- Молодой человек! - обратился небольшого роста старичок к стоящему впереди задумчивому парню лет восемнадцати-двадцати. - Молодой человек! Вы уже несколько, а точнее две минуты, так сказать, стоите у меня на ноге.
- Простите, - обернулся тот. - Ой! Николай Павлович! Еще раз простите! Я задумался.
- Ничего! А позвольте узнать, о чем это вы так задумались, если не секрет?
- Какой там секрет, Николай Павлович, доканала меня эта математика.
- Математика? Но это же очень просто! А что же вам, так сказать, не понятно?
- В принципе все, кроме таблицы умножения. Вот, к примеру: не могу разобраться, что такое производная по направлению, или градиент; а экстремум вообще темный лес.
- М-да! Ну, я, молодой человек, постараюсь, так сказать, вам помочь. Итак! Производная по направлению. Представьте себе обыкновенный воздушный шарик. Представили?
- Да, Николай Павлович, такой зеленый.
- Прекрасно! А теперь поместим его в аквариум. И назовем переднюю стенку аквариума ZOY, боковую ZOX, а пол XOY.
- Назвали, а зачем?
- А теперь вы надуваете ваш зеленый шарик, и попробуйте представить, как движется любая молекула в этом объеме.
- Ну, они будут двигаться к краям шара.
- Совершенно верно! А теперь, если мы посмотрим на нашу молекулу через прозрачные стенки аквариума, то, что мы увидим?
- Наверное, три круга.
- Совершенно верно, три круга, в которых движется ваша молекула.
- А... кажется, понимаю. Эти круги - есть проекции шара, а точки - проекции молекулы.
- Верно! Так вот, производные по направлению - это проекции вектора скорости на грани OX, OY, OZ нашего аквариума. Понятно?
- Понятно.
- А сам же вектор этой мгновенной скорости называется - градиентом.
- То есть, если мы знаем координаты любой точки этого пространства и градиенты, то всегда сможем узнать, куда и с какой скоростью эта молекула движется.
- Совершенно верно. Достаточно подставить координаты молекулы в градиент, и мы узнаем точку окончания вектора скорости.
- Ну, с этим разобрались. А экстремум?
- Хорошо. Представим себе: на вашем шарике ползет муха и толкает тележку с массой равной единице. Для подъема тележки муха прилагает определенную силу. А вы знаете, что сила - это произведение массы на ускорение.
- Понял, Николай Павлович! Ускорение - это вторая производная функции.
- Совершенно верно. Таким образом, наша муха придает тележке некоторое ускорение до определенного времени. А именно, до того как тележка поднимется на самую макушку шарика.
- Угу, вначале муха толкает в одном направлении, некоторое время не толкает, а затем уже задерживает, поскольку тележка катится вниз.
- Таким образом, мы выяснили, что сила мухи равная нулю бывает в трех случаях: в точке максимума, минимума и в точке перегиба.
- Я понял, чтобы найти эти точки надо обратить вторую производную (силу) в ноль.
- Вы делаете успехи, молодой человек! Когда вы определите те координаты, в которых вторая производная равна нулю, вам останется узнать только, как изменится направление скорости в этих точках. Если с плюса на минус - это максимум. А если с минуса на плюс?
- Тогда - это минимум.
- Совершенно верно. А если не изменится?
- Точка перегиба.
- Правильно.
- Но, Николай Павлович, муха может двигаться, как ей захочется.
- Верно, но мы всегда можем провести плоскость, в которой происходит ее движение, а затем, соотнеся координаты на осях OX, OY, OZ оп-ределить эти точки (экстремума), соответственно по направлениям. Ну, кажется моя остановка.