В частности, при каком-то вещественном y, величина x(y) будет отсутствовать среди вещественных чисел. То есть величину y можно будет представить в виде бесконечной двоичной (или десятичной) дроби, а величину x(y) нельзя. При этом приближённое значение x(y) в виде конечной дроби найти легко.
   Когда будет найдена такая неразрешимость, можно будет представить, как на её основе построить новое число.
  
   Ещё об операциях
   Взглянем на связь операций ещё раз:
   Операция [n+1] связана с операцией [n] так:
   2 [n+1] 3 = 2 [n] (2 [n] 2)
   Слева от операции [n+1] записывается операнд для операции [n]. А справа от операции [n+1] записывается число этих операндов.
   Мы брали разные целые n. Попробуем теперь взять n дробное: n = p/q где p, q - натуральные. Тогда получим связь одной дробной операции с другой дробной операцией:
   2 [(p + q)/q] 3 = 2 [p/q] (2 [p/q] 2)
   Но определения дробной операции так не получишь.
   Можем взять n мнимое, например, n = i:
   2 [i+1] 3 = 2 [i] (2 [i] 2)
   Получили связь одной комплексной операции с другой комплексной операцией. Но определения комплексной операции отсюда тоже не получишь.
   Итак, мы видим, что кроме новых чисел самостоятельный интерес имеют новые операции. Исчисление операций. А уж новые операции могут дать новые числа.
   18.06.2021

 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com К.Юраш "Процент человечности"(Антиутопия) Д.Сугралинов "Дисгардиум 3. Чумной мор"(ЛитРПГ) А.Светлый "Сфера 5: Башня Видящих"(Уся (Wuxia)) М.Атаманов "Искажающие реальность"(Боевая фантастика) В.Коломеец "Колонизация"(Боевик) Т.Ильясов "Знамение. Начало"(Постапокалипсис) А.Субботина "Проклятие для Обреченного"(Любовное фэнтези) О.Миронова "Межгалактическая любовь"(Постапокалипсис) Л.Джонсон "Колдунья"(Боевое фэнтези) В.Кей "У Безумия тоже есть цвет "(Научная фантастика)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
И.Мартин "Твой последний шазам" С.Лыжина "Последние дни Константинополя.Ромеи и турки" С.Бакшеев "Предвидящая"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"