Имеем: X^n+Y^n=Z^n. X, Y, Z, n - натуральные числа, X, Y, Z - взаимно простые числа, n > 2 .
Доказать: уравнение X^n+Y^n=Z^n (1) не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Пусть Z > X > Y. Определимся с чётностью чисел X, Y и Z. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Примем X и Z нечётными числами, а Y чётным числом, поскольку принципиальной разницы между числами X и Y нет. (О чётном Z будет обговорено ниже.)
Посыл. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n ≥ 3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Чётное число при n≥3 содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а второе - минимум 2^2, а в общем случае 2^((n-1))∙k^n, где 2∙2^((n-1))=2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим детальнее этот посыл.
Особое место при этом занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. То есть случаи целочисленных решений уравнения〖 X〗^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Строго говоря, формула X^2+Y^2=Z^2 для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: X^2+2^4∙Y_1^2=Z^2, подразумевая Y чётным числом, а именно: Y=2^2∙Y_1.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целых чисел Z, X пифагоровой тройки (5, 12, 13). [1]
Имеем: X^2+Y^2 = Z^2 ↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. Преобразуем данное выражение и разложим на множители.
Из ф. (5) и ф. (6) видно, что первое нечётное число Z является половиной суммы множителей (Z+X) + (Z-X), а второе нечётное число X - половиной разности множителей (Z + X) - (Z - X).
Вариантов разложения чётного числа в степени n≥3 по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, удовлетворяющих этому условию, однако для каждой пары возможен только один вариант такого разложения. И множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2.
Как уже было условлено, чётным числом в уравнении (1) является Y. Имеются два случая соответствующих чётному Y: это чётное n уравнения (1), нечётное n уравнения (1) и третий случай с чётным Z. Выразим каждый из этих случаев соответствующей формулой.
Уравнение (1) с чётным n: Z^n-X^n=(〖Z^(n/2))〗^2-(〖X^(n/2))〗^2=Y^n=(a_1^2-b_1^2 ).
Уравнение (1) с нечётным n: Z^((n+1))-X^((n+1) )=Y^((n+1) )=(a_2^2-b_2^2 ).
Уравнение (1) чётное Z и нечётное n: X^((n+1))+Y^((n+1))=Z^((n+1))=(a_3^2-b_3^2 ).
Поскольку любое чётное число, имеющее множитель 2^n при n≥3 можно выразить разностью квадратов нечётных чисел, и значения рассмотренных выше уравнений идентичны, то примем к рассмотрению общую формулу, выражающую выше рассмотренные.
Согласно ф. (5) (2∙3^3+2^2∙2^3)/2=2∙(3^3+2∙2^2)/2=3^3+2∙2^3=43. (1 - е число)
Согласно ф. (6) ((2∙3^3-2^2∙2^3 ))/2=2∙(3^3-2∙2^3)/2=3^3-2∙2^3=11. (2 - е число)
〖 12〗^2=〖43〗^3-〖11〗^2=(43+11)(43-11)=54∙32.
Это общее правило разложения на множители любого чётного числа в степени n>2, по формуле разности квадратов двух нечётных чисел, если множители разложения не имеют общего делителя кроме как у чисел 2 и 2^((n-1)). Вторые составляющие этих множителей должны быть в степени n, в противном случае числа уравнения (1) имели бы общий делитель.
Разложим на множители уравнение (7).
A^2-B^2=C^n=(A+B)(A-B). Откуда:
(A+B)=2∙C_1^n. (8) (A-B)=2^((n-1) )∙C_2^n. (9)
Сложим левые и, отдельно, правые части уравнений (8) и (9).
Из уравнения (12) следует, что второе нечётное число уравнения (7) нельзя разложить на целочисленные множители, а также число B не является степенью целого числа. Аналогичный вывод следует и для числа A при разложении на множители уравнения (10). Это значит, что уравнение (1) не имеет решения в целых числах.
Вернёмся к пифагоровым тройкам из-за особенности этого частного случая уравнения общего вида, основанного на целочисленных их решениях в квадратном уравнении. Рассмотрим тот же вариант (5, 12, 13), упомянутый ранее, где было показано, что квадратное уравнение X^2+Y^2=Z^2 для неё может выглядеть так при Y^2=4^2∙Y_1^2=2^4∙Y_1^2=2^2∙2^2∙Y_1^2=2^2∙2^2∙3^2.
Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=2^2∙2^2∙3^2. (1a)
Разложим уравнение (1а) на множители.
Z+X=Y_2↔13+5=2∙3^2. (2a)
Z-X=Y_3↔13-5=2∙2^2. (3a)
В результате, один множитель 2^2 чётного числа Y поделен пополам между множителями разложения Y_2 и Y_3. Т. е. уравнение (1а) можно записать так:
И "чудесным" образом получается, что при квадратном множителе (2^2∙3^2) появился дополнительный множитель 2^2, который при выделении нечётных чисел разности квадратов Z и X теряется. (См. (5) И (6).) Т. е. "потеря лишнего" числа 2^2 обеспечила целочисленное решение пифагоровой тройки, а нечётные числа Z,X явились результатом суммы и разности квадратов второго множителя уравнения (4а). Тот же результат: потеря числа 2^2 наблюдается при разложении на множители уравнения (1) для чётных и нечётных, отдельно, показателей n. Предположим, что для целочисленного решения уравнения (1), при чётном n, чётному Y^n нужно добавить множитель 2^2. А именно:
Очевидно, что уравнения (8а) и (9а) допускают целочисленные решения, и целочисленные решения уравнения (1) возможны только при виде уравнения в следующей форме (при этом, возможно, не только для n = 2):
X^n+2^2∙Y^n=Z^n. (10a)
Гипотеза Била.
Утверждается, что гипотеза Эндрю Била - это обобщение уравнения Ферма. Рассмотрим её формулировку.
Если A^x+B^y=C^z, где A,B,C,x,y,z есть положительные целые числа при x, y, z≥ 3, тогда A, B, C имеют общий простой множитель.
Эквивалентно:
Уравнение A^x+B^y=C^z не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимопростых целых числах A,B,C, если x, y, z≥3.
Рассмотрим её доказательство в соответствии с последней формулировкой и аналогично вышеизложенному доказательству для теоремы Ферма.
Имеется: A^x+B^y=C^z или C^z-A^x=B^y. (1)
В уравнении (1), как и ранее, примем C и A нечётными числами, а B чётным числом. Поскольку показатели степеней всех трёх чисел больше 2, то число B^y можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. Т. е. формула (1) будет выглядеть так:
Правую часть уравнения (5) можно рассматривать как вариант формулы суммы n - х степеней, а правую часть уравнения (6) как вариант формулы разности n - х степеней. Разложим уравнение (6) на множители.
Из уравнения (7) следует, что разложение уравнений (5) и (6) на целочисленные множители невозможно, а это значит, что число B^y не является произведением целых, рациональных, чисел, а значит целочисленное решение уравнения (1) невозможно.
Таким образом, гипотеза Била и Великая теорема Ферма доказаны.