# Общий случай полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления

Сергей Иванович Ведерников

Простое доказательство

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ "ПОЛНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ"

Ведерников Сергей Иванович - пенсионер.

г. Москва

Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл "удивительное" решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения на целочисленные множители в уравнении при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных ∙решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.

THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION Vedernikov S.I.

Vedernikov Sergey Ivanovich - Retired.

Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of and for integer multipliers in the equation when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat"s Great Theorem. Division method.


УДК 512.1


Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n + Y^n = Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.

Доказательство.

Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа. Z > X > Y - взаимно простые числа, n > 2.

Используя исходное уравнение, произведём разложение на множители по формуле разности квадратов, исходя из посыла, что чётное число, имеющее множителем 2^n, при n > 2, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z, X - нечётными числами, а Y - чётным числом. (Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. Случай 3 "Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления", в дальнейшем "Доказательства...") [2]

Имеем: X^n + Y^n = Z^n. (1)

Возведём левую и правую части формулы в квадрат.

X^2n + 2∙X^n∙Y^n + Y^2n = Z^2n.

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

Z^2n-X^2n = Y^2n + 2∙X^n∙Y^n = Y^n∙(Y^n+2∙X^n ). (2)

Разложим ф. (2) на множители.

Z^n + X^n = Y^n + 2∙X^n; (3)

Z^n - X^n = Y^n. (4)

(Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2∙X^n к левой и правой частям формулы (4).)

В соответствии с ф. ф. (4) и (5) (Случай 1 "Доказательства...") множители Y^n и (Y^n + 2∙X^n) формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа 2, исходя из условия о взаимно простых X, Y, Z . Рассмотрим всё же этот момент отдельно.

Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:

Z^n+X^n=2∙(2^((n-1) )∙Y_1^n+X^n );

Z^n-X^n =〖 2〗^n∙Y_1^n.

Примем условно 2^((n-1))∙Y_1^n+X^n=Y_2^n, где Y_2^n целое нечётное число в степени n. (Условно - потому что нельзя доказать, что Y_2 - целое число, однако нельзя утверждать, что оно не может быть целым. Кроме того, целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального.)

Итак: Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (5) Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (6)

Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:

2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n или Z^n=2∙(Y_2^n+2^((n-1) )∙Y_1^n)/2 ; Z^n=Y_2^n+2^((n-1))∙Y_1^n. (7)

Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем:

2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n или X^n=2∙((Y_2^n-2^((n-1) )∙Y_1^n ))/2; X^n=Y_2^n-2^((n-1) )∙Y_1^n. (8)

Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условия о взаимной простоте Z и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах Y_2^n и 2^((n-1))∙Y_1^n, поскольку такие же множители имели бы X^n и Z^n. Поэтому множители этих чисел должны быть в степени n. (См. ф. (6) и ф.(7) ссылка [2].) Рассмотрим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Z = 13, X = 5, Y = 12.

Как показано в Случае 1 "Доказательства..." сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а другое - минимум 2^2, в общем же случае 2^(n-1) при n>2.

Разложение формулы Z^n-X^n=Y^n при чётном n выглядит так:

Z^(n/2)-X^(n/2)=Y^m и Z^(n/2)+X^(n/2) =〖 Y〗^((n-m)).

Для разности квадратов пифагоровой тройки 5; 12; 13 разложение такое.

Имеется: X^2+Y^2=Z^2↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. (1а)

Преобразуем ф. (1а).

Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (2a)

Разложим на множители ф. (2а).

Z + X = 2∙Y_1^2↔ 13 + 5 = 18; (3a)

Z - X = 2^(2-1)∙Y_2^2=2∙Y_2^2↔13-5=8. (4a)

Число 18 ф. (3а) содержит только одно число 2, а число 8 ф. (4а) имеет вид 2^3. Следовательно, весь чётный сомножитель числа 〖12〗^2=144 составляет 2^4=2^2∙2^2=4^2=16. Т. е. одно число 4 разделено пополам между числом 18 и числом 8.

Поделив 18 и 8 на 2, имеем 9=3^2 и 4 = 2^2.

Это значит, что вторыми множителями чисел 18 и 8, кроме числа 2, являются квадраты чисел. Причём это свойство всех пифагоровых троек.

Рассмотрим ф. (3) как аналог ф. (5).

Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (3) Z^n+X^n=2∙Y_2^n. (5)

Нами условно принято, что Y_2^n является n - ой степенью целого нечётного числа. На анализе ф. (3а) и ф. (4а) разложения пифагоровой тройки (5, 12, 13) можно предположить, что сомножитель правой части ф. (2) 2∙Y_2^n имеет в некоторых случаях, как и в уравнении X^2+Y^2=Z^2, целочисленные значения Y_2. Следовательно, делаем вывод, что уравнение X^n+Y^n=Z^n может иметь целочисленные решения.

Однако перемножим левые и правые части ф. ф. (5) и (6).

Z^2n - X^2n = 2∙Y_2^n∙ Y^n = 2∙(Y_2^n∙Y^n). (9)

Примем чётное, имеющее множителем 2^n, где n≥3, число Y_2^n∙Y^n как Y_3^n. А любое чётное число, имеющее множитель 2^n при n > 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Запишем ф. (9) следующим образом: Z^2n - X^2n = 2∙Y_3^n. (10)

Поскольку числа Z^2n и X^2n являются квадратами чисел Z^n и X^n, то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой - результат, который должен раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью.

Выразим число Y_3^n разностью квадратов чисел A и B.

Y_3^n = A^2 - B^2.

Запишем ф. (10) так:

Z^2n - X^2n = 2∙(A^2 - B^2) = (2∙A^2 - 2∙B^2). (11)

Разложим на множители левую и правую части ф. (11).

(Z^n - X^n)(Z^n + X^n) ≠ (√(2∙)A - √2∙B)(√2∙A+√2∙B). (12)

Как видно из ф. (12) целочисленные значения её левой части не соответствуют результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (11) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение X^n + Y^n = Z^n не имеет решения в целых числах при целочисленном Y_3. (См. формулу (10).)

Рассмотрим формулу (9).

Z^2n-X^2n=2∙Y_2^n∙Y^n=2∙(Y_2^n∙Y^n ), где Y_2^n∙Y^n=Y_3^n.

Предположим, что Y_2 не является целым числом.

По аналогии со случаем X^2+Y^2=Z^2 можно бы заключить, что уравнение X^n+Y^n=Z^n и тогда не имеет решений, но рассмотрим этот момент отдельно.

Запишем ф. (9) по-другому, приняв Y_2^n=k, где k - целое, нечётное число.

Z^2n-X^2n=2∙k∙Y^n. (9a)

Поскольку Y^n можно выразить разностью квадратов, то запишем его как 〖 Y〗^n=(A_1^2-B_1^2).

Тогда ф. (9а) примет вид:

(Z^n-X^n)(Z^n+X^n)= 2∙k∙(A_1^2-B_1^2 )=(2∙k∙A_1^2-2∙k∙B_1^2 ). (9b)

Разложим правую часть ф. (9b) на множители. (Z^n-X^n)(Z^n+X^n)≠(√(2 )∙√k 〖∙A〗_1-√2∙√k 〖∙B〗_1)(√2∙√k∙A+√(2∙) √k 〖∙B〗_1). (9c)

Из ф. (9с) следует, что правую часть ф. (9а) невозможно разложить на целочисленные множители и при целом √k, и при иррациональном, поскольку k - нечётное число. Следовательно, уравнение X^n+Y^n=Z^n и в этом случае не имеет целочисленных решений.

Рассмотрим ф. (9а) в следующей позиции. Имеем: Z^2n-X^2n=2∙k∙Y^n. Выразим Y^n=2^n∙Y_0^n при n ≥3.

В данном случае 2^n∙Y_0^n можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. Тогда разложение ф. (9а) будет соответствовать ф. (9b) и ф. (9с).

При n = 2 ф. (9а) будет выглядеть так:

Z^4-X^4=2∙k∙2^2∙Y_0^2=2^3∙k∙Y_0^2.

Выразим 2^3∙k∙Y_0^2 разностью квадратов. 2^3∙k∙Y_0^2=(A_2^2-B_2^2 ).

Тогда ф. (9а) будет такой: Z^4-X^4=A_2^2-B_2^2, а это значит, что уравнение X^2+Y^2=Z^2 может иметь решения в целых числах.

Рассмотрим ф. (6) и ф. (7) Случай 1 " Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления", которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при n кратном 4, для иллюстрации Общего случая. [2] Z^n - X^n = Y^n. Y^n - чётное. 〖 Z〗^(n/2) + X^(n/2) = 2∙Y_1^n; (6а) Y_1^n - нечётное. Z^(n/2) - X^(n/2) = 2^((n-1))∙Y_2^n. (7а)

При этом нужно заметить, что разложение на множители формулы Z^2 - X^2 = Y^2, соответствующее "пифагоровым тройкам", где Y^2 чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8. Преобразуем правую часть ф. (7а). Преобразуем 2^((n-1))∙Y_2^n следующим образом: 2^((n-1))∙Y_2^n = (2^n∙Y_2^n)/2 = Y_3^n/2.

Выразим Y_3^n разностью квадратов двух нечётных чисел.

Пусть: Y_3^n = A^2 - B^2.

Тогда: Y_3^n/2 = (A^2 - B^2)/2 = A^2/2 - B^2/2. (13)

Разложим ф. (13) на множители.

A^2/2 - B^2/2 = (A/√2 - B/√2)∙(A/√2 + B/√2). (14)

Z^(n/2) - X^(n/2) = (Z^(n/4) - X^(n/4))(Z^(n/4) + X^(n/4)) ≠ (A/√(2 ) - B/√2)(A/√2 + B/√2), (14a)

Как видно из ф. (14) и ф. (14а) уравнение X^n + Y^n = Z^n при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.

Для полной ясности с рассматриваемым случаем можно рассмотреть ф.(6a) и ф. (7a) во второй позиции, где сумма Z^(n/2) + X^(n/2) = 2^((n-1))∙Y_3^n, а разность Z^(n/2) - X^(n/2) = 2∙Y_4^n. (15)

Разложим ф. (15) на множители при n, кратном 4.

(Z^(n/4) - X^(n/4))(Z^(n/4) + X^(n/4)) ≠ 2∙Y_4^n. (15a)

Поскольку левая часть уравнения (15а) содержит множителем минимум число 8 , а правая только 2 при нечётном Y_4^n, то и в этом случае уравнение X^n + Y^n = Z^n не имеет целочисленных решений.

Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх случаев "Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления".

Список литературы / References

Сингх С. Великая теорема Ферма. М.:МЦНМО, 2000. \

Ведерников С. И. Доказательство Великой теоремы Ферма методом деления. Журнал "Проблемы современной науки и образования" ╧ 33 [115] 2017. Изд.: "Проблемы науки".

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Учеб. Пособие. М. Высшая школа, 1984.

╘Ведерников С. И. 2018