В разд. 6.2 было получено точное решение задачи о распространении электромагнитного излучения в периодической слоистой среде. Существует, однако, много периодических сред, для которых можно получить лишь приближенные решения системы уравнений Максвелла. Для решения этой задачи обычно используют два подхода. Первый из них основан на формализме блоховских функций, рассмотренном в разд. 6.1, а второй -- на теории связанных мод. В теории связанных мод периодическое изменение диэлектрического тензора рассматривается как возмущение, которое приводит к связи между невозмущенными нормальными модами структуры. Иными словами, диэлектрический тензор как функция пространственных координат записывается в виде
е(х, у, z) = е0(х, у) + Де(х, у, z), (6.4.1)
где ё0(г, у) -- невозмущенная часть диэлектрического тензора, а Де(г, у, z) -- периодический в направлении оси г тензор, являющийся единственной периодически изменяющейся частью диэлектрического тензора. Сравнивая (6.4.1) с фурье-разложением величины Е(х, у, z), приведенным в (6.1.10), нетрудно видеть, ЧТО Е0(х, у) представляет собой нулевой член ряда, а остальные члены входят в Ае(х, у, z).
,г)
Предположим, что распространяющиеся нормальные моды в невозмущенной диэлектрической среде, описываемой диэлектрическим тензором е0(х, у), известны. Поскольку невозмущенная диэлектрическая среда однородна в направлении оси г [т. е. Эе0(лт, у)/Ьг = 0], нормальные моды можно записать в виде
(6.4.2)
где т -- модовый индекс, который может принимать либо непрерывные значения для неограниченных мод, таких, как плоские волны, либо дискретные значения для локализованных мод, например типа волноводных. Эти нормальные моды удовлетворяют уравнению
Ет(х,у) = 0,
(6.4.3)
дх
--- + -- + ш2це0{х, у) - &
ду
где предполагается, что (У-Е) = 0 и уравнение (6.4.3) является приближением волнового уравнения (1.4.7) (см. разд. 2.1). Если при г = 0 возбуждается произвольное поле с частотой со, то поле, распространяющееся в невозмущенной среде, всегда можно представить в виде линейной комбинации нормальных мод:
Е= 1,АтЕт(х, (6.4.4)
т
где Ат -- постоянные. Такое разложение возможно благодаря тому, что эти нормальные моды образуют полный набор. Данные моды обычно нормируют таким образом, чтобы поток энергии в направлении оси г был равен 1 Вт. Следовательно, условие ортогональности этих мод можно записать в виде (см. разд. 11.1)
|/(Е/ХН *к)гЛх<1у = 81к, (6.4.5)
где Н, -- магнитное поле, связанное с модой Е^. Если У Е = 0 и моды Ет удовлетворяют уравнению (6.4.3), то это соотношение ортогональности принимает вид (см. разд. 11.1)
/Е*(х,у) • Е,(х, у) ах йу = (6-4.6)
где 6к/ -- дельта-символ Кронекера для локализованных мод идельта-функция для неограниченных мод. Если при г = О возбуждена только одна мода, например мода у)е то при распространении через невозмущенную среду электромагнитная энергия будет оставаться в этой моде.
Рассмотрим теперь распространение невозмущенной моды Е,(х, через возмущенную среду, описываемую диэлектри
ческим тензором ё0(х, у) + Ле(х, у, г). Наличие возмущения диэлектрического тензора Де(х, у, z) приводит к новому возмущению поляризации:
ДР = Де(х, у, г)Е,(х,
Если эта поляризационная волна, действующая как распределенный источник, может перекачивать энергию в некоторую другую моду Е2(х, у)е'<ш' ^ (или из нее), то можно говорить, что диэлектрическое возмущение Де(х, у, г) приводит к связи (т. е. вызывает обмен энергией) между модами Е, и Е2. Определим теперь, при каких условиях имеет место такая связь.
волны Е/п(х, у)ё
(6.4.8)
Обмен энергией между невозмущенными модами, обусловленный возмущением диэлектрического тензора, аналогичен переходу между состояниями атома под действием нестационарного возмущения. При этом метод расчета, который иногда называют методом вариации постоянных, является весьма простым. Он состоит в том, что вектор электрического поля электромагнитной волны записывают в виде суперпозиции нормальных мод, отвечающих невозмущенному диэлектрическому тензору, причем коэффициенты такого разложения, очевидно, зависят от г, поскольку при Де Ф О
<(и)/-0 г)
уже не являются независимыми модами:
(6.4.7)
т
Подставляя выражение (6.4.7) в волновое уравнение
{V2 + <о2ц[е0(х, у) + Де(х, у, г)]}Е = О
и используя (6.4.3), получаем
I ё.Ак-2фкЂАк Ек(х,у)е-^' =
= -<о2м]ГДЕ(х, у, г)А,Е,(х, у)е-*>*. i
Предположим далее, что возмущение диэлектрического тензора "слабое", т. е. изменение модовых амплитуд является "медленным" и удовлетворяет условию
" й л
Это условие называется параболическим приближением и часто используется в случае малых возмущений. Таким образом, пренебрегая в уравнении (6.4.9) второй производной, получаем
= у, г)А1 Е,{х, у)е~'Ь*.
--
--
--
1
Умножим теперь скалярно уравнение (6.4.11) на Щ(х, У) и проинтегрируем его по х и у. Используя свойство ортогональности (6.4.6) нормальных мод, имеем
Эти коэффициенты Сур отражают величину связи между к-й и 1-й модами, обусловленную т-й фурье-компонентой тензора диэлектрического возмущения.
(6.4.18)
Уравнения (6.4.16) представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, которые в принципе определяют бесконечное число модовых амплитуд. Однако на практике, особенно вблизи условия резонансной связи, только две моды оказываются сильно связанными и уравнение (6.4.16) сводится к системе двух уравнений относительно двух модовых амплитуд. Под условием резонансной связи мы подразумеваем следующее равенство:
Рк-Р,-т--=0>
где т -- целое число. Это условие имеет фундаментальное значение, и мы будем называть его условием продольного фазового синхронизма или просто фазового синхронизма. Условие (6.4.18) является пространственным аналогом закона сохранения энергии в нестационарной теории возмущений, и поэтому его можно называть законом сохранения импульса. Резонансную связь можно объяснить следующим образом. Из уравнения связанных мод (6.4.16) видно, что прирост амплитуды поля к-й моды с1Ак, обусловленный связью с 1-й модой в области между г и г + dz, выражается через т-ю фу- рье-компоненту возмущения диэлектрического тензора:
'^ехр
ьк1
(6.4.19)
Поскольку амплитуды представляют собой медленно меняющиеся функции координат, выражение (6.4.19) можно проинтегрировать по расстоянию, которое много больше периода Л, но много меньше масштаба изменения амлитуд. Это приводит к следующему выражению для результирующего приращения амплитуды ДАк, обусловленного связью с 1-й модой на расстоянии между г и г 4- Ь через т-ю фурье-компоненту тензора диэлектрического возмущения:
(6.4.20)
ехр
к I •'Аз.Л
'[Рк - Р/~ I*
Из этого выражения видно, что модовая связь между к-й и 1-й модами является незначительной, когда условие (6.4.18) при некотором целом m не выполняется. Действительно, в выражении (6.4.20) интеграл не обращается в нуль лишь в том случае, когда аргумент экспоненты равен нулю. Это условие точно совпадает с условием фазового синхронизма (6.4.18).
Таким образом, для изучения распространения электромагнитного излучения в диэлектрической среде с периодическим возмущением можно использовать метод вариации постоянных. Эти ^постоянные" (модовые амплитуды) удовлетворяют уравнениям связанных мод (6.4.16). Для того чтобы между модами /си / имела место сильная связь, должны выполняться два условия. Первым из них является (6.4.18), называемое кинематическим условием. Второе состоит в том, чтобы коэффициенты связи не обращались в нуль. Последнее условие называется также динамическим, поскольку оно зависит от таких характеристик волн, как поляризация и конфигурация моды.
Описанные выше общие свойства модовой связи имеют важное значение, поскольку они позволяют определить, какие процессы могут иметь место и какой вид возмущений требуется для возникновения связи между данной парой нормальных мод. Этот вопрос мы будем рассматривать на протяжении всей настоящей главы на ряде конкретных примеров.
(6.4.22)
Соотношение (6.4.18) называют также условием Брэгга, поскольку оно совпадает с аналогичным условием для дифракции рентгеновского излучения в кристаллах. В этом случае падающая волна, описываемая плоской волной с пространственной зависимостью exp( -- ik у - ifSz), сильно связана с отраженной волной, у которой зависимость от координат имеет вид ехр( -- ikvy + ifSz). Постоянная (3 является составляющей волнового вектора, перпендикулярной соответствующим кристаллическим плоскостям. Из условия (6.4.18) следует, что расстояние Л между кристаллическими плоскостями должно удовлетворять условию
(6.4.21)
или условию
2Acos в = тХ,
поскольку /3 = ксоьв, где в -- угол падения, а т - 1, 2, 3, ... -- некоторое целое число. Выражение (6.4.22) представляет собой хорошо известное условие Брэгга для дифракции рентгеновского излучения. Как уже отмечалось выше, это условие является необходимым, но не достаточным. Интенсивность дифракции зависит от коэффициентов фурье-разложения периодической диэлектрической постоянной и от поляризации волн [выражение (6.4.17)].
6.4.1. УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ МОД
Уравнение (6.4.16) описывает наиболее общий случай связи между модами, обусловленной периодическим возмущением диэлектрической проницаемости. На практике во многих случаях имеет значение связь лишь между двумя модами. Обозначим эти две связанные моды индексами 1 и 2. Пренебрегая взаимодействием со всеми другими модами, уравнения связанных мод можно записать в виде
^Ах 1КАге ,
(6.4.23)
^А2 = -мсМ.е-'^, аг
где
= /Зх - р2 - , (6.4.24)
а С'^' и С(пт) -- коэффициенты связи, определяемые выражением (6.4.17). Из определения (6.4.17) можно непосредственно показать, что
В случае когда диэлектрический тензор ё в (6.4.1) является функцией только от г (т. е. не зависит от х и у), нормальные моды невозмущенной среды представляют собой плоские волны и коэффициенты фурье-разложения ет возмущения диэлектрической проницаемости оказываются постоянными. В этом частном случае коэффициенты связи принимают вид
Заметим, что коэффициенты связи (6.4.26) зависят как от состояний поляризации связанных мод, так и от тензорных свойств коэффициентов фурье-разложения ет.
Знаки множителей /3,/1/3,1 и /32/1/321 в уравнениях (6.4.23) играют очень важную роль; они определяют характер поведения связи. Эти знаки, разумеется, зависят от направления распространения связанных мод. Поэтому можно рассматривать два типа связи, а именно связь волн, распространяющихся в одном направлении, и связь волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Распространение электромагнитных волн в периодических средах
36
Распространение электромагнитных волн в периодических средах
4
(6.4.9)
(6.4.9)
Глава 6
3
42 Глава 5
Распространение электромагнитных волн в периодических средах 10