Известна старая парадоксальная задача, связанная с азартной игрой. Играют двое. Подбрасывают правильную монету и фиксируют количество выпавших подряд гербов. При каждой игре (до первого появления решетки) первый игрок отдает достаточно крупную сумму, например миллион рублей, а второй выплачивает первому сумму, равную 2 в степени к, где к - количество выпавших подряд гербов. Например, кидают монету, выпало подряд три раза орел, затем решетка. Первый игрок отдает второму миллион рублей, а второй первому 23 = 8 рублей. И так далее. Наверняка каждый хотел бы оказаться на месте второго игрока.
Однако по теории вероятности, исходя из независимости испытаний, математическое ожидание выигрыша (средний выигрыш) первого игрока составляет
(далее везде S означает знак суммы, SS означает знак интеграла)
М =S 2к " (1/2)к " 1/2 = S1/2 = бесконечность (суммирование ведется по к от 0 до бесконечности).
То есть при достаточно долгой игре первый игрок получает неограниченную сумму, что противоречит здравому смыслу.
Решим задачу по-другому. Представим мешок с белыми и черными шарами. Всего n белых и n черных шаров. Играют двое, вытаскивая наугад (случайно) шары из мешка. Пусть белый шар означает герб, черный - решетку. Условия выигрыша как и в первой игре. При n стремящемся к бесконечности данная модель сводится к первой задаче.
Средний выигрыш первого игрока (мат. ожидание) равно
Мn = S 2к " рк , суммирование от к = 0 до к = n. (1)
рк = (П(n - i) / (2n - i)) " n / (2n - к), где
П - знак произведения, i от 0 до к - 1.
рк - вероятность, что вытащат подряд к белых шаров, а затем черный.
При n стремящемся к бесконечности, Mn стремится к M - среднему выигрышу с мешком с бесконечным количеством шаров или выигрышу при игре с монетой.
Как считать частичную сумму М n или ряд М я не знаю, поэтому проведем некоторые преобразования. (Ряд должен сходиться, т.к. в произведение входят члены меньше 1/2).
Члены произведения П = П аi , изменяются в пределах:
а0 = n / 2n = 1/2, ак-1=( n - к +1)/(2n - к + 1).
Вычислим среднегеометрическое этих крайних значений
Ак =(а0 " ак-1)1/2= ((1/2(n - к + 1)/ (2n - к + 1))1/2.
Заменим Паi на Акк , тогда сумма (1) преобразуется к виду (далее идут уже оценки этой суммы)
Мn = S 2к " Акк " n /(2n - к), к от 0 до n. (2)
Далее вычислим среднеинтегральное значение В величины Вк , где
Вк = (n - к + 1) / (2n - к +1).
В = (1/n)" SS B(x)dx = (1/ n)" SS (n - x + 1)/(2n - x +1)dx,
интегрирование ведется от 0 до n.
B = (1/n)" SS (1 - n/(2n - x +1))dx = 1 + ln ((n+1)/(2n+1)).
Величина n/(2n-к) изменяется от 1/2 при к = 0 до 1 при к = n.
Заменим ее на среднее значение 3/4. Тогда (2) преобразуется к виду
Мn = 3/4" S 2к " (1/2В)к/2 = 3/4" S 2к " (1/2)к " (2В)к/2 =
=3/4S(2Вn)к/2 = 3/4Sqк, к от 0 до n.
Это сумма геометрической прогрессии. Перейдем к пределу при n стремящемся к бесконечности.
Т.е. выигрыш первого игрока составляет примерно 3 руб. 47 коп. (Оценка).
Для косвенной проверки корректности наших преобразований проведем следующие вычисления.
Т.к. через величину В мы выражали члены ряда равные вероятности рк , а для рк есть условие нормировки, Sрк = 1, к от 0 до бесконечности , то вычислим ряд:
Р = 3/4S(1/2В)к/2 = 3/4Sqк
q = (0,5 " 0,307)1/2 = 0,3918, тогда
Р = 3/4" (1/(1- q)) = 1,233.
Величина Р не сильно отличается от 1, значит проведенные преобразования не привели к большой ошибке. Хотя Р не обязательно должна быть равна 1, т.к. мы преобразовывали члены ряда с весовыми коэффициентами 2к , и важнее было соблюдать одинаковую сходимость ряда, примем Р = 1,233 в качестве поправочного коэффициента к полученному значению М. Тогда
М = 3,465/ 1,233 = 2,81.
(Число М = 2,81 близко к числу е, может быть при более точном расчете М и равно е. Было бы красиво.)
Выводы:
1.Первый игрок выигрывает в среднем около 3 руб., и, если он отдает при этом сумму больше 3 рублей, то он в итоге проиграет.
2.Данную модель с мешком можно использовать при расчете других показателей, не обязательно связанных с игрой, но которые рассчитываются при бесконечном повторении опыта.
3.Вероятность qк - вероятность вытащить белый шар после к - 1 удачных вытаскиваний равна q = (n - к + 1)/ (2n - к +1).
Для любого конечного к lim qк = 1/2 при n стремящемся к бесконечности, но при рассмотрении бесконечных процессов, когда к стремится к бесконечности, это значение будет другим. Если предположить, что к стремится к бесконечности как аn, где а от 0 до 1, то lim qк = (1 - а)/(2 - а). В частности, при а = 1, lim qк = 0. это означает, что принимать условие о независимости испытаний при расчете бесконечных процессов надо по крайней мере осторожно.
Примечание. На данную проблему я наткнулся в 1989г. в аннотации на статью какого-то иностранного автора (скорее всего англоязычного). Ни фамилии автора, ни названия журнала я не помню. Автор провел машинный эксперимент и получил оценку М, близкую к 10. Важно было, что М конечное и довольно небольшое число. Я тоже сделал программу и рассчитал М = 7,5. Программа простая, с помощью датчика псевдослучайных чисел выбрасывается 0 или 1, рассчитывается 2к, где к - количество выпавших подряд нулей, а затем рассчитывается средний выигрыш при достаточно большом числе опытов. Теоретические попытки успеха не имели. Потом было не до того в связи с событиями в стране. Сейчас я вспомнил об этой проблеме и придумал модель с мешком. Не знаю, что было сделано с 90-х годов в этой области, но, по-моему, принцип независимости испытаний остался незыблемым.
Прошу прощения за введение нематематических знаков, которые вызывают трудности чтения. Это связано с трудностями закачки символов в Самиздат.