Васильев Петр Иосифович. Краткая история математики

"История математики"

Математика (греч. mathematike, от mАthema -- знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть -- весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения, 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение М. наполняется всё более богатым содержанием.

Из Большой Советской Энциклопедии

"Математика - это скважина, через которую логический ум может подглядывать за идеальным миром".

Виктор Кротов

"Между духом и материей посредничает математика".

Хуго Штейнхогус

"Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике".

Джордж Сантаяма

"Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим".

Бертран Рассел

История математики - очень важная часть всей истории науки, ибо математика - одна из составляющих научного базиса человечества. Различные люди внесли свой вклад в развитие математики - древнегреческие философы Фалес Милетский и Аристотель, астроном Клавдий Птолемей, китайский философ и политический деятель Чжугэ Лян, внук самого великого Тамерлана, астроном Улугбек, знаменитый хорезмийский писатель Омар Хайям, не менее знаменитый польский астроном Николай Коперник, "остановивший Солнце, сдвинувший Землю", царь Петр Великий, физик Христиан Гюйгенс, экономисты Карл Маркс, Томас Пикетти, Адам Смит, Председатель Совета Министров СССР Иосиф Сталин и многие другие.

Рассмотрим историю математики с самого её зарождения и до наших дней.

Примечание: в данном исследовании все позитивные открытия выделены жирным курсивом, а все негативные - подчеркнуты с низу чертой.

I этап развития математики: Математика в Древнем Мире.

Ясное понимание математики, как науки, стало возможно лишь по накоплению человечеством более-менее серьезного пласта знаний по ней, а это случилось только в Древней Греции в VI-V веках до н.э. До этого, шло развитие лишь элементарной математики, которая была необходима для решения потребностей торговли - счёта предметов, измерения количества продуктов, площадей земельных участков, определения размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерения времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п.

В целом, математика оставалась в зачаточном состоянии, ограничившись выработкой четырех арифметических действий, простых дробных чисел и простых арифметических действий с дробями. Центром математики были Древний Египет, с его папирусами, и Вавилон с шумерскими глиняными табличками. Сиречь, те места, в которых шло опережающее развитие письменности (т.н. математические папирусы и клинописные математические тексты).

На втором этапе происходит сращивание вышеперечисленных открытий в первый форпост математики - арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее -- астрономии, вызывают развитие геометрии. Эти процессы зародились в Вавилоне, но шли у многих народов, независимо и параллельно. В том же Вавилоне, опираясь на развитие арифметики, родилась алгебра, а развитие астрономии вызвало зарождение тригонометрии.

Вавилону принадлежит первенство в разработке систем счисления (десятичная и шестидесятеричная), таблиц обратных чисел, таблиц произведений квадратов, квадратных и кубических корней, измерения углов. Также именно они разработали то, что потом будет доработано Пифагором и станет его знаменитой теоремой.

Нашествия "народов моря" на Египет и ассирийцев на Вавилон привели к страшному ущербу для математики. Было уничтожено значительное количество носителей информации, что привело к временному упадку математики. Однако это привело и к очередному прорыву - в Древней Греции произошло логическое построение математической науки, благодаря произошедшему там объединению математики и философии. Была разработана Пифагором и внедрена теория чисел, проведена систематика учения о величинах и измерении, было дано, наконец, определения действительного числа, но понятия иррационального и отрицательного числа греки не выработали из-за слабой математическо-абстракционной базы. Именно на этом этапе оформляется алгебра как буквенное исчисление, появляются специальные обозначения для неизвестных, введённые древнегреческим математиком Диофантом (но обозначение буквами коэффициентов уравнений будет введено только французским математиком Ф. Виетом в XVI веке). Развитие геодезии и астрономии привело к детальной разработки тригонометрии, как плоской, так и сферической.

В VI веке до н.э. Пифагор, опираясь на сохранившиеся вавилонские и египетские данные, дополняет и углубляет знаменитую ныне теорему, носящую его имя. Он же вырабатывает уже упоминавшиюся теорию чисел, углубляя арифметику. Идет широкое развитие геометрии, развивая египетские наработки, открыты соотношение площадей подобных фигур, несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.

Благодаря Гиппократу Хиосскому оформляется геометрия, появляется первый учебник по геометрии его авторства. Доказывается равенство треугольников и открываются все пять правильных многогранников. На рубеже V-IV веков до н.э. Демокрит, исходя из своей теории атома, создает способ определения объемов, что послужило "путеводным маяком" для Архимеда, который внес вклад в зарождение исчисления бесконечно малых, что было необходимо ему для создания первого насоса и специальных зеркал, фокусирующих солнечную энергию, которые были установлены на стенах города Сиракузы и приняли активное участие в отражении римской агрессии, поджигая транспортные корабли с легионами.

Однако, после Пелопонесской войны, в которой центр математики - Афины - был разгромлен, начался упадок математики. Более того, началось вмешательство философии в математику (результат их слияния) - Аристотель запретил применять арифметику к геометрии. Был введен принцип ограничения построения геометрических фигур.

С III века до н.э. центр математики переносится в Александрию, мощный научный, военный, торговый и политический центр в Египте. Особенно крупное значение имела Александрийская библиотека - кладезь полезной информации. Туда же переехало большинство математиков Греции, кроме Архимеда, оставшегося жить в Сиракузах. С этим периодом связана деятельность Евклида, Эратосфена и Аполлония Пергского.

Разрыв с философией и обособление математики от философских ограничений обеспечили новый прилив развития. В своих "Началах", Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии. Вместе с тем, в "Началах" же, Евклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрических работ Евклида, не вошедших в "Начала", и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития математики имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 веке до н. э. трансцендентных кривых.

Существенным недостатком всей математики Древнего Мира было отсутствие окончательного понятия иррационального числа, а также слишком сильный прорыв в области геометрии, из-за чего началось её наступление на алгебру. Это наступление, поддержанное крупным математиком Героном в своем труде "Метрика", удалось отразить в работе "Арифметика" Диофанта. Тригонометрия, фактически, отделилась от математики и стала придатком астрономии, отчего развитие её шло отдельно (вернется она лишь в XIX веке).

Ещё один недостаток - в конце Древнего Мира, на волне Великого Переселения народов и нашествия гуннов, развитие всех наук, включая и математику, вообще прекращается, а все новые работы сводятся к комментированию старых авторов. Поэтому изучение математики ведется только в Китае и Индии.

Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже "Арифметика в девяти главах", составленная по более ранним источникам во II--I веках до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном. В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина VII века). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математиков XIII--XIV веков Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе.

Расцвет индийской математики относится к V--XII векам (наиболее известны индийские математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь "арабскими", не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в XVII веке) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса и косинуса.

II этап развития математики: Математика в Средние Века.

В Средние века развитие науки в Европе прекращается вообще. Религиозный диктат полуграмотных Пап Римских, общая атмосфера апокалипсиса, непрекращающиеся войны, а, в конце-концов, эпидемия чумы и последовавший за ней трактат "Молот Ведьм", объявивший науку "ересью и поклонением дьяволу", что привело к крестовому походу инквизиции и массовым чисткам, привели к деградации и фактическому уничтожению всех наук, в том числе, и математики.

Китай погряз в эпохи Троецарствия, в Индии, после вторжения эфталитов, началась тотальная гражданская война, поэтому всё развитие математики перешло в Среднюю Азию и на Ближний Восток. В 1-ой половине IX века Мухаммед бен Муса Хорезми, наконец, дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Ему же принадлежит и авторство термина - по названию своего трактата "Аль-джебр", в котором он дал изложение решений квадратных уравнений. В XV веке внук хана Тамерлана, правителя огромной Империи Тимуридов, Улугбек, построил в Самарканде обсерваторию, для работы которой составил математические таблицы. Знаменитый писатель Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию и выяснил условия их решения. В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа -- все шесть тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/60⁴ и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферических треугольников. Насирэддин Туси достиг известного завершения разработки сферической тригонометрии, аль-Каши дал систематическое изложение арифметики десятичных дробей, которые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные.

В результате I-го Крестового похода на Святой земле образовалось четыре государств крестоносцев - Иерусалимское королевство, княжество Антиохия, графство Триполи и княжество Эдесса. В Иерусалиме и Антиохии были захвачены рукописи арабских ученых, в том числе и математические трактаты. Так в Европу вернулась наука, в том числе и математика. В течении XII-XV веков шло восстановление научного потенциала европейской математики за счет арабских открытий. Центром этого процесса стала относительно спокойная от войн и потрясений Италия. На это ушло более 400 лет...

Годом начала реинкарнации математики в Европе можно считать 1202 год, когда итальянский математик Леонардо Фибоначчи (Пизанский) выпускает в свет свой труд "Книга об абаке", излагающий арифметику, алгебру и геометрию. Она имела большой успех.

К концу Средневековья, с началом эпохи Ренессанса (Возрождения), ситуация, в значительной мере, исправляется. Изобретение Иоганном Гутенбергом книгопечатания в 1438 году позволило широко растиражировать книги по математике, а появление университетов - развернуть широкую подготовку кадров.

В это время английский математик Т. Брадвардин открывает природу иррациональных чисел, Н. Орем вводит дробные, а французский математик Н. Шюке - отрицательные и нулевые показатели степеней. Появляется понятие "бесконечность чисел". Немецкий астроном и математик И. Мюллер, более известный, как Региомонтан, опираясь на геоцентрическую теорию Клавдия Птолемея, вычисляет обширные тригонометрические таблицы с точностью до седьмого знака. Однако этот факт ещё раз подтверждает, что тригонометрия не рассматривалась тогда, как математическое направление, а всё ещё являлась придатком астрономии.

Существенно расширяется номенклатура математической символики, внедряется диалектический метод решения задач (доказательство неразрешимости).

III этап развития математики: Математика в Новое Время.

В XVI веке наука Западной Европы окончательно уничтожает в себе средневековые пережитки и начинает опережать науку Востока и Древнего Мира.

Этот период был начат в 1515 году С. Ферро открытием решения алгебраических уравнений третьей степени. Д. Кардано открывает комплексные числа. Но основные открытия принадлежат французскому математику Ф. Виету, который в 1591 году основал алгебраическое буквенное исчисление и выразил знаменитую теорему по решению квадратных уравнений. Немецкий художник А. Дюрер в 1525 году окончательно сформулировал учение о перспективе в геометрии, а С. Стевин в 1585 году разработал правила арифметических действий с десятичными дробями.

Лирическое отступление: Развитие математики в России до XVIII века.

Зарождение математики в России произошло с Крещением Руси, когда в Киев приехали византийские богословы, открывшие там сеть школ. В течении IX-XIII веков математическое образование в России не уступало ни Восточной, ни Западной Европе, однако татаро-монгольское нашествие и уничтожение ими научных центров Киева и Владимира привело к серьезному регрессу математической науки, преодолеть который удалось лишь в XV-XVI веках. В конце XVI, но особенно в XVII веках появляются многочисленные рукописные руководства по арифметике и геометрии.

До начала XVIII века в Древней Руси использовалась разработанная Кириллом и Мефодием на основе греко-византийской системы чисел особая числовая система, основанная на славянском алфавите - кириллице. Однако, с расширением в XVI веке европейского влияния, она начала вытесняться ныне принятой арабской десятичной системой.

Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к 1136 году и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника Пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца 16--17 веков содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметические операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практического использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания, и излагался так называемый дощаный счет -- прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметическая часть знаменитой "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрических рукописях, в большинстве своём преследовавших также практические цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.

IV этап развития математики: Разработка переменных величин. Математика в XVII, XVIII и XIX веках.

С XVII века начинается качественно новый уровень развития математики. По мнению Фридриха Энгельса, это связано с деятельностью французского математика и физика Р. Декарта, которому принадлежит разделение математических величин на постоянные и переменные. Начинается организационное объединение математики с физикой, которая в это время переживает бурное развитие, связанное с именами всё того же Р. Декарта и английского физика и математика И. Ньютона.

Из физики в математику проникают идеи изменения и движения, которые привели к появлению понятия функции. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей привело к проникновению в математику диалектики в виде математического анализа, который, в свою очередь, породил такие понятия, как предел производной, дифференциал и интеграл.

Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь, в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например, в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу XVIII века и началу XIX века. Гораздо раньше, с созданием в XVII веке аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, сиречь - координатных систем.

Изучение алгебраических функций натолкнуло французского математика и физика Ж. Д'Аламбера к доказательству "основной теоремы алгебры" о существовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня. Развивается и "чистая" алгебра - открыто решение произвольных систем линейных уравнений с помощью определителей, разработана теория делимости многочленов, исключения неизвестных и т.д., однако это же подтолкнуло и к отделению алгебраического анализа от математического анализа (окончательно оформилось в XX веке).

Создание новой математики переменных величин в XVII веке было заслугой как И. Ньютона и Г. Лейбница, так и Петербургской академии наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени, в большинстве своем - иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли). Постепенно формируется и русская математическая школа, чье формирование заканчивается в XIX веке.

В XVII веке в математику из биологии проникают идеи математического естествознания, имеющего цель объяснить течение отдельных природных явлений с точки зрения математических законов. Однако наиболее глубокие исследования на протяжении этого века относятся к механике - синтезу математики, физики и астрономии.

Итальянский астроном Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), немецкий математик и астроном И. Кеплер -- законы движения планет (1609, 1619), английский физик и математик И. Ньютон -- закон всемирного тяготения (1687). Идет развитие и оптики - выделившейся из физики и тесно сросшейся с математикой науки. Г. Галилей (1609) сооружает первый телескоп, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, голландский физик Х. Гюйгенс и английский физик Р. Гук -- на основе волновой теории.

Эти открытия привели к провозглашению философией "универсальности математического метода", что закрепило большое практическое значение математики в ту эпоху.

Собственно, математические достижения в XVII веке - это открытие Д. Непером в 1614 году логарифмов, внедрение Р. Декартом в 1637 году координатного метода в геометрии и классификация кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе по существу приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) метод "неделимых", примененный ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрической форме были по существу созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.

Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрической прогрессии, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение In(1 + x) в степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665--69) формулу бинома для любого показателя, степенные ряды функций ex, sinx, arcsinx. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 века (Дж. Валлис, Х. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и другие).

С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.

К последней трети XVII века относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682--86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет И. Ньютона, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665--66. "Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. "Метод флюксий" -- сочинение, в котором И. Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, -- был написан в 1670--71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона -- Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм.

Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия, закладываются основы дальнейшего развития "чистой" геометрии главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Из других открытий 17 века следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения -- открытием простейшей формы "закона больших чисел" (Я. Бернулли, опубликован в 1713). Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673--74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.

В XVIII веке доктрина развития математики кардинально меняется. Если в XVII веке математика сблизилась с философией, то в XVIII веке начала отдаляться от нее, полагаясь не на логику, а на усовершенствование математического аппарата и методов математического анализа. Этот поворот связан с именами швейцарского математика Л. Эйлера и французского математика и физика Ж. Лагранжа. Однако излишняя вера в математический анализ, в его "самосовершенствование" и отступление от философского логического аппарата, привела к крайне ревизионистскому уклону в "безошибочность математических выкладок". Впервые математика попробовала поставить себя над другими науками. Особенно этим увлекся Г. Лейбниц, пытался этому противостоять Л. Эйлер. Исправление ревизионистских перекосов и уклонистики в "безоговорность математического анализа" путем частичного сближения с философией и модернизации математического анализа логическим обоснованием было проведено только в XIX веке, и то не до конца. Поэтому над всеми открытиями XVIII века довлеет эта враждебная доктрина.

Опираясь на вышеуказанную ошибочную теорию, происходит отдаление математики от других технических наук. Однако развитие прогресса на этом не остановилось. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематической науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубликовано в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубликован в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлек (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитической теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) иррациональность е и e², а И. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) -- иррациональность числа Пи. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Ж. Д'Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (так называемая лемма Д'Аламбера), считая это за доказательство существования корня у любого алгебраического уравнения. Формулы А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрическую функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления. Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 века, особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Ж. Д'Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Л. Эйлер дал (1739, опубликован в 1743) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами, Ж. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Л. Эйлер, Г. Монж и П. Лаплас -- второго порядка. Специальный интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрические ряды, так как в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты XIX века о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в XVIII веке, является вариационное исчисление, созданное Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас на основе отдельных достижений XVII--XVIII веков заложили начала теории вероятностей. В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналитической геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.

Огромную роль в развитии математики стали играть национальные академии наук, членами которых были многие математики. Роль университетов же начала сходить на нет.

XIX век отличался бурным техническим прогрессом, который потребовал от математики не "витать в облаках", а помогать в развитии техники. Поэтому господствующая в XVIII веке ревизионистская теория была подвергнута реформе, что привело к устранению большинства перегибов и сближении математики с другими техническими науками. Были восстановлены связи и с философией, на вооружение снова взята логика, дополнившая математический анализ.

Важнейшими открытиями того периода стали введение в 1799 и в 1806 годах геометрической интерпретации комплексных чисел, доказательство в 1824 году неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени, разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским в 1826 году неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей.

Углубление связей с естествознанием потребовало дополнительной модернизации математического анализа, что привело к разработке теории функций комплексного переменного. Начались и реформы в самой математике, что привело к изобретению российским математиком Н. Лобачевский "воображаемой геометрии" - геометрии Лобачевского. Потребности квантовой физики вызвали к реабилитации теорию групп и её доработке.

Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830--32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине XIX века А. Кэли дал общее "абстрактное" определение группы. С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого Е. С. Федоров (1890) и немецкий учёный А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

Также математики разрабатывают специально для нужд физики функциональный анализ.

Таким образом, можно сказать, что в XIX веке математика не столько развивалась сама, сколько развивала другие технические науки. Во-многом, для этого пришлось клонировать "алгебры" и "геометрии" (та же неевклидова геометрия Лобачевского) и перестроить всё свое мышление, отказавшись от замашек "царицы наук".

Во II-й половине XIX века развитие электродинамики, теории магнетизма и термодинамики заставило физиков снова обращаться за помощью к математикам, что привело к дополнительному расширению математического анализа. Фактически, происходит отделение от математики математической физики, зато в результате сближения физики с астрономией, в математику возвращается тригонометрия. Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века -- К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других английских математиков возникает векторный анализ.

Практика тогда же разбила теорию о "всеобъемлемости дифференциальных уравнений", что придало существенный прогресс развитию теории вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. В алгебре после упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (теория Галуа). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х годах. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраических чисел, приведшее к созданию новой науки -- алгебраической теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в XIX веке и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметических прогрессиях и т.д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и другие), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грасман создаёт аффинную и метрическую геометрию n-мерного векторного пространства.

Лишь в начале 70-х годов 19 века Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени "геометрий" пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879--84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете математики, строении математической теории, роли аксиоматики и т.д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 "Оснований геометрии" Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логических трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математической теории и приёмов конструктивного решения математических задач средствами математической логики. Эти исследования возрастают в большой самостоятельный отдел математики -- математическую логику. Основы математической логики создаются в XIX веке Дж. Булем, П. С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано и другими. В начале XX века в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).

Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и окончательности результатов, получают в конце XIX века и в начале XX века все разделы математики, начиная с самого старого из них -- теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарев и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраической теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа e, немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 - числа Пи, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Валле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду, Г. Минковский вводит в теоретико-числовые исследования геометрические методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков.

Центр тяжести алгебраических исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, колец и т.д. Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп -- в кристаллографии, а позднее -- в вопросах квантовой физики.

На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникают во все новые области математики и естествознания.

Аналитическая теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, так как обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, то есть возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории: краевые задачи, которые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными.

Также русским математикам принадлежит создание математической статистики. Это открытие сильно подстегнуло развитие политэкономии, чьим развитием занимались Д. Рикардо, А. Смит, К. Маркс, Ф. Энгельс, В. Ленин, И. Сталин, Э. Ходжа и Т. Пикетти.

V этап развития математики: Милитаризация математики. Математика в XX веке.

В XX веке происходит скачок развития военной техники, что привело к сильной милитаризации ряда технических наук, возглавляемый физикой, но и математика туда входит. Развитие математики плотно затачивается на военные нужды. Создание паровых и электротурбин, самолетов, автоматического стрелкового оружия, танков, скорострельной артиллерии, атомного оружия, баллистических и крылатых ракет, управляемых боеприпасов, беспилотных летательных аппаратов - во-многом, заслуга математики.

Важнейшим открытием стало объяснение явления флаттера и борьбы с ним в 1956 году советским математиком М. Келдышем. Это позволило устранить разрушение конструкции реактивных самолетов и ускорило развитие реактивной авиации.

Появление в 1952 году в СССР первой в мире ЭВМ привело к ускорению всего развития математики, в первую очередь, вычислительной математики.

В XXI веке наблюдается тенденция к двум моментам. Первый - математика настолько сблизилась с другими науками, что снова возродилась теория XVIII века о главенстве математики над науками. Вторая тенденция - сближение математики и истории.

Потребности развития самой математики, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники, приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (например, теория алгоритмов, теория информации, теория игр, исследование операций). Также из математики в самостоятельную науку выделилась кибернетика.

На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика.

Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях -- к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Советская математическая наука занимала передовое место в мировой математической науке. Во многих направлениях работы советских учёных играли определяющую роль. Успехи дореволюционной русской математики были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математические центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петербургской школы. После Великой Октябрьской социалистической революции ряд новых важных направлений возник в московской математической школе. В дореволюционной России основными центрами математических исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и другие). Развитие научных исследований в области математики и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значительной мере сконцентрированы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих университетах. Важной чертой развития математики в нашей стране является возникновение за годы Советской власти многочисленных научных школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области математики. Таковы математические школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и других городах и созданная в 60-х годах научная школа в Академгородке, близ Новосибирска.

В зарубежных странах математические исследования ведутся как в математических институтах, так и в университетах (особенно в капиталистических странах).

Ещё на рубеже XVII--XVIII веков появились первые математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математической науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах. Организация и поощрение международного сотрудничества в области математической науки, подготовка научных программ международных математических конгрессов и др. является задачей международного математического союза. Текущие математические исследования (а также информация о математической жизни в различных странах) публикуются в математических журналах, общее число которых (начало 70-х годов XX века) более 250.

Список литературы:

Колмогоров А.Н., статья "Математика", в книге: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954. Статья "Математика" в книге: Большая Советская энциклопедия, 3 изд., т. 15, М., 1974. Математика, её содержание, методы и значение, т. 1-3, М., 1956; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод с французского, 2 изд., М.-Л., 1938; его же. История математики в XVI и XVII веках, перевод с немецкого, 2 изд., М.-Л., 1938; Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, перевод с голландского, М., 1959; Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., перевод с немецкого, 2 изд., М.-Л., 1935; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, перевод с немецкого, ч.1, М.-Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1-2, М., 1960-63; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод с французского, М., 1963; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1969: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970-72; Cantor М., Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1--4, Lpz., 1907-13. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в книге: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сборник статей], М.-Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917--1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сборник статей, М.-Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957. Сборник статей, т. 1, М., 1959; Weyl H., A Half-century of mathematics, "American Mathematical Monthly", 1951, v. 58, N 8, p. 523--53; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1-5, М.-Л., 1951-66; Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, перевод с немецкого, т. 1-3, 2 изд., Одесса, 1911--14; Enzykiopdie der mathematischen Wissenschaften, mit Einschiuss ihrer Anwendungen, Bd 1-6, Lpz., 1898-1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1, Lpz., 1950; Encyclopedie des siences mathmatiques pures et appliques, t. 1-7, P. Lpz., 1904--14; Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine EnzykiopДdie); Mathematisches Wrterbuch, 2 Aufl., Bd 1--2, В. -- Lpz., 1962.

Оставить комментарий © Copyright Васильев Петр Иосифович Размещен: 02/07/2016, изменен: 17/01/2017. 53k. Статистика. Очерк: История Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Краткая история математики - в одном томе. Для широкого круга читателей.

Васильев Петр Иосифович : другие произведения.

Краткая история математики