Ведерников Сергей Иванович: другие произведения.

Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Peклaмa:

 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Простое доказательство.

  ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ
  Доработанный вариант статьи "Решение Большой теоремы Ферма методом деления"
   Ведерников Сергей Иванович - пенсионер.
   Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл "удивительное" решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения и на целочисленные множители в уравнении при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.
   THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION Vedernikov S.I.
   Vedernikov Sergey Ivanovich - Retired, Moscow
   Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of and for integer multipliers in the equation when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat"s Great Theorem. Division method.
   УДК 512.1
   Теорема:
   для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
   Доказательство.
   Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа.
   Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
   Исходя из того, что уравнение X^2+Y^2=Z^2 является частным случаем уравнения X^n+Y^n=Z^n и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение X^n+Y^n=Z^n при n > 2 не имеет целочисленных множителей для X^n или Z^n, то оно не имеет решений в целых положительных числах.
   Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки ( 5; 12; 13 ). [2]
   Имеем: X^2+Y^2=Z^2↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2.
   Преобразуем выражение:
   Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (1)
   Разложим ф. (1) на множители:
   Z+X=Y_1↔13+5=18; (2)
   Z-X=Y_2↔13-5=8. (3)
   Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):
   2∙Z=Y_1+Y_2↔18+8=26; откуда:
   Z=(Y_1+Y_2)/2=(2(9+4))/2=13. (4)
   Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2):
   2∙X=Y_1-Y_2↔18-8=10; откуда:
   X=(Y_1-Y_2)/2=(2(9-4))/2=5. (5)
   Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2 уравнения X^n+Y^n=Z^n возможно выделение целочисленных множителей Y^n и целочисленных значений X и Z.
   Произведём разложение на множители в уравнении X^n+Y^n=Z^n при n>2. Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем 2^n, при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
   Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет.
   Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
   Случай 1.
   Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
   Имеется:
   X^n+Y^n=Z^n.
   Преобразуем исходное уравнение:
   Z^n-X^n=Y^n. (1)
   Разложим на множители ф. (1).
   Z^(n/2)+X^(n/2)=Y^(n-m); (2)
   Z^(n/2)-X^(n/2)=Y^m. (3)
   Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем 2^2, а в общем случае 2^(n-1.) Разложение на множители Z^n-X^n=Y^n при чётном n=2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда Y^(n-m) имеет множитель 2, а Y^m - 2^(n-1), и когда Y^(n-m) имеет множитель 2^(n-1), а Y^m только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф.(6) и ф.(11).)
   Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
   2∙Z^(n/2)=Y^(n-m)+Y^m;
   Z^(n/2)=(Y^(n-m)+Y^m)/2; (4)
   а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
   2∙X^(n/2)=Y^(n-m)-Y^m;
   X^(n/2)=(Y^(n-m)-Y^m)/2. (5)
   Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел Y^(n-m) или Y^m имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2^(n-1), поскольку Y^n - число чётное и имеет множителем минимум одно число 2^n. При этом Y^(n-m) и Y^m не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также Z^n и X^n, что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
   Поэтому Y^(n-m) и Y^m должны состоять из различных множителей числа Y^n в той же степени, в степени n.
   Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел Y^(n-m) или Y^m должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
   Z^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_1^n; (6)
   Z^(n/2)-X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_2^n; (7)
   имея в виду, что Y_1^n - число нечётное.
   Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение Z^(n/2) и X^(n/2), подставив вместо Y^(n-m) значение 2∙Y_1^n, а вместо Y^m значение 2^(n-1)∙Y_2^N.
   Z^(n/2)=(2∙Y_1^n+2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n;
   X^(n/2)= (2∙Y_1^n-2^(n-1)∙Y_2^n)/2=(2∙(Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n))/2=Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n.
   Итак, имеем:
   Z^(n/2)=Y_1^n+2^(n-2)∙Y_2^n; (8)
   X^(n/2)=Y_1^n-2^(n-2)∙Y_2^n. (9)
   Поскольку X^(n/2) является степенью числа X при чётном n≥4, то его можно разложить на множители.
   Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n - х степеней. X^(n/2)=(Y_1-√(n&2^(n-2) )∙Y_2)∙(Y_1^(n-1)+⋯+2^(((n-2)∙(n-1))/n)∙Y_2^(n-1)). (10)
   Очевидно, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n - х степеней.
  
   Рассмотрим ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при чётном n > 3.
   Z^n - X^n = Y^n. Y^n - чётное.
   Z^(n/2) + X^(n/2) = 2Y_1^n; (6)
   Z^(n/2) - X^(n/2) = 2^(n - 1)Y_2^n. (7)
   При этом нужно заметить, что разложение на множители формулы Z^2 - X^2 = Y^2, соответствующее "пифагоровым тройкам", где Y^2 чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8.
  
   Формула (7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем 2 ^(n - 1)Y_2^n следующим образом:
   2^(n - 1)Y_2^n = (2^n Y_2^n)/2 = ( Y_3^n)/2.
   Выразим Y_3^n разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем 2^n при n > 2 , можно хотя б один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, а точнее, разность этих чисел, имеет только один множитель 2, а второй - сумма этих чисел - множитель 2^(n - 1).
   Пусть: Y_3^n = A^2 - B^2.
   Тогда: (Y_3^n)/2 = (A^2 - B^2)/2 = A^2/2 - B^2/2. (11)
   Разложим ф. (11) на множители:
   A^2/2 - B^2/2 = (A/2^{1/2} - B/2^{1/2})(A/2^{1/2} + B/2^{1/2}). (12)
  
   Как следует из ф. (12), и ф. (6), где сумма содержит только один множитель 2, оба множителя Y^n невозможно разложить на целочисленные множители и, следовательно, нельзя представить разностью квадратов двух чисел, тогда как нечётные Z^(n/2) и X^(n/2) удовлетворяют условию разложения на разность квадратов, поэтому можно сделать вывод, что ф.ф. (6) и (7), а также уравнение X^n + Y^n = Z^n при чётном n > 3 не имеет решения в целых числах.
  
   Допустим:
   Z^(n/2)+X^(n/2)=2^(n-1)∙Y_4^n; (13)
   Z^(n/2)-X^(n/2)=2∙Y_5^n. (14)
   Формулу (13) можно рассмотреть так же, как ф. (7), где результат разложения правой её части такой же, как ф. ф.(12) .
  
   Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (13) и (14), аналогичным вышеизложенным, имеем:
   Z^(n/2)=2^(n-2)∙Y_4^n+Y_5^n; (15)
   X^(n/2)=2^(n-2)∙Y_4^n-Y_5^n. (16)
   Разложим ф. (16) на множители.
   X^(n/2)=(2^((n-2)/n)∙Y_4-Y_5 )∙(2^(((n-2)∙(n-1))/n)∙Y_4^(n-1)+⋯+Y_5^(n-1) ). (17)
   Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. [3] Поэтому √(n&2^(n-2) ) - число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2^n, может быть только 1.
   Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и ф.(13), можно заключить, что X^(n/2) невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
   При этом особо нужно отметить, что для √(n&2^(n-2) )=2^((n-2)/n) при нечётном n/2=2k+1, характерен следующий ряд показателей:
   (n-2)/n 0/2; 4/6; 8/10; 12/14; 16/18; 20/22 ... , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению X^2+Y^2=Z^2 при 2^(0/2)=√(2^0 )=√1=1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
   Случай 2.
   Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное.
   Имеем:
   X^n+Y^n=Z^n.
   Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
   X^2n+2∙X^n Y^n+Y^2n=Z^2n.
   Преобразуем полученную формулу следующим образом:
   Z^2n-X^2n=Y^2n+2∙X^n∙Y^n=Y^n∙(Y^n+2∙X^n ). (1)
   Разложим ф. (1) на множители.
   Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (2)
   Z^n-X^n=Y^n. (3)
   Y^n - чётное число, поэтому выразим его как 2^n∙Y_1^n.
   Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
   Z^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n );
   Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n.
   Примем〖 Z〗^n+X^n=2∙(2^(n-1)∙Y_1^n+X^n ) в виде Z^n+X^n=2∙Y_2^n, при нечётном Y_2^n, поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального.
   Итак, имеем:
   Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (4)
   Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (5)
   Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
   Откуда:
   2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n, или
   Z^n=(2∙(Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n ))/2;
   Z^n=Y_2^n+2^(n-1)∙Y_1^n. (6)
   Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
   2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n.
   X^n=(2∙(Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n))/2;
   X^n=Y_2^n-2^(n-1)∙Y_1^n. (7)
  
   Преобразуем ф. (7) следующим образом: Y_2^n - X^n = 2^(n - 1)Y_1^n.
   Из ф .(5) видно, что 2^(n - 1)Y_1^n = (2^n Y_1^n)/2 = (Y^n)/2. (8)
   Поскольку Y^n чётное число при n > 2, то его можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, а именно: Y^n = C^2 - D^2.
   Тогда ф. (8) примет вид:
   2^(n - 1)Y_1^n = (2^nY_1^n)/2 = (Y^n)/2 = (C^2 - D^2)/2 = C^2/2 - D^2/2. (9)
   Разложим правую часть формулы (9) на множители.
   (С^2 - D^2)/2 = C^2/2 - D^2/2 = (C/2^{1/2} - D/2{1/2}) (C/2^{1/2} + D/2^{1/2}).
   Как следует из разложения ф. (9) на множители, число 2^(n -1) Y_1^n невозможно разложить на целочисленные множители, следовательно нельзя представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
  
   Из ф. ф. (6) и (7) видно, что Y_2^(n ) и Y_1^n не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), а Z^n и X^n можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
   〖 Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).〗_
   Z^n=(Y_2+√(n&2^(n-1) )∙Y_1 )∙(Y_2^(n-1)-...+2^((n-1)^2/n)∙Y_1^(n-1) ); (10)
   X^n=(Y_2-√(n&2^(n-1) )∙Y_1)∙(Y_2^(n-1)+⋯+2^((n-1)^2/n) ∙Y_1^(n-1) . (11)
   Итак, X^n нельзя разложить на целочисленные множители, также как и (Y^n)/2 на разность квадратов двух нечётных чисел, а значит уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.
   Случай 3.
   X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
   Кроме известного доказательства, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве
   суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.
   Имеется:
   X^n+Y^n=Z^n. (1)
   Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2∙Y^n.
   X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^N; где
   Z^n-2∙Y^n=2^n∙Z_1^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n );
   с нечётным (2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n )=a.
   Тогда:
   X^n-Y^n=2∙a. (2)
   Поскольку n чётное по условию, то X^n-Y^n можно разложить, как разность квадратов. Пусть X^(n/2)+Y^(n/2)=2∙b, а X^(n/2)-Y^(n/2)=2∙c, поскольку X и Y нечётные числа.
   Тогда:
   X^n-Y^n=2∙b∙2∙c=4∙b∙c. (3)
   Сравним ф. (2) и ф. (3).
   2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.
   Итак: доказано, что Z в уравнении X^n+Y^n=Z^n не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных решениях уравнения.
   Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.
   X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
   Преобразуем уравнение X^n+Y^n=Z^n, вычтя из левой и правой его частей 2〖∙Y〗^n.
   Имеем:
   X^n-Y^n=Z^n-2∙Y^n=2∙(2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n ). (4)
   Отметим, что 2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n - нечётное число.
   Примем 2^(n-1)∙Z_1^n-Y^n=Z_2^n.
   Тогда ф.(4) примет вид:
   X^n-Y^n=2∙Z_2^n. (5)
   Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разницы квадратов X^n и Y^n:
   (X^n+Y^N)∙(X^n-Y^n)=X^2n-Y^2n=2∙Z_2^n∙Z^n=2∙(〖Z_2∙Z)〗^n.
   Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
   2∙X^n=Z^n+2∙Z_2^n;
   Выразим Z^n=2^n∙Z_3^n. Тогда:
   X^n=(Z^n+2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n))/2=〖2^(n-1)∙Z〗_3^n+Z_2^n; (6)
   2∙Y^n=Z^n-2∙Z_2^n;
   Y^n=(Z^n-2∙Z_2^n)/2=(2∙(2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n))/2=〖2^(n-1)∙Z〗_3^n-Z_2^n. (7)
   Рассмотрим ф. (7), где уменьшаемое в правой части (2^(n - 1) Z_3^n)/2 =(Z^n)/2, которое невозможно представить разностью квадратов двух нечётных чисел и разложить на целочисленные множители.
   X^n=2^(n-1)∙Z_3^n+Z_2^n=(√(n&2^(n-1) )∙Z_3+Z_2 )∙(2^((n-1)^2 )∙Z_3^(n-1)-...+Z_2^(n-1) ). (8)
   Разложим ф. (7) на множители по формуле размножения на множители разности n-х степеней, имея в виду, что Y^n нечётное число.
   Y^n=2^(n-1)∙Z_3^n-Z_2^n=(√(n&2^(n-1)∙)Z_3-Z_2 )∙(2^((n-1)^2/n)∙Z_3^(n-1)+⋯+Z_2^(n-1) ). (9)
   Из ф. (9) следует, что разложение Y^n на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.
   Общий вывод: для рационального числа n≥3 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.
  
   Список литературы:
  1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦИМО, 2000 г.
  2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959 г.
  3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984 г.
   љ С. И. Ведерников, 2018
  
 Ваша оценка:

РЕКЛАМА: популярное на LitNet.com  
  Л.Свадьбина "Попаданка в академии драконов 4" (Приключенческое фэнтези) | | Д.Рымарь "Девственница Дана" (Женский роман) | | В.Свободина "Таинственная помощница для чужака" (Современный любовный роман) | | CaseyLiss "Демон для меня. Сбежать и не влюбиться" (Любовное фэнтези) | | Е.Флат "Аукцион невест" (Попаданцы в другие миры) | | К.Невестина "Брачная охота на главу тайной канцелярии" (Юмористическое фэнтези) | | С.Грей "Гадалка для миллионера" (Современный любовный роман) | | А.Субботина "Затмение" (Любовное фэнтези) | | Л.Сокол "Наглец" (Романтическая проза) | | А.Иванова "Ты следующая" (Психологический триллер) | |
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Д.Смекалин "Ловушка архимага" Е.Шепельский "Варвар,который ошибался" В.Южная "Холодные звезды"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"