Аннотация. Целью работы ставится доказательство "Великой теоремы Ферма" элементарным способом. Методы доказательства, использованные в статье, заключаются в возможности показать базовое уравнение в виде равноценного ему уравнения, позволяющего представить значение выражения разностью квадратов двух нечётных чисел и использовать особенности его разложения на множители. В результате полностью доказана теорема Ферма простыми методами, доступными математикам во времена появления "проблемы Ферма".
Ключевые слова: разность квадратов двух нечётных чисел, разложение на множители, чётные числа, нечётные числа.
A "wonderful" proof of Fermat's Great Theorem
Vedernikov Sergey, Moscow
Annotation. The aim of the work is to prove Fermat's "Great Theorem" in an elementary way. The methods of proof used in the article consist in the ability to show the basic equation in the form of an equation equivalent to it, which allows you to represent the value of the expression by the difference of the squares of two odd numbers and use the features of its factorization. As a result, Fermat's theorem is fully proved by simple methods available to mathematicians at the time of the appearance of the "Fermat problem".
Keywords: difference of squares of two odd numbers, factorization, even numbers, odd numbers.
Имеется: X^n+Y^n=Z^n. X, Y, Z, n - натуральные числа, X, Y, Z - взаимно простые числа, n > 2 .
Доказать: уравнение X^n+Y^n=Z^n (1) не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Пусть Z > X > Y. Определимся с чётностью чисел X, Y и Z. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть X и Z нечётные числа, а Y чётное число, поскольку принципиальной разницы между числами X и Y нет. (О чётном Z будет обговорено ниже.)
Посыл и его обоснование. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n ≥ 3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Чётное число при n≥3 содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а второе - минимум 2^2, а в общем случае 2^((n-1))∙k^n, где 2∙2^((n-1))=2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим это детальнее.
Имеется два нечётных числа: (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1), сумма которых есть (2∙k_1+1+2∙k_2+1)=2∙(k_1+k_2+1), где 2∙(k_1+k_2+1) "сумма" в дальнейшем, а разность (2∙k_1+1-2∙k_2-1)=2∙(k_1-k_2 ), где 2∙(k_1-k_2) "разность" в дальнейшем.
Поскольку k_(1 )и k_2 могут быть любой чётности, рассмотрим все возможные случаи их сочетаний.
Случай 1. k_1>k_2 - чётные.
Рассмотрим формулу "суммы", где k_1=2∙k_3, а k_2=2∙k_4. 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1) .
Итак, сумма нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_(1 )и k_2 имеет только один множитель 2.
Рассмотрим формулу "разности" при чётных k_1=2∙k_3 и k_2=2∙k_4 . 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4∙(k_3-k_4) .
Следовательно, разность нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_1 и k_2 содержит множителем минимум число 4.
Случай 2. k_1 и k_2 - нечётные, k_1=(2∙k_3+1); k_2=(2∙k_4+1). "Сумма" выглядит так: 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+1+2∙k_4+1+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+3) . Сумма в этом случае имеет множителем только одно число 2.
Рассмотрим формулу "разности": 2∙(k_1-k_2 )=2(2∙k_3+1-2∙k_4-1)=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4(k_3-k_4) . То есть разность содержит множителем минимум число 4.
Случай 3. k_1-чётное,k_2-нечётное. k_1=2〖∙k〗_3; k_2=(2∙k_4+1). "Сумма": 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1+1)=4∙(k_3+k_4+1) . Множитель суммы минимум число 4.
"Разность": 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4-1). Множитель - одно число 2.
Случай 4. k_1 - нечётное (2∙k_3+1); 〖 k〗_2-чётное (2∙k_4). "Сумма": 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+1+2∙k_4+1)=4∙(k_3+k_4+1). Множитель минимум число 4.
"Разность": 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3+1-2∙k_4 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4+1). Множитель - одно число 2.
Итак, посыл обоснован.
Особое место при этом занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. То есть случаи целочисленных решений уравнения〖 X〗^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Строго говоря, формула X^2+Y^2=Z^2 для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: X^2+2^4∙Y_1^2=Z^2, подразумевая Y чётным числом, а именно: Y=2^2∙Y_1.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целых чисел Z, X пифагоровой тройки (5, 12, 13). [1]
Имеем: X^2+Y^2 = Z^2 ↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. Преобразуем данное выражение и разложим на множители.
Из ф. (5) и ф. (6) видно, что первое нечётное число Z является половиной суммы множителей (Z+X) + (Z-X), а второе нечётное число X - половиной разности множителей (Z + X) - (Z - X).
Вариантов разложения чётного числа в степени n≥3 по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, соответствующих этому условию. Для каждой пары возможен один вариант такого разложения. И множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2, как в данном случае, поскольку возможно разложение с общим делителем кроме числа 2.
Согласно ф. (5) (2∙3^3+2^2∙2^3)/2=2∙(3^3+2∙2^3)/2=3^3+2∙2^3=43. (1 - е число)
Согласно ф. (6) ((2∙3^3-2^2∙2^3 ))/2=2∙(3^3-2∙2^3)/2=3^3-2∙2^3=11. (2 - е число
〖 12〗^2=〖43〗^3-〖11〗^2=(43+11)(43-11)=54∙32.
Это общее правило разложения на множители любого чётного числа в степени n>2, по формуле разности квадратов двух нечётных чисел, если множители разложения не имеют общего делителя кроме как чисел 2 и 2^((n-1)), а вторые составляющие этих множителей должны быть в степени n.
Рассмотрим доказательство теоремы Ферма со случая чётного n >3.
Имеем: X^n+Y^n=Z^n, или Z^n-X^n=Y^n. (7)
Уравнение (7) можно рассматривать как выражение чётного числа Y^n разностью квадратов двух нечётных чисел при n=(〖n/2)〗^2, а именно:
Итак: n > 3 - чётное, (X,Y,Z) - числа взаимно простые, Z>X>Y, Y - чётное число. О чётном Z - ниже. Разложим уравнение (7) на множители.
Z^(n/2)-X^(n/2)=2^((n-1) )∙Y_1^n; (8) Y^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_2^n. (9) Так как n число чётное, то показатель n/2 целое число, а множители числа Y^n, где (Y^n=2^((n-1))∙Y_1^n∙2∙Y_2^n), Y_(1 )^n и Y_2^n должны быть в степени n, иначе у чисел Z и X был бы общий множитель. (См. ф. (5) и ф. (6).)
Произведём вычитание правой и, соответственно, левой частей ф. (8) из правой и левой частей ф. (9).
Формулу ф. (10) нужно рассматривать как вариант формулы разности n-х степеней, [2] из которой следует, что число X^(n/2) , а также X^n не являются степенями целого числа, а уравнение (7) не имеет целочисленных решений при чётных показателях степени n. Разложим уравнение (10) на множители.
Разложение на множители уравнения (11), а также (11а), соответствующее формуле суммы n - х степеней, также не даёт целочисленных значений.
(При этом надо заметить, что значение суммы и значение разности ф. (8) и ф. (9) могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства.)
Выясним возможность целочисленных решений уравнения X^n+Y^n=Z^n при нечётных показателях n>2 . Имеем: Z^n-X^n=Y^n. (12)
Отметим прежде, что Z, X - числа нечётные, а Y - число чётное. Кроме того установлено, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n, при n>2, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Представим уравнение (12) в виде Z^((2k+1))-X^((2k+1) )=Y^((2k+1) ). (12a) Особенностью уравнения (12а) является то, что его значение - Y^((2k+1)) можно получить двумя способами. Первый способ - по методу разности квадратов двух нечётных чисел, и второй - по формуле разности n - х степеней. И в том, и в другом случае подразумевается разложение на множители чётного числа Y^n. Выразим Y^n разностью квадратов нечётных чисел.
Y^n=Z_1^2-X_1^2. (13)
Приравняем левые части ф. (12a) и ф. (13).
Z^((2k+1))-X^((2k+1))=Z_1^2-X_1^2. (14)
Из уравнения (14) видно, что левую часть его невозможно выразить целочисленной разностью квадратов, а это означает, что Y^n нельзя представить разностью квадратов нечётных чисел. Из этого противоречия должно следовать, что уравнение (12) не имеет решения в целых числах.
Разложим уравнение (12) по формуле разности n - х степеней.
Y^n=Z^n-X^n=(Z-X)(Z^((n-1) )+⋯+X^((n-1) ) ). (15)
Очевидно, что (Z-X) - число чётное, а (Z^((n-1) )+⋯+X^((n-1) )) - число нечётное, поскольку количество нечётных слагаемых в этом множителе нечётное число для нечётного показателя n>2.
Множители правой части уравнения (17) числа чётные. Между тем как множители левой части уравнения (17) числа разной чётности, следовательно, решение уравнения (16) в целочисленном варианте невозможно, поскольку противоречит посылу о выражении чётного числа, имеющего множителем 2^3, разностью квадратов нечётных чисел. Тем самым невозможно и целочисленное решение уравнения (12).
Предположим, что X и Y - нечётные числа, а Z - число чётное. Разложим уравнение ф. (7) на множители по формуле суммы n - х степеней.
(X+Y)(X^((n-1) )-...+Y^((n-1) ) )=Z^n. (18)
Аналогично ф. (15) первый множитель ф. (18) - чётное число, а второй - число нечётное.
Представим чётное число Z^n разностью квадратов.
X_2^2-Y_2^2=Z^n; (X_2+Y_2 )(X_2-Y_2 )=Z^n. (19)
Множители уравнения (19) чётные, и из уравнений (18) и (19) следует то же противоречие, что и из уравнений (15) и (16). Следовательно, при чётном Z и нечётном n уравнение (12) не имеет решений в целых числах.
Ранее в доказательстве не был рассмотрен вариант чётного Z при чётном n. Поскольку уравнение X^n+Y^n=Z^n при чётном n можно рассматривать как сумму квадратов - слева и как квадрат чётного числа - справа, а так как известно, что они неравны, то это значит, что чётное Z при чётном n невозможно.
Итак, доказано, что уравнение X^n+Y^n=Z^n при натуральных X, Y, Z, n не имеет решений в целых числах.
Список литературы.
1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: