Васильев Юрий Николаевич
Дуальные числа

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками Юридические услуги. Круглосуточно
 Ваша оценка:
  Дуальные числа к совершенным: прямая и обратная последовательность.
  Введение
  Чётные совершенные числа описываются формулой Евклида:
  P_p = 2^(p-1)(2^p - 1),
  где (2^p - 1) - простое число (число Мерсенна). Первые совершенные числа: 6, 28, 496, 8128.
  В этой работе мы:
  1. Построим прямую последовательность, обобщающую формулу Евклида.
  2. Найдём обратную (дуальную) последовательность через корни характеристического уравнения.
  3. Исследуем их свойства и связь между ними.
  4. Покажем аналогичную двойственность для других известных последовательностей.
  Шаг 1. Прямая последовательность через корни квадратного уравнения
  Рассмотрим квадратное уравнение:
  x^2 - 6x + 8 = 0.
  Найдём его корни:
  D = (-6)^2 - 4 × 8 = 36 - 32 = 4,
  x_1 = (6 + √4)/2 = 4, x_2 = (6 - √4)/2 = 2.
  Построим прямую последовательность по формуле:
  N_n = (x_1^n - x_2^n)/(x_1 - x_2) = (4^n - 2^n)/(4 - 2) = (4^n - 2^n)/2 = 2^(n-1)(2^n - 1).
  Первые члены прямой последовательности: 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, ...
  Свойства:
  всегда даёт целые числа;
  содержит все чётные совершенные числа при n = p (простое) и 2^n - 1 простое;
  подчиняется рекуррентному соотношению:
  N_n = 6N_(n-1) - 8N_(n-2), N_1 = 1, N_2 = 6.
  Шаг 2. Построение обратной (дуальной) последовательности
  Построим обратную последовательность, используя те же корни x_1 = 4, x_2 = 2:
  D_n = (x_1^n + x_2^n)/(x_1 + x_2) = (4^n + 2^n)/(4 + 2) = (4^n + 2^n)/6 = 2^(n-1)(2^n + 1)/3.
  Определение. Дуальное число - элемент последовательности, порождённой заменой знака в евклидовой формуле и нормировкой. Для нечётных n > 3 члены последовательности являются избыточными числами.
  Первые члены дуальной последовательности:
  1; 10/3 ; 12; 136/3; 176; 2080/3; 2752;...
  Первые целочисленные члены (нечётные n): 1, 12, 176, 2752,...,
  Шаг 3. Связь между прямой и дуальной последовательностями
  Сравним формулы:
  прямая: N_n = 2^(n-1)(2^n - 1),где (2^n -1) числа Мерсенна, N_n=2^(n-1)M_n
  дуальная: D_n = 2^(n-1)(2^n + 1)/3, где (2^n + 1)/3 числа Вагстафа, D_n=2^(n-1)W_n.
  Отношение последовательностей:
  {N_n}/{D_n}
  Примеры поведения отношения:
  при n = 1: {N_1}/{D_1} = 1/1 = 1,
  при n = 3: {N_3}/{D_3} = 28/12 = 2,333...,
  при n = 5: {N_5}/{D_5} = 496/176 = 2,818...,
  при n = 7: N_7}/{D_7} = 8128/2752 = 2,953...,
  при n ->~ Lim{N_n}/{D_n} = 3.
  Таким образом, отношение последовательностей монотонно возрастает и стремится к предельному значению 3.
  Шаг 4. Соответствие с другими известными парами последовательностей
  Аналогичная двойственность наблюдается и в других классических последовательностях. Кратко укажем соответствия:
  
  1. Фибоначчи <-> Люка
   Фибоначчи (прямая): F_n = [(1+√5)^n - (1-√5)^n]/2^n√5
   Люка (обратная): L_n = [(1+√5)^n + (1-√5)^n]/2^n,
   где x_1 = (1 + √5)/2, x_2 = (1 - √5)/2 - корни уравнения x^2 - x - 1 = 0.
  2. Пелля <-> Пелля-Люка
   Пелля (прямая): P_n = [(1 + √2)^n - (1 - √2)^n] /2√2,
   Пелля-Люка (обратная): Q_n = [(1 + √2)^n + (1 - √2)^n]/2,
   x_1 = (1+√2), x_2 = (1-√2) - корни уравнения x^2 - 2x - 1 = 0.
  
  3. Мерсенна <-> Вагстафа
   Мерсенна (прямая): M_n = 2^n - 1,
   Вагстафа (обратная): W_n = (2^n + 1)/3,
   корни уравнения x^2 - 3x + 2 = 0 (x_1 = 2, x_2 = 1).
  4. Последовательности Васильева (обобщение Мерсенна-Вагстафа)
   Основная (прямая): V_n_1 = (2^n - (-1)^n)/3,
   Обратная: V_n_2 = 2^n - (-1)^n,
   x_1= 2, x_2 =-1 корни уравнения x^2 - x - 2 = 0.
  Во всех случаях:
   обе последовательности порождаются одной парой корней характеристического уравнения;
   прямая последовательность содержит "особые" числа (совершенные, простые Мерсенна и так далее);
   обратная последовательность связана с другими классами чисел (Вагстафа, Люка и т. д.);
   обе подчиняются одному рекуррентному закону;
   отношение прямая/обратная стремится к константе при n->~
  Заключение:
  Мы показали, что дуальные числа к совершенным числам:
   естественным образом возникают как обратная последовательность к обобщённой формуле Евклида;
   демонстрируют те же структурные свойства, что и другие классические пары "прямая-обратная";
  подтверждают существование общей закономерности двойственности в теории линейных рекуррентных последовательностей.
  Эта работа открывает новые направления для исследований:
   изучение арифметических свойств дуальных чисел;
   поиск других пар "прямая-обратная" в теории чисел;
   исследование связи дуальных чисел с другими классами чисел.
  Ключевые слова: совершенные числа, дуальные числа, числа Мерсенна, числа Вагстафа, последовательности Васильева, линейная рекурренция, двойственность последовательностей.
  
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"