Васильев Юрий Николаевич : другие произведения.

Общее для "золотого сечения", совершенных, боковых чисел и уравнения Пелля

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Используя соотношение между коэффициентами многочлена и его корнями, можно через элементы последовательности построенной в зависимости от коэффициентов этого многочлена получить корни данного многочлена по общей формуле для числовых последовательностей, таких как Фибоначчи, совершенных, боковых чисел и других, а так же выявить корреляцию между последовательностями.
Можно также ознакомится со статьей в более корректном виде в журнале "Вестник науке' т.3 N 7 (16) на сайте Elibrary.ru https://elibrary.ru/item.asp? id=38571728 Так же на моëм канале в Дзен: https://dzen.ru/mix1
  Теорема 1. Пусть Р (х)=хm+a1xm-1+a2xm-2+...+am-1x+am (m>1) (1) данный многочлен над полем действительных чисел, {Вn} (n=1,2,...)-последовательность, элементы которой определены рекуррентной формулой: Вi=1 (i=0, 1, ... , m-1)
  Bn=-a1Bn-1-a2Bn-2-...-am-1Bn-(m-1)-amBn-m, тогда, если с1, с2, ...сm-1, cm действительные корни многочлена (1) такие, что |с1|>|с2|>...>|сm-1|>cm|, то
  Limn->∞(Bn+a1Bn-1+...+(-1)m-1am-1Bn-(m-1))/(Bn-1+a1Bn-2+...+(-1)m-1am-1Bn-m)=ci (i=0, 1, ... , m-1) где
  (-а1)=с1+с2+...+сm-2+cm-1,
  a2=c1c2+c2c3+...cm-2cm-1
  ............................................
  (-1)m-1am-1=c1c2c3...cm-2cm-1.
   Квадратные уравнения.
   Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой
  Nn=-d1Nn-1-d2Nn-2, n>1
  где N0=0, N1=1, d0=1, a коэффициенты d1, d2 взяты из квадратного уравнения х2+d1x+d2=0 (*)
  тогда элементы последовательности {Nn} можно получить по формуле:
  Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2) (2)
  где х1, х2 корни квадратного уравнения (*)
  Для удобства заменим коэффициенты -d1, -d2 на а и d. Тогда формула и квадратное уравнение будут выглядеть так:
  Nn=aNn-1+dNn-2 (3)
  x2=ax+d (4)
  Запишем формулу (2) через коэффициенты а и b, где b - дискриминант квадратного уравнения (4) то есть b2=a2+4d, тогда х1=(а+b)/2, x2=(a-b)/2, b2-a2=4d,
  [(a+b)/2][(b-a)/2]=d (5)
  Nn=[(a+b)n-(a-b)n]/2nb (2.1)
  Вычислим первые элементы последовательности {N} образованной по формуле (2), где (х1+х2)=а, х1х2=-d, (x1-x2)=b
  N1=(x11-x21)/(x1-x2)=1, N1=1 (6)
  N2=(x12-x22/(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2)/(x1-x2)=x1+x2=a, N2=a (7)
   Докажем, что из формулы (3) можно получить формулу (2). Если Nn=aNn-1+dNn-2, где а=(х1+х2), (-d)=(x1x2), тогда
  N2=(x1+x2)N1
  N3=(x1+x2)N2-x1x2N1
  подставим N2 в N3, получим N3=x12+x1x2+x22
  Подставим N2 и N3 в N4, получим N4=x13+x12x2+x1x22+x23
  Предположим, что Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1), a
  Nn-1=(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2), тогда
  Nn+1=aNn+dNn-1,
  Nn+1=(x1+x2)(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)-x1x2 × ×(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2)=(x1n+x1n-1x2+x1n-2x22+...+
  +x12x2n-2+x1x2n-1+x2n)
  Значит Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)
  (x1n-x2n)/(x1-x2)=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1) тогда
  Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2)
  Следовательно из формулы (3) можно получить формулу (2).
   Докажем, что из формулы (3) можно получить квадратное уравнение (4).
   Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой
  Nn+1=aNn+dNn-1,
  поделим это отношение на Nn
  Nn+1/Nn=a+dNn-1/Nn
  Найдем предел Limn->∞Nn+1/Nn
  Limn->∞Nn+1=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn
   Дополним, как влияют знаки коэффициентов приведенного квадратного уравнения на знаки и относительную величину корней этого уравнения.
   Абсолютная величина действительных корней |х1|, |х2| приведенного квадратного уравнения (4) изменяется, если изменится знак коэффициента d, так как корни квадратного уравнения вычисляются по формуле: х1х2=а/2+√ [(а/2)2+d], и не меняются, при изменении знака коэффициента а.
   Числовая последовательность {Nn} образованная квадратным уравнением (4) имеет общее решение по формуле (2) то есть зависит от значений х1 х2 и от знака коэффициента d. Следователь- но, в зависимости от знака этого коэффициента можно получить две последовательности, если для обоих случаев дискриминант приведенного квадратного уравнения больше нуля. Эти последовательности в свою очередь могут быть различны, но с одинаковыми по абсолютной величине элементами и зависит это от знака коэффициента а.
   При а>1, последовательность {Nn} будет монотонно возрастающая, ограниченная снизу, для Nn>1
   Если (а, b)>0, то (a+b)>(a-b), x1>x2, тогда (a+b)n-(a-b)n>0 для формулы (2.1) при любой n-ной степени элементы последовательности {Nn}>0.
   При а<-1, последовательность {Nn} будет неограниченная, знакопеременная {Nn}>1
   Если а<0, b>0, |(b-a)|<|(b+a)|, |x1|<|x2|, (b-a)>-(b+a)
  Значит при четной степени элементы последовательности {Nn}<0, a при нечетной степени элементы последовательности {Nn}>0.
   При а>0 х1>х2, тогда Limn->∞(x1/x2)n=∞, Limn->∞(x2/x1)n=0
   При а<0 |х1|<|х2|, тогда Limn->∞(x1/x2)n=0, Limn->∞(x2/x1)n=∞
   Если Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2), то Nn+1=(x1n+1-x2n+1)/(x1-x2)
  Nn+1/Nn=(x1n+1-x2n+1)(x1-x2)/(x1n-x2n)(x1-x2)=(x1n+1-x2n+1)/(x1n-x2n)=
  =x1n+1/(x1n-x2n)-x2n+1/(x1n-x2n)
   Произведем алгебраическое преобразование. Разделим знаменатель и делитель первой дроби на (х1n), а второй на (х2n).
  Nn+1/Nn=(x1n+1/x1n)/[(x1n/x1n)-(x2n/x1n)]-(x2n+1/x2n)/[(x1n/x2n)-(x2n/x2n)]=
  =x1/[1-(x2n/x1n)]-x2/[(x1n/x2n)-1] Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞x1/[Limn->∞1-Limn->∞(x2n/x1n)]-
  -Limn->∞x2/[Limn->∞(x1n/x2n)-Limn->∞1]
  При а>0, Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-0)-x2/(∞-1)=x1 Llmn->∞Nn+1/Nn=x1,
  При а <0 Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-∞)-x2/(0-1)=x2 Limn->∞Nn+1/Nn=x2
  Значит Limn->∞Nn+1/Nn=|x| (8)
  где число х-корень квадратного уравнения (4), имеющий наибольшее абсолютное значение.
   Если Limn->∞Nn+1/Nn=x, то Limn->∞Nn/Nn+1=1/x тогда
  Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn
  x=a+d/x или х2=ах+d
  Значит из формулы (3) можно получить уравнение (4).
   Используя зависимость между элементами монотонной, ограниченной последовательности {Nn}, можно классифицировать эту последовательность.
   Основная последовательность
   Если элементы последовательности {Nn} связаны формулой (3)
  Nn=aNn-1+dNn-2, n>1
  а элементы последовательности {Nn} можно вычислить по формуле (2) или (2.1), а так же существует характерная зависимость между элементами последовательности {Nn}
  N2n-1=Nn2+dNn-12 (9)
  Nn-aNn+a=Nn2+dn-aNa2 (10)
  где d-коэффициент квадратного уравнения (4)
  то такую последовательность можно считать основной.
   Числа Фибоначчи.
   Для них уравнение (4): x2=x+1, a=1, b=√5
  Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов а и b, то получим формулу Бине, Бернулли.
  Nn=[(1+√5)n-(1-√5)n]/2n√5
   Боковые числа.
   Для них уравнение (4): x2=2x+1, a=2, b=√8.
  Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов a и b, то после сокращения получим.
  Nn=[(1+√2)n-(1-√2)n]/2√2
   Совершенные числа.
   Для них уравнение (4): x2=6x-8, a=6, b=2.
  Проверим формулу совершенного числа: Nn=2n-1 ( 2n-1), где (2n-1) простое число. Если в формулу (2.1) подставить значения a и b, то после сокращения получим.
  Nn=[(6+2)n-(6-2)n]/2n+1=2n-1 (2n-1)
   Числа Мерсенна.
   Для них уравнение (4): x2=3x-2, a=3, b=1
  Проверим формулу этих чисел: Nn=2n-1, где (2n-1) простое число.
  Если в формулу (2.1) подставим значение коэффициентов a и b, то после сокращения получим.
  Nn=[(3+1)n-(3-1)n]/2n=2n-1
   Обратные последовательности.
   У основной последовательности {Nn} существует только одна обратная последовательность {Mn}.
   Обратная последовательность {Mn}, при d≠0 образуется по формуле:
  Mn=(x1n+x2n)/(x1+x2) для a2+4d>0 (11)
  Mn=aMn-1+dMn-2 для a2+4d>0 (12)
   Запишем формулу (11) через коэффициенты a и b, где b-дискриминант квадратного уравнения (4), b2=a2+4d, тогда
  х1=(a+b)/2, x2=(a-b)/2,
  Mn=[(a+b)n+(a-b)n]/2na (11.1)
   Вычислим первые элементы последовательности {Mn} образованной по формуле (11), где (x1+x2)=a, x1x2=-d, (x1-x2)=b
  M1=(x11+x21)/(x1+x2)=1, M1=1 (13)
  M2=(x22+x22)/(x1+x2)=[(x1+x2)2-2x1x2]/(x1+x2)=a+2d/a, M2=a+2d/a (14)
   Есть зависимость между элементами основной и обратной последовательностями:
  Nn/Mn=>(x1+x2)/(x1-x3)=a/b, где b2=a2+4d, при n->∞ (15)
   Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=x+1 (числа Фибоначчи) в формулу (11.1) для обратной последовательности {Mn}, то получим формулу для ряда обратных чисел Фибоначчи.
  Mn=[(1+√5)n+(1-√5)n]/2n (16) Обратная последовательность (Мn) чисел Фибоначчи (1, 3, 4, 7, 11,...)
   Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=2x+1 (боковые числа) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу для диагональных чисел.
  Mn=[(1+√2)n+(1-√2)n]/2 (17)
   Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=6x-8 (совершенные числа) в формулу (11.1) то после сокращения получим формулу обратных от совершенных чисел.
  Mn=[2n-1 (2n+1)]/3 (18)
  Обратная последовательность {Мn} совершенных чисел (1, 10/3, 12, 136/3, 176, ...)
  
   Если подставить значения коэффициентов а и b от уравнения (4) х2=3х-2 (числа Мерсенна) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу обратных от чисел Мерсенна.
  Мn=(2n+1)/3 (19)
  Обратная последовательность {Мn} чисел Мерсенна (1, 5/3, 3, 17/3, 11,...)
   Обобщенные последовательности.
   У основной последовательности {Nn} существует бесконечное число обобщенных последовательностей {Кn}, к ним относятся Пифагоровы, фигурные, Люка числа и другие, которые формируются в зависимости от начальных элементов, то есть рекуррентным способом.
   Строгая зависимость между основной {Nn} и обратной {Mn} последовательностями образованные квадратным уравнением (4) является решением диофантовых уравнений второй степени.
   "... Обратимся теперь к диофантовым уравнениям второй степени с двумя неизвестными
  а1х2+а2xy+a3y2+a4x+a5y+a6=0...
  ... Остается рассмотреть уравнение
  х2-ау2=b (5)
  при целом b и натуральном а, не являющимся квадратом... в этом уравнение числа а и b натуральные... для его решения надо обратиться к следующему частному уравнению
  х2-ау2=1 (6)
   Как показал Л. Эйлер, если (х1, у1) наименьшее натуральное решение уравнения (6), то числа
  xn=[(x1+y1√a)n+(x1-y1√a)n]/2
  yn=[(x1+y1√a)n-(x1-y1√a)n]/2√a
  удовлетворяют уравнению (6) при любом натуральном n...
   ... Лагранж показал, что цепная дробь для квадратичной иррациональности всегда периодическая: √а=(q0,q1,q2,...qs,q1, ...qs, ...)
  В 1769 году он нашел способ получения наименьшего натурального решения уравнения (7),
  х2-2у2=1 (7)
   Если длина периода S-четное число, то обращаются к дроби (Рs-1)/(Qs-1)=[q0,q1,q2,... qs,q1,... Qs... ] В этом случае пара (Ps-1, Qs-1) является наименьшим натуральным решением уравнения (6)
   Приведем теперь все натуральные решения (xn, yn) этого уравнения...
  х2-2у2=1
  xn= [(√2+1)2n+(√2-1)2n]/2
  yn= [(√2+1)2n-(√2-1)2n]/2√2
   Как видим, числа хn являются диагональными, а числа уn-боковыми, причем в соответствующих последовательностях они имеют четные номера." [1] Х2 -3у2=0 d2 - 4d + 1 = 0 a = 1, b = - 4, c = 1 d = (- b + √D)/ 2a D = b2 - 4ac =(-4)2 - 411 = = 16 - 4 = 12 d1 = (- b + √D)/2a = = (4 + √12)/21 = 2 + √3 d2 = (- b - √D) /2a = = (4 - √12)/21 = 2 - √3 N = f(N) (N1, N2, N3 ... ... Nn) Nn = (d1n - d2n)/(d1 - d2) n>1 Nn (4, 15, 56, 209, 780, ...) M =f(M) (M1, M2, M3,... ... Mn) Mn = (d1n + d2n)/(d1 + d2) n>1 Mn (3/5, 13, 48/5, 181, 675/5,...) yn = Nn (4, 15, 56, 209, 780,...) xn = 2Mn (7, 26, 97, 362, 1351,...) x2 - 3y2 = 1 77 - 344 = 49 - 316 = =49 - 48 =1 sx2 - py2 = q, √(q/s) целое число d2 - bd - 1 = 0, b = 2√(n2p +1), где n ∈ N, d2 - bd +1 = 0, b = 2√(n2p - 1) p ∈ N не является квадратом. (n2p + 1) квадрат целого числа. При p = 2, b = 2 c = - 1, т. к. 2√(122 - 1) = 2, d2 - 2d - 1 = 0 p = 3, b = 4 , c = 1, 2√(123 + 1) = 4, d2 - 4d + 1 = 0 p = 5, b = 4, c = - 1, 2√(125 - 1) = 4, d2 - 4d + 1 = 0 p = 6, b = 10, c = 1, 2√(226 + 1) = 10, d2 - 10d - 1= 0 sx2 - py2 = q, Xn = √(q/s)([(-b) + √((-b)2 - 4c)]n + + [(-b) - √((-b)2 - 4c)]n)/2n+1 Уn = √((-b/2)2 - c)/p)([(-b) + √((-b)2 - 4c)]n - - [(-b) - √((-b)2 - 4c)]n)/(2n+1√((-b)2 - 4c)) при с = - 1, (Х2n , У2n) sx2 - py2 = q (X2n-1, У2n-1) py2 - sx2 = q Упростим формулы, D = (-b)2 - 4c, тогда Хn = √(q/s)([(-b) + √D]n + [(-b) - √D]n)/2n+1 Уn = √(D/p)([(-b) + √D]n - [(-b) - √D]n)/(2n+1√D) при с = - 1, (Х2n , У2n) sx2 - py2 = q (X2n-1, У2n-1) py2 - sx2 = q [1] Шибасов Л. П. " От единицы до бесконечности"-М.: Дрофа, 2005 г.
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"