Исаев Александр Васильевич

Что такое РЕФЛЕКЦИЯ?

Рефлекция (от позднелат. reflexio - отражение) - труднообъяснимое "отражение" миром чисел реальной структуры пространства-времени, то есть структуры Вселенной (реального физического мира). Термин (слово) "рефлекция" я придумал сам, чтобы подчеркнуть проблематичность приводимых мной аналогий: не чёткие отражения, а Бог знает что - какие-то рефлекции. Скептики могут считать, что рефлекции - всего лишь рефлексии автора [обращение субъекта на себя самого, свою личность (ценности, интересы, мотивы, эмоции, поступки), на свое знание или на свое собственное состояние], но даже и это, согласитесь, далеко не худшее применение нашего разума...

Как понимать моё утверждение, что мир чисел якобы "отражает" реальный физический мир? Это, например, означает, что "внутренняя" структура Большого отрезка (содержащего 10 в 61-й степени целых чисел!), то есть его архисложная (!) математическая структура:

–"Генерирует" (порождает) некие числа, которые либо уже присутствуют в теоретической физике, либо могут там присутствовать (но физики пока просто не увидели "мои" числа из виртуальной космологии).

–Отчасти "моделирует" (объясняет на самом примитивном уровне?) фундаментальные физические понятия: сингулярность, чёрная дыра, бесконечность (которая "эквивалентна"... единице?), тёмная энергия и материя, парадоксы времени, солитоны, и т. д.

–Отчасти "моделирует" (объясняет любопытным образом) такие общеизвестные феномены как: "магия" числа 7±2, тайны дюжины (числа 12), "золотое сечение" (число 0,618), закон Бенфорда (любовь природы к малым числам), параллельные миры, и т.д.

Мои рефлекции - это попытка доказать, что реальный физический мир и абстрактный мир чисел - изоморфны (хотя бы отчасти, если такое вообще возможно). Понятие "изоморфизм" можно пояснить на примере следующего утверждения: количество разбиений любого выпуклого семиугольника на треугольники равно количеству вариантов расстановки скобок для 6 букв. То есть триангуляция выпуклого семиугольника изоморфна (подобна) задаче расстановки скобок (приводящей к числам Каталана, см. ниже).

Мои рефлекции не образуют единой картины мира, они могут даже противоречить друг другу. Но в них есть нечто притягательное (и ПОЭТИЧЕСКОЕ!), нечто явно поучительное для пытливого ума. Кроме того, рефлекции могут сообщить читателю просто некую новую информацию (без учета моих сомнительных "фантазий", рефлексий). Читать рефлекции, вообще говоря, можно в любом порядке, так как между собой они напрямую не связаны.

---

Несколько слов о числах Каталана и изоморфизме

В "Справочнике" Слоуна (N. J. A. Sloane, автор справочника целочисленных бесконечных последовательностей) под номером 577 значатся так называемые числа Каталана: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,... . Эти числа не столь известны, как числа Фибоначчи, но они не менее значимы и возникают в самых неожиданных местах, особенно при решении комбинаторных задач. По некоторым компетентным оценкам числа Каталана - наиболее часто встречающаяся последовательность (!), однако, она всё еще недостаточно известна даже среди математиков, особенно не имеющих доступа к "Справочнику" Слоуна (теперь он есть в Интернете).

Указанные числа открыл вездесущий Л. Эйлер, когда занимался триангуляцией выпуклых многоугольников, то есть разбиением их на треугольники с помощью непересекающихся диагоналей всевозможным количеством способов (пример комбинаторной задачи). Оказалось, что количество способов разбиения для треугольников равно 1, для четырехугольников - равно 2, для пятиугольников -5, для шестиугольников - 14, для семиугольников - 42, и т. д. Эйлер получил точную формулу для этого ряда чисел:

Nn = [2·6·10·...·(4·n-10)]/(n-1)!,

где n =3, 4, 5, 6, 7, ... - количество сторон выпуклого многоугольника.

Бельгийский математик Э. Ш. Каталан (1814-1894), в честь которого и названа рассматриваемая последовательность, в 1838 г. доказал, что Эйлерова триангуляция многоугольников изоморфна (подобна) комбинаторной задаче расстановки скобок, то есть внутреннее "устройство" (природа) этих двух задач совершенно одинакова и изучение свойств одной системы (её объектов) в значительной мере сводится к изучению другой системы.

Задача расстановки скобок при наличии двух букв имеет 1 решение - (ab); при наличии трех букв есть 2 способа - ((ab)c) и (a(bc)); при наличии четырех букв есть 5 способов - ((ab)(cd)), (((ab)c)d), (a(b((cd))), (a((bc)d)), ((a(bc))d), и т. д., причем внутри каждой пары скобок (одной "открывающей" и одной "закрывающей") всегда должны находиться два "терма" (любые две буквы или буква и соседняя группа символов, заключенная в скобки). Таким образом, мы также приходим к числам Каталана. Смысл изоморфизма поясняет приведенный рисунок, на котором представлена триангуляция семиугольника (один из 42-х способов разбиения его на треугольники) и соответствующая ей расстановка скобок для шести букв (один из 42-х возможных способов).

---

Математика и реальный мир

Несмотря на заявления о независимости математики, никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом. Разумеется, остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен.

Математика полезна при интерпретации явлений микромира. Однако новые "приложения" математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле. Математические объекты, которые физики ставят в соответствие "атомным состояниям", "переходам", "ПКЯ" и т.д., носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики. Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее, многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем (в т.ч. теории струн).

Даже если мы включим в "чистую" математику теорию вероятностей и математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие естественные науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем?

Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Лагранжем. "Важная" и "красивая" с точки зрения любого математика эта теорема утверждает, что любое натуральное число представимо в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел (например, 23 = 3² + 3² + 2² + 1²). Однако в настоящее время немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться физику-теоретику, а тем более экспериментатору. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть "полезна" только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. (Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам).

Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или, по крайней мере, ту ее часть, которая не имеет отношения к "реальности", как искусство (а не науку).

Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет "объективных" критериев, и они вынуждены полагаться на собственный "вкус". Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и три "школы": "классицисты", "модернисты" и "абстракционисты". Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем четыре критерия, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем:

1). "Красивый" математический результат должен быть нетривиальным. Это не следствие аксиом или известных теорем; должна быть новая идея или остроумно применены старые представления. То есть для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудностей, с которыми он столкнулся при его получении.

2). Существенным элементом "красоты" теоремы является ее простота. Поиск простоты свойствен всей научной мысли начиная ещё с Эпикура, впервые высказавшего мысль о том, что за кажущейся сложностью и бесконечным разнообразием окружающего нас мира может скрываться внутренняя простота структуры.

3). Математик обязан решить новую задачу любыми возможными средствами. Однако, начиная с 19 века, математики явно делятся на "тактиков", стремящихся найти чисто силовое решение задачи (классическими средствами математики), и на "стратегов", склонных к обходным маневрам (более "абстрактным" структурам), дающим им возможность сокрушить проблему малыми силами.

4). У любой математической проблемы есть своя история ("родословная"). Когда решение получено (например, через 356 лет как у Великой теоремы Ферма), история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Так, теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых степеней и т.д. ("проблема Варинга", до сих пор окончательно не решенная). Даже если первоначальная теория, в конце концов "умирает", она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги.

Математики уже столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий!

Однако экспериментаторы готовы примириться с "некрасивыми решениями", лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением "патологических" результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении "патологий" в новой теории - симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.

Литература:

1. Пенроуз Роджер. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. М.: Едиториал УРСС, 2005.